1、第5章 不定积分5.1 原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数yf(x)出发，去求它的导数f(x)那么，我们能不能从一个函数的导数f(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?定义 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F(x)f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。例1 求下列函数的一个原函数：f(x)2x f(x)cosx解：(x2)2x x2是函数2x的一个原函数 (sinx)cosx sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个原函
2、数呢?因为一个函数的原函数不是唯一的。例如在上面的中，还有(x21)2x，(x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C(C为任意常数)都是函数f(x)2x的原函数。定理5.1 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，C是一个任意常数，那么，F(x)C也是f(x)在该区间I上的原函数 f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示为F(x)C证明：F(X)CF(x)(C)f(x)F(x)C也是f(x)的原函数 略 这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)C的形式。定义5.2 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，记作f(
3、x)dx，其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量。求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数，因此，f(x)dxF(x)C 其中C是任意常数，叫做积分常数。例2 求下列不定积分 x5dx sinxdx解：是x5的一个原函数 cosx是sinx的一个原函数 661xCxdxx6561Cxxdxcossin二、不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线yF(x)称为f(x)的一条积分曲线，曲线yF(x)C表示把曲线yF(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲线族。例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。
4、解：设所求曲线为yf(x)，则f(x)2x，故yx2C，曲线过点(1,0)以x1、y0代入得012C，解得C1，因此，所求曲线为yx21。三、基本积分公式 由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式 dxxC xdx (-1)exdxexC sinxdxcosxC cosxdxsinxC sec2xdxtanxC csc2xdxcotxCCx111Cxdxx|ln1CaadxaxxlnCaxdxxaarcsin122Caxdxxaarctan122说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。注意 不能认为 arcsinx
5、arccosx，他们之间的关系是 arcsinx2arccosxdxxx215求例Cxdxxdxxx23252321:解dxx2116求例两式都是本题的解又解CxdxxdxxCxdxxarccos)11(11arcsin11:222四、不定积分的性质 f(x)dxf(x)该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，所得结果仍为f(x)F(x)dxF(x)C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，所得结果与F(x)相差一个常数C kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的前面 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 该性质表
6、明，两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差五、基本积分公式的应用例7 求(9x28x)dx解：(9x28x)dx9x2dx8xdx 33x2dx42xdx3x34x2C例11 求3xexdxdxxx24110求例Cxxxdxxdxxdxxxxdxxxarctan3111)1(11111:32222424解CeCeedxedxexxxxxx3ln13)3ln()3()3(3:解5.2 不定积分的计算一、直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定积分的方法称为直接积分法。运用直接积分法可以求出一些简单函数的不定积分。dxx211求例
7、Cxxxdxxdxdxxdxxxdxx23222312)12(1:解dxxxx223)3)(1(求再如Cxxxxdxxxxdxxxxxdxxxx1|ln361)113131(3333)3)(1(:2222322解一、第一换元法(凑微分法)如果被积函数的自变量与积分变量不相同，就不能用直接积分法。例如求cos2xdx，被积函数的自变量是2x，积分变量是x。这时，我们可以设被积函数的自变量为u，如果能从被积式中分离出一个因子u(x)来，那么根据f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C就可以求出不定积分。这种积分方法叫做凑微分法。讲解例题例2 求2sin2xdx解：设u2x，则du2dx 2sin
8、2xdxsin2x2dxsinudu cosuCcos2xC注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。解：设ux21，则du2xdxdxxx42)1(3求例CxCuduudxxx323442)1(616121)1(解：设ux2，则du2xdx 设ucosx，则du-sinxdxdxxex225求例CeCeduexdxedxxexuuxx22222xdxtan7求例dxxxxdxcossintan:解CxCuduudxxxxdx|cos|ln|ln1)sin(cos1tan 当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。例 求sin3xcosxdx 解：sin3xcosxdxsin3xd(sinx)si
