1、28.3 正多边形和圆 教学内容 1正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距 2在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系 3正多边形的画法 教学目标 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形 复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容 重难点、关键 1重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系 2难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、
2、边长之间的关系 教学过程 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题 1什么叫正多边形？ 2从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 2实例略正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点 二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在
3、这个圆上 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆 我们以圆内接正六边形为例证明 如图所示的圆，把O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形 AB=BC=CD=DE=EF AB=BC=CD=DE=EF 又A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD A=B 同理可证：B=C=D=E=F=A 又六边形ABCDEF的顶点都在O上 根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是O的内接正六边形，O是正六边形ABCDE
4、F的外接圆 为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 例1已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等
5、于=60，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径 因此，所求的正六边形的周长为6a 在RtOAM中，OA=a，AM=AB=a 利用勾股定理，可得边心距 OM=a 所求正六边形的面积=6ABOM=6aa=a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形 例2利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径解：正五边形的中心角AOB=72，如图，AOC=30，OA=ABsin36=1.5sin362.55（cm） 画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆； （2）在O上顺次截取边长为3c
6、m的AB、BC、CD、DE、EA （3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA 则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示 三、巩固练习 教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习 四、应用拓展 例3在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6 （1）求ABC的边AB上的高h （2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点185的M处有一棵大树，问：
7、这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树 分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题 解：（1）由ABCG=ACBC得h=4.8 （2）h=且DN=x NF= 则S四边形DEFN=x（4.8-x）=-x2+10x =-（x2-x） =- （x-）2- =-（x-2.4）2+12 -（x-2.4）20 -（x-2.4）2+1212 且当x=2.4时，取等号 当x=2.4时，SDEFN最大 （
8、3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在RtFEB中，EF=2.4，BF=3 BE=1.8 BM=1.85，BMEB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案 当x=2.4时，DE=5AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握： 1正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距 2正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系 3画正多边形的方法 4运用以上的
9、知识解决实际问题 六、布置作业 1教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8 2选用课时作业设计课时作业设计 一、选择题 1如图1所示，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（ ）A60 B45 C30 D225 (1) (2) (3) 2圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则APB的度数是（ ） A36 B60 C72 D108 3若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ） A18 B36 C72 D144 二、填空题 1已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_ 2在ABC中，ACB=90，B=15，以C为圆心，
10、CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为_ 3四边形ABCD为O的内接梯形，如图3所示，ABCD，且CD为直径，如果O的半径等于r，C=60，那图中OAB的边长AB是_；ODA的周长是_；BOC的度数是_ 三、综合提高题1等边ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积2如图所示，已知O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积 3如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M （1）求证：四边形CDEM是菱形； （2）设MF2=BEBM，若AB=4，求BE的长答案:一、1C 2C 3D二、1a2 2 3r 3r 60三、1设BC
11、与O切于M，连结OM、OB，则OMBC于M，OM=a，连OE，作OEEF于N，则OE=OM=a，EOM=45，OE=a，EN=a，EF=2EN=a，S正方形=a22设正六边形边长为a，则圆O半径为a，由题意得：2a=6，a=3如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，过O作ODAB，垂足为D，则OD=r6，则DOA=30，AD=AB=，在RtABC中，OD=r6=cm，S=6ar6=36=cm23略28.3 正多边形和圆教学目标： （1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理； （2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察
12、、猜想、推理、迁移能力； （3）进一步向学生渗透“特殊一般”再“一般特殊”的唯物辩证法思想 教学重点： 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理 教学难点： 对定理的理解以及定理的证明方法 教学活动设计： （一）观察、分析、归纳： 观察、分析：1等边三角形的边、角各有什么性质？ 2正方形的边、角各有什么性质？ 归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点 教师组织学生进行，并可以提问学生问题 （二）正多边形的概念： （1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形如果一个正多边形有n(n3)条边，就叫正n边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形 （2）概念理解： 请
13、同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形（正三角形、正方形、正六边形，.） 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 矩形不是正多边形，因为边不一定相等菱形不是正多边形，因为角不一定相等 （三）分析、发现： 问题：正多边形与圆有什么关系呢？ 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形要将圆六等分呢？ （四）多边形和圆的关系的定理 定理：把圆分成n(n3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为
14、顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 我们以n=5的情况进行证明 已知：O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的O的切线 求证：（1）五边形ABCDE是O的内接正五边形； （2）五边形PQRST是O的外切正五边形 证明：（略） 引导学生分析、归纳证明思路： 弧相等 说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形 (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件 (3)此定理被称为正多边形
15、的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形 （五）初步应用 P157练习 1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2求证：正五边形的对角线相等 3如图，已知点A、B、C、D、E是O的5等分点，画出O的内接和外切正五边形 （六）小结： 知识：（1）正多边形的概念（2）n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形 能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力 （七）作业 教材P172习题A组2、3教学设计示例2 教学目标： （1）理解正多边形与圆的关系定理； （2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质； （3）理解正多边
