1、传染病模型传染病模型致命的瘟疫在人类历史上，天花和黑死病、痢疾、霍乱等瘟疫都留下了惊人的死亡数字。公元前公元前 1100多年前，印多年前，印度或埃及出现急性传染病天度或埃及出现急性传染病天花。公元前花。公元前3前前2世纪，印世纪，印度和中国流行天花。公元度和中国流行天花。公元165180年，罗马帝国天花年，罗马帝国天花大流行，大流行，14的人口死的人口死 亡。亡。6世纪，欧洲天花流行，造成世纪，欧洲天花流行，造成10的人口死亡。的人口死亡。17、18世世纪，天花是欧洲最严重的传纪，天花是欧洲最严重的传染病，死亡人数高达染病，死亡人数高达1.5亿。亿。19世纪中叶，中国福建等地世纪中叶，中国福建
2、等地天花流行，病死率超过天花流行，病死率超过12。19001909年，俄国因天花年，俄国因天花死亡死亡50万人。万人。据史书记载，霍乱于据史书记载，霍乱于1817年首次在印度流行，年首次在印度流行，1823年传入俄国，年传入俄国，1831年传入英国。年传入英国。19世纪初至世纪初至20世纪末，世纪末，大规模流行的世界性大规模流行的世界性 霍霍乱共发生乱共发生8次。次。18171823年，霍乱第一次大规模流行，从年，霍乱第一次大规模流行，从“人类霍乱人类霍乱的故乡的故乡”印度恒河三角洲蔓延到欧洲，仅印度恒河三角洲蔓延到欧洲，仅1818年前后便年前后便使英国使英国6万余人丧生。万余人丧生。1961
3、年出现第七次霍乱大流行，始年出现第七次霍乱大流行，始于印度尼西亚，波及五大洲于印度尼西亚，波及五大洲140多个国家和地区，据报告多个国家和地区，据报告患者达患者达350万。万。1992年年10月，第八次霍月，第八次霍 乱大流行，席卷乱大流行，席卷印度和孟加拉国部分地区，在短短印度和孟加拉国部分地区，在短短23个月就报告病例个月就报告病例10余万，死亡人数达几千人，随后波及许多国家和地区。余万，死亡人数达几千人，随后波及许多国家和地区。疟疾每年在全球有五亿宗病例，导致超疟疾每年在全球有五亿宗病例，导致超过过 100 万人死亡，大部份在非洲发生。世界万人死亡，大部份在非洲发生。世界卫生组织指出疟疾
4、平均每卫生组织指出疟疾平均每 30 秒杀死一个秒杀死一个 5 岁以下的儿童；疟疾也是导致非洲经济一直岁以下的儿童；疟疾也是导致非洲经济一直陷于困境的主要原因之一。陷于困境的主要原因之一。第一次世界性鼠疫大流行：始于公元6世纪，源自中东，流行中心为近东地中海沿 岸，持续近60年，高峰期每天死亡万人，死亡总数近1亿人。公元前430前427年，雅典发生鼠疫，近 12人口死亡，整个雅典几乎被摧毁。第二次世界性鼠疫大流行：史称“黑死病”，13481351年在欧洲迅速蔓 延，患者35天内即死，3年内丧生人数达6200万，欧洲人口减少近14，其中威尼斯减70，英国减58，法国减 34。此次“黑死病”延续到1
5、7世纪才消弭。第三次世 界性鼠疫大流行：1894年，香港地区爆发鼠疫，波及亚洲、欧洲、美洲、非洲和澳洲的60多个国家，死亡逾千万人。其中，印度最严重，20年内死亡102万多人。1918-1919年，爆发了席卷全球的流感疫病，年，爆发了席卷全球的流感疫病，导致导致2,000-5,000万人死亡，是历史上最严重的流感万人死亡，是历史上最严重的流感疫症。疫症。流行性感冒简称流行性感冒简称流感，是由流感病流感，是由流感病毒引起的急性呼吸毒引起的急性呼吸道传染病，能引起道传染病，能引起心肌炎、肺炎、支心肌炎、肺炎、支气管炎等多种并发气管炎等多种并发症症,极易发生流行，极易发生流行，甚至达到世界范围甚至达
6、到世界范围的大流行。的大流行。目前的目前的H5N1型病毒株仅能通型病毒株仅能通过禽类传染给人体，必须防范它过禽类传染给人体，必须防范它与人类的流行性感冒病毒株接触与人类的流行性感冒病毒株接触进行基因重组，突变出进行基因重组，突变出“人传人人传人”的禽流感病毒。禽流感一旦在人的禽流感病毒。禽流感一旦在人际传播，数亿人生命将受到威胁。际传播，数亿人生命将受到威胁。自自2003年来年来全世界已有全世界已有14个个国家国家357人感染人感染了禽流感病毒，了禽流感病毒，其中其中219人因感人因感染了该病毒而死染了该病毒而死亡。亡。HIV是艾滋病的病是艾滋病的病原体，主要通过体液、原体，主要通过体液、血液
7、传播。艾滋病联血液传播。艾滋病联合规划署和世界卫生合规划署和世界卫生组织在组织在“2006艾滋艾滋病流行最新情况病流行最新情况”报报告中说，世界上每隔告中说，世界上每隔8秒钟就有一人感染秒钟就有一人感染HIV，全球每天有，全球每天有1.1万人感染万人感染HIV，与此，与此同时，每天有同时，每天有8000名感染者丧命。名感染者丧命。SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急，严重急性呼吸道综合症性呼吸道综合症,俗称：俗称：非典型肺炎）是非典型肺炎）是21世世纪第一个在纪第一个在23个国家个国家和地区范围内传播的和地区范围内传播的传染病。传染病。2002
