北京市东城区2023届高三下学期二模全部九科试卷+答案.zip

第1页/共10页 第2页/共10页 第3页/共10页 第4页/共10页 第5页/共10页 第6页/共10页 第7页/共10页 第8页/共10页 第9页/共10页 第10页/共10页 第1页/共10页 2023 北京东城高三二模 数 学 2023.5 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合15Axx=N，0,1,2,3,4,5B=，则(A)AB(B)AB=(C)BA (D)BA（2）已知椭圆2213xymm+=的一个焦点的坐标是(2,0)，则实数m的值为（A）1 （B）2（C）2（D）4（3）已知数列na中，11a=，+121=0nnaa，nS为其前n项和，则5S=（A）1116（B）3116（C）11 （D）31（4）在复平面内，O是原点，向量OZ对应的复数是1i+，将OZ绕点O按逆时针方向旋转4，则所得向量对应的复数为(A)2 (B)2i(C)1(D)i（5）已知点(1,3)M在圆22:C xym+=上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为 （A）30（B）60 （C）120 （D）150（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（A）13种（B）14种（C）15种 （D）16种（7）设函数22,(),.xxaf xxxa=若()f x为增函数，则实数a的取值范围是（A）(0,4（B）2,4（C）2,+)（D）4,)+（8）“cos0=”是“函数()sin()cosf xxx=+为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）已知三条直线1:220lxy+=，2:20lx=，3:0lxky+=将平面分为六个部分，则满足 第2页/共10页 条件的k的值共有（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）无数个（10）设0.01e,1.01,ln1.01abc=，其中e为自然对数的底数，则（A）abc （B）bac（C）bca （D）acb 第二部分第二部分（非选择题非选择题 共共 110 分分）二二、填空题填空题 共共 5 小题小题，每小题每小题 5 分，共分，共 25 分分。（11）已知向量,a b满足2,1=ab，a与b的夹角为3，则a b=;2_=ab（12）函数()sin(+)(0,)2f xx=在一个周期内的部分取值如下表：x 12 12 4 512 712()f x a 1 a a 1 则()f x的最小正周期为 ；a=_ （13）若2|01|20=xxx xxm+，则实数m的一个取值为_.（14）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E是11AB的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为1V，2V(12VV)的两部分，则12VV=.（15）定义在区间1,)+上的函数()f x的图象是一条连续不断的曲线，()f x在区间21,2 kk上单调递增，在区间2,21kk+上单调递减，1,2,.k=给出下列四个结论：若(2)fk为递增数列，则()f x存在最大值；若(2+1)fk为递增数列，则()f x存在最小值；若(2)(21)0fk fk+，且(2)(21)fkfk+存在最小值，则()f x存在最小值；若(2)(21)0fk fk+，且(2)(21)fkfk+存在最大值，则()f x存在最大值.其中所有错误结论的序号有_ 三、解答题共三、解答题共6小题，共小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）在ABC中，sincos02BbAa=.（）求B；（）若3b=，再从条件、条件、条件 这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求a及ABC的面积.第3页/共10页 条件：sinsin2sinACB+=；条件：3c=；条件：10ac=.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 （17）（本小题 14 分）如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，2ABAC=，E是线段AD上一点.（）设E为AD的中点，求证：BECD；（）若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为1010，求AEAD的值.（18）（本小题 13 分）某数学学习小组的 7 名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试两次考试的成绩如下表所示（满分 100分）：学生 1 学生 2 学生 3 学生 4 学生 5 学生 6 学生 7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83 90 75 95 93 61 76（）从数学学习小组 7 名学生中随机选取 1 名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；（）设(1,2,7)ixi=表示第i名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差从数学学习小组 7名学生中随机选取 2名，得到数据,(1,)ijx xi jij7，定义随机变量X，Y如下：0,0|3,1,3|6,2,|6ijijijxxXxxxx=，|0,01,24,2,43,6.ijijijijxxxxYxxxx=2,6,（i）求X的分布列和数学期望EX；（ii）设随机变量X，Y的的方差分别为DX，DY，试比较DX与DY的大小（结论不要求证明）第4页/共10页 （19）（本小题 15 分）已知焦点为F的抛物线2:2(0)C ypx p=经过点(1,2)M（）设O为坐标原点，求抛物线C的准线方程及OFM的面积；（）设斜率为(0)k k 的直线l与抛物线C交于不同的两点,A B，若以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 （20）（本小题 15 分）已知函数()e sin2xf xxx=.（）求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程；（）求()fx在区间 1,1上的最大值；（）设实数a使得()exf xxa+对xR恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.（21）（本小题 15 分）已知有穷数列12:nA aaa，(3)n 中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1mn的整数m，令集合()1 2kA mk amkn=，.记集合()A m中元素的个数为()s m(约定空集的元素个数为 0).（）若:6 3 2 5 3 7 5 5A，求(5)A及(5)s；（）若12111()()()nns as as a+=，求证：12,naaa互不相同；（）已知12,aa ab=，若对任意的正整数()ij ijijn+，都有()iijA a+或()jijA a+，求12naaa+的值.