9、n4xC dxxx1求例dxxxxdxxx11)1(1:解Cxxxdxxdx23252123)1(32)1(52)1()1()1()1(41二、第二换元积分法 例如，求 ，把其中最难处理的部分换元，令 则原式 ，再反解xu21，得dx2udu，代入这就是第二换元积分法。dxx1111 xudxu11duuduuudxx)111(212111CxxCuu|11|ln2121ln 2 (1)如果被积函数含有 ，可以用xasint换元。(2)如果被积函数含有 ，可以用xatant换元。dxxxsin求例tdtdxtxtx2,:2则令解CxCttdttdtttdxxxcos2cos2sin22sins
10、in22xa dxxa22116求例taxatdtadxaxttaxcos,cos,arcsin,sin:22则设解CaxCtdttatdtadxxaarcsincoscos12222xa (3)如果被积函数含有 ，可以用xasect换元。dxxa22117求例taxatdtadxtaxsec,sec,tan:222则设解CxxaCaxaxaCtttdttatdtadxxa221221222lnlntanseclnsecsecsec122ax dxax22118求例taaxtdttadxtaxtan,tansec,sec:22则设解CaxxCaaxaxCtttdttatdttadxax2212
11、2122lnlntanseclnsectantansec1以下结果可以作为公式使用：tanxdxln|secx|C cotdxln|cscx|C secxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|C Caxaxaaxdxln2122Caxxaxdx2222lnCxaxaxadxxa222222arcsin25.3 分部积分法一、分部积分公式考察函数乘积的求导法则：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)两边积分得 u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx于是有 u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx或表示成 u(x)dv(x)
12、u(x)v(x)v(x)du(x)这一公式称为分部积分公式。二、讲解例题例1 求xexdx解:令 u(x)x，v(x)ex 则原式为u(x)v(x)dx的形式 (ex)ex v(x)ex，由分部积分公式有 xexdxxexexdxxexexC例2 求xcos2xdx解：令 u(x)x，v(x)cos2x，则v(x)sin2x 于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsin2x cos2xC2121212141 有时，用分部积分法求不定积分需要连续使用几次分部积分公式才可以求出结果。例5：求x2e-2xdx解：令u(x)x2，v(x)e-2x，则v(x)于是xe221dxexexd
13、xexxxx)21(22122222)2121(21212222222dxexeexdxxeexxxxxxCexeexxxx2222412121由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。为了简化运算过程，下面介绍:三、分部积分法的列表解法例如：求 x2sinxdx x2 sinx 求导 +积分 2x -cosxx2sinxdx-x2cosx-2x(-cosx)dx 分部积分法的列表解法例如：求 x2sinxdx x2 sinx求导积分2x-cosxx2sinxdx-x2cosx2xcosxdx-x2
14、cosx2xsinx-2sinxdx求导积分-sinx-x2cosx2xsinx2cosxC求导积分+cosx 例4：求xlnxdx x lnx 求导 积分 1?这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。把lnx放在左边用分部积分法解：lnx x 求导 +积分 -x122xCxxxdxxxxxdxx4ln22ln2ln222则一般原则对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，指数函数、三角函数应放在右边。有些单独一个函数的不定积分也要用分部积分法解。例3：求lnxdx lnx 1 求导 +积分 -xx1=xlnxdx=xlnxxC例6求arcsinxdx arcsinx 1 求导 +积分 -x
15、例7 1 求导 积分 x211xdxax22求22ax 22axx例8 求exsin3xdx解：exsin3xdxexsin3x3excos3xdx exsin3x3excos3x9exsin3xdx移项得exsin3xdx ex(si3nx3cos3x)C5.4 有理函数积分法一、有理函数的定义 有理函数是指分子、分母都是多项式的分式函数，形如101)()()(xQxPxRmn二、真分式的部分分式分解 设分子的次数为n，分母的次数为m。当nm时，该分式称为真分式；当nm时，该分式称为假分式。假分式可以写成多项式与真分式的和。这里主要讲解真分式的部分分式分解。例分解 成部分分式解：因为分母含有
16、(x1)的三重因式，所以设33)1(1xxx3233)1()1(1)1(1xDxCxBxAxxx等式右边通分后得 比较等式两边分子各项的系数得 1解得：1 3202 30 1 1 2这种方法称为待定系数法323)1()1()1()1(xxDxxCxxBxxA3233)1(2)1(1121)1(1xxxxxxx则323)1()3()23()(xxAxDCBAxCBAxBA几种简单分式的积分法一、dxaxk)(1CaxkdxaxdxaxkCaxdxaxkkkk1)(111)()(11ln11时，当时，当Cxxdxxdxxdxxxdxxx222ln)2(1221)2(:)2(1222解求例二、1.当
17、分子不含一次项时因为分母中p2-4q0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2，再进一步，还可以化成04,22qpdxqpxxNMx其中 1)(22nmxnCxdxxdxxdxxdxx32arctan381)32(32322132134324:32432222解求例Cxdxxdxxdxxxdxxx21arctan211)21(21212)1(1321:32142222解求例2.当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分。Cxxxdxxxxdxxdxxdxxxxdxxxxdxxxx32arctan31)134ln(1)32(3131)134(13419)2(11344213
18、452:13452522222222解求例三、分母可以因式分解的有理函数1.若被积函数是假分式，先把它分解成一个多项式与一个真分式之和,2.对于真分式，先将分母因式分解，再用待定系数法化为部分分式之和,3.对每个最简分式分别求不定积分。Cxxdxxdxxdxxxxxxxxxdxxxx1ln212ln22112121312512123125:1256222解求例再如前面举过的例子求dxxxx33)1(1Cxxxxdxxdxxdxxdxxdxxxxxxxxxxx232333233)1(111|1|ln2|ln)1(12)1(11121)1(1)1(2)1(1121)1(1:解作业 P.253 1，2，4 P.267 2(23)(25)P.273 1 8 P.279 1,4,9