8、2002年年1111月月1616日中国广东佛山发现第一个非典型肺炎的病例。日中国广东佛山发现第一个非典型肺炎的病例。截至截至20032003年年7 7月月1111日，全球共日，全球共80698069名患者，死亡人数达名患者，死亡人数达775775，死亡率，死亡率约为约为12%12%。目前已经找到治疗方法，中国和欧盟科学家联手，成功找到了目前已经找到治疗方法，中国和欧盟科学家联手，成功找到了1515种能有效杀灭非典病毒的化合物。香港大学的新近研究表明，蝙种能有效杀灭非典病毒的化合物。香港大学的新近研究表明，蝙蝠可能是蝠可能是SARSSARS病毒野生宿主病毒野生宿主 英格兰德比郡的小村亚姆(Eya
9、m)有一个别号，叫“瘟疫之村”。但这个称呼并非耻辱，而是一种荣耀。1665年9月初，村里的裁缝收到了一包从伦敦寄来的布料，4天后他死了。月底又有5人死亡，村民们醒悟到那包布料已将黑死病从伦敦带到了这个小村。在瘟疫袭来的恐慌中，本地教区长说服村民作出了一个勇气惊人的决定：与外界断绝来往，以免疾病扩散。此举无异于自杀。一年后首次有外人来到此地，他们本来以为会看到一座鬼村，却惊讶地发现，尽管全村350名居民有260人被瘟疫夺去生命，毕竟还有一小部分人活了下来。故故事事问题提出 本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一些贫
10、穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象,医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是：（1）如何描述传染病的传播过程（2）如何分析受感染人数的变化规律（3）如何预报传染病高潮的到来人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。问题分析 不同类型传染病的传播过程有不同的特点。故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型 由于传染病在传播的过程涉及因素较多
11、，在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的数学模型 思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假设，最终得出较好的模型。现通过疾病传播过程中若干重要因素之现通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。的方法显然是一件十分有意义的工作。描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手
12、段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分用机理分析方法建立模型析方法建立模型 假设已感染人数假设已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为,每个病人每天可使 s(t)个健康者变为病人。模型模型1 1假设假设ttititti)()()(建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)（SI 模型）(1)人群分为易感染者（Suscep
13、tible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和 i(t)。即 那么 健康者为:Ns(t)病 人为:Ni(t)假设假设模型模型2 2 根据假设，每个病人每天可使 s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t)个健康者被感染，即病人数Ni(t)的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下tNsitNttN)i（)i(得出：模型建立模型建立 据假设2,在时刻t，有病人数为)(tNi，病人数变为)(ttNi，每个病人每天可使)(ts个健康者变成病人.故每天共有)()(titNs个
14、健康者被感染，那么 Ni 的增量就变为Nsi；（1）在tt 即 NsidtdiN 又由假设 1 和设0t时的比例0i，则得到模型 建模建模ttNitstittiN)()()()(sidtdi1)()(tits0)0()1(iiiidtdi求解求解Logistic 模型teiti1111)(01/211ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻tm (日接触率日接触率)tm 1it病人可以治愈！病人可以治愈！?1/21/21/21/23.3.模型的分析讨论模型的分析讨论由式由式(4.3)(4.3)、(4.4)(4.4)及图及图4-14-1可知可知:(1)(1)当当时，时，达到最大值达