第5页/共10页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）A（2）C（3）B（4）A （5）D （6）C （7）B （8）C （9）C （10）A 二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）12 12 （13）0m=(答案不唯一)（14）717（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）由正弦定理得sinsinbAaB=，由题设得sincos02BaBa=，2 sincoscos0222BBBaa=022Bcos0.2Ba 1sin22B=.26B=,3B=.6 sinsin2sin.ACB+=3,3bB=sinsin2sin.ACB+=由正弦定理得26acb+=，由余弦定理得2229()3acacacac=+=+，解得9ac=.所以19 3sin24ABCSacB=由9,6,acac=+=解得3a=.13 分 选条件：3c=已知,3,3,3Bbc=由正弦定理得1sinsin2cCBb=，因为cb，6C=2A=222 3.abc=+=第6页/共10页 所以13 322ABCSbc=解：（I）由题设知.ABAC 因为平面ABC 平面ABD，平面ABC 平面ABDAB=，所以AC平面ABD 因为BE 平面ABD，所以ACBE.因为ABD为等边三角形，E是AD的中点，所以ADBE.因为ACADA=，所以BE平面ACD 所以BECD.6 分（II）设AEAD=，0,1.取AB的中点O，BC的中点F，连接OD，OF，则ODAB，OFAC.由（I）知AC平面ABD，所以OF平面ABD，所以OFAB，OFOD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(1,0,0)A，(1,0,0)B，(1,2,0)C，(0,0,3)D 所 以(2,0,0)BA=，(1,0,3)AD=，(2,2,0)BC=，(1,2,3)CD=，(2,0,3)BEBAAEBAAD=+=+=.设平面BCE的法向量为(,)x y z=n，则0,0,BCBE=nn即220,(2)30.xyxz+=+=令3x=，则3y=，2z=.于是(3,3,2)=n.因为直线CD和平面BCE所成角的正弦值为1010，所以222|2 3(1)|10|cos,|10|2 2 33(2)CDCDCD=+nnn，整理得2826110+=，第7页/共10页 解得12=或114=.因为0,1，所以12=，即12AEAD=.14 分（18）（共 13 分）解：（）根据表中数据，可知这 7 名学生中有 4 名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生 1，学生 2，学生 4，学生 5，则从数学学习小组 7 名学生中随机选取 1 名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7 3 分（）（i）随机变量X可能的取值为 0，1，2 这 7 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为 1，1，3，3，1，4，5.2793(0)7CP X=；2762(1)7CP X=；2762(2)7CP X=则随机变量X的分布列为：X 0 1 2 P 37 27 27 X的数学期望32260127777EX=+=11 分（ii）DXDY.13 分（19）（共 15 分）解：（）因为抛物线22(0)ypx p=过点(1,2)，所以24p=，即2p=故抛物线C的方程为24yx=，焦点(1,0)F，准线方程为1x=.所以11 21.2OFMS=6 分（）设直线l的方程为(0)ykxm k=+由24,yxykxm=+得222(24)0k xkmxm+=由0 有10km 设1111(,),(,),A x yB x y 则12242kmxxk+=，2122mx xk=设AB的中点为00(,)N xy，则120222xxkmxk+=.第8页/共10页 N到准线的距离20221kkmdxk+=+=，222212121224 111()41,kABkxxkxxx xkmk+=+=+=依题意有2ABd=，即22222 121kkkmkmkk+=，整理得2220kkmm+=，解得0km+=，满足0 所以直线(0)ykxm k=+过定点(1,0)15 分 （20）（共 15 分）解：（）()e(sincos)2xfxxx=+，(0)1f=，(0)0f=.所以曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为yx=.5 分（）令()()e(sincos)2xg xfxxx=+，则()2e cosxg xx=，当 1,1x 时，()0g x，()g x在 1,1上单调递增.因为(0)10g=，(1)e(sin1cos1)20g=+，所以0(0,1)x，使得0()0g x=.所以当0(1,)xx 时，()0fx，()f x单调递减；当0(,1)xx时，()0fx，()f x单调递增()1esin1 2e 21f=，()sin1121ef=，所以()()maxsin112ef xf=.11 分（）满足条件的a的最大整数值为2.不等式()exf xxa+恒成立等价于sinexxax恒成立.令()sinexxxx=，当0 x 时，0exx，所以()1x 恒成立.当0 x 时，令()exxh x=，()0h x，1()exxh x=，()h x与()h x的情况如下：x(0,1)(1,)+()h x0+第9页/共10页 ()h x1e所以min1()(1).eh xh=当x趋近正无穷大时，()0h x，且()h x无限趋近于 0，所以()h x的值域为1,0)e.因为sin 1,1x，所以()x的最小值小于1且大于2 所以a的最大整数值为2.15 分（21）（共 15 分）解：（）由题设知(5)4 7 8A=，(5)=3s.4 分（）依题意()1(1 2)is ain=，则有11.()is a 因此12111.()()()nns as as a+12111()()()nns as as a+=，所以()1.is a=所以12,naaa互不相同.9 分（）依题意12,.aa ab=由()iijA a+或()jijA a+，知ijiaa+=或ijjaa+=.令1j=，可得1iiaa+=或11iaa+=，对于2,3,.1in=成立，故32aa=或31aa=.当ab=时，34naaaa=，所以12naaana+=.当ab时，3aa=或3ab=.当3aa=时，由 43aa=或41aa=，有4aa=，.同理56naaaa=，所以12(1)naaanab+=+.当3ab=时，此时有23aab=，令13ij=，可得4()A a或4()A b，即4aa=或4ab=.令14ij=，可得5()A a或5()A b.令23ij=，可得5()A b.所以5ab=.若4aa=，则令14ij=，可得5aa=，与5ab=矛盾.所以有4ab=.不妨设23(5)kaaab k=，令1(2,3,1)itjkt tk=+=，可得1()kA b+，因此1kab+=.令1,ijk=，则1kaa+=或1kab+=.1kab+=.所以12(1)naaanba+=+.第10页/共10页 综上，ab=时，12naaana+=.3aab=时，12(1)naaanab+=+.3aba=时，12(1)naaanba+=+.15分