16、形的中心、半径、边心距、中心角等概念； （4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力； 教学重点： 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理 教学难点： 对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解 教学活动设计： （一）提出问题： 问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？ （二）实践与探究： 组织学生自己完成以下活动 实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？ 2、作已知三
17、角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？ 探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？ 探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点) （2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？ （3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？ （三）拓展、推理、归纳： （1）拓展、推理： 过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作O连结OA、OB、OC、OD 同理，点E在O上 所以正五边形ABCDE有一个外接圆O 因为正五边形ABCDE的各边是O中相等的弦，所以弦心距相等因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边
18、都相切可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆 （2）归纳： 正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上 它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径 正五边形的各顶点共圆 正五边形有外接圆 圆心到各边的距离相等 正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离 照此法证明，正六边形、正七边形、正n边形都有一个外接圆和内切圆 定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形各边所对的外接圆
19、的圆心角都相等正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角正n边形的每个中心角都等于 （3）巩固练习： 1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_ 2、正方形ABCD的内切圆O的半径OE叫做正方形ABCD的_ 3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是_度，半径是_，边心距是_，它的每一个内角是_ 4、正n边形的一个外角度数与它的_角的度数相等 （四）正多边形的性质： 1、各边都相等 2、各角都相等 观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？ 3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n
20、边形的中心边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心 4、边数相同的正多边形相似它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方 5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神 （五）总结 知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； （2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质 能力：探索、推理、归纳等能力 方法：证明点共圆的方法 （六）作业 P159中练习1、2、3 教学设计示例3 教学目
21、标： （1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理； （2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力； （3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识 教学重点： 综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归 教学难点：综合运用知识证题 教学活动设计： （一）知识回顾 1什么叫做正多边形？ 2什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？ 3正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心) 4正n边形的每个中心角都等于 5正多边形的有关的定理 （
22、二）例题研究： 例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形 已知：如图，在五边形ABCDE中，A=B=C=D=E，边AB、BC、CD、DE、EA与O分别相切于A、B、C、D、E 求证：五边形ABCDE是正五边形 分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可 教师引导学生分析，学生动手证明 证法1：连结OA、OB、OC， 五边形ABCDE外切于O BAO=OAE，OCB=OCD，OBA=OBC， 又BAE=ABC=BCD BAO=OCB 又OB=OB ABOCBO，AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA 五边形ABCDE是正五边形 证法2：作O的半径OA
23、、OB、OC，则 OAAB，OBBC、OCCD B=C 1=2 = 同理 = = = ， 即切点A、B、C、D、E是O的5等分点所以五边形ABCDE是正五边形 反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形” 此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。 拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于O，AB=BC=CD=DE=EA 求证：五边形ABCDE是
24、正五边形（证明略） 分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法 拓展2：已知：如图，同心圆O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N 求证：五边形ABCDE是正五边形（证明略） 学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬 例2、已知：正六边形ABCDEF 求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆 作法：1过A、B、C三点作OO就是所求作的正六边形的外接圆 2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆 用同样的方法，我们可以作正n边形的外
25、接圆与内切圆 练习：P161 1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形 2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例 (1)各边相等的圆外切多边形是正多边形； (2)各角相等的圆内接多边形是正多边形 3、已知：正方形ABCD求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆 （三）小结 知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法 能力与方法：重点复习了正多边形的判定正多边形的外接圆与内切圆的画法 （四）作业 教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4 探究活动 折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形 （提示：对折；再折使A、B、C分别与O点重合即可
26、） （2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形 （提示：可以主要应用把一个直角三等分的原理参考图形如下： 对折成小正方形ABCD； 对折小正方形ABCD的中线； 对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B）； 则B、B为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形） 探究问题： （安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形； 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形如图一，ABC是正三角形, 形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正
27、六边形； 丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形我想，边数是7时，它可能也 是正多边形 (1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等 (2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证) (3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明) （1）说明 （2）证明 （3）猜想 解：（1）由图知AFC对 因为 = ，而DAF对的 = + = + = 所以AFC=DAF 同理可证，其余各角都等于AFC所以，图1中六边形各内角相 （2）因为A对 ，B对 ，又因为A=B，所以 = 所以 = 同理 = = = = = = 所以 七边形ABCDEFG是正七边形 猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形