15、到最大值，这，这个时刻为个时刻为(4.5)(4.5)这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.t tm m与与成反比成反比，因为日接触率，因为日接触率表示该地区的卫生水平，表示该地区的卫生水平，越小越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来可以推迟传染病高潮的到来.12i dditmd()dit1m01ln(1)ti(2)(2)当当t t时，时，i i11，即所有人终将被感染，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符
16、合实际情况，其原因是模全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈型中没有考虑到病人可以治愈.4.2 模型模型SIS模型模型有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为况建立的模型称为SIS模型模型.1.1.模型的假设模型的假设SISSIS模型的假设条件模型的假设条件(1)(1)、(2)(2)与与SISI模型的假设模型的假设相同，增加的条件相同
17、，增加的条件(即条件即条件(3)(3)为为:(3)(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则者，则是这种传染病的平均传染期是这种传染病的平均传染期.12.2.模型的建立与求解模型的建立与求解考虑到假设考虑到假设(3)(3)，SISI模型的式模型的式(4.1)(4.1)应修正为：应修正为：(4.6)(4.6)式式(4.2)(4.2)不变，于是式不变，于是式(4.3)(4.3)应改为：应改为：(4.7)(4.7)ddiNNsiNit0d(1)d(0)iiiitii 方程方
18、程(4.7)的解可表示为：的解可表示为：(4.8)()10101()e,()1(),tii tti 3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论定义定义(4.9)(4.9)注意到注意到和和 的含义可知，的含义可知，是一个传染期内每是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式(4.8)(4.8)和和(4.9)(4.9)容易得到，当容易得到，当t t时，时，(4.10)(4.10)111,1()0,1i 根据式根据式(4.8)(4.8)(4.10)(4.10)可以画出可以画出i i(t t)t t的图形如图的图形如图4-24-2所示所示.接触数接触数
19、1 1是一个阈值，当是一个阈值，当11时病人比例时病人比例i i(t t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当病人人数的缘故；当11时，时，i i(t t)的增减性取决于的增减性取决于i i(0)(0)的大小，但其极限值的大小，但其极限值i i()()1 11 1随随的增的增加而增加加而增加.SISI模型可视为本模型的特例模型可视为本模型的特例.4.3 4.3 模型模型SIRSIR模型模型1.1.模型的假设模型的假设大多数传染病如天花、流感、肝炎
20、、麻疹等治大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者者(易感染者易感染者)也不是病人也不是病人(已感染者已感染者)，他们已经退，他们已经退出传染系统出传染系统.这种情况下的模型假设条件为：这种情况下的模型假设条件为：(1)(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)(Removed)三种，称三种，称SIRSIR模型模型.三类人在总人数三类人在总人数N N中所中所占的比例分别为占的比例分别为s s(t t)、i i(t t)和和r r(t t)；(2)(
21、2)病人的日接触率为病人的日接触率为，日治愈率为，日治愈率为，/.2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解由条件由条件(1)(1)，有，有s s(t t)i i(t t)r r(t t)1 1(4.11)(4.11)根据条件根据条件(2)(2)，方程，方程(4.6)(4.6)仍成立仍成立.对于病愈免疫的对于病愈免疫的移出者而言，应有移出者而言，应有(4.12)(4.12)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s s0 0(0)(0)和和i i0 0(0)(0)(不妨设移出者的初始值不妨设移出者的初始值r r0 00)0)，则，则由式由式(4.6)(4.6)
22、、(4.11)(4.11)和和(4.12)(4.12)，SIRSIR模型的方程可以模型的方程可以写为：写为：ddrNNit(4.13)方程方程(4.13)无法求出无法求出s(t)和和i(t)的解析解，我们转到的解析解，我们转到相平面相平面si上来讨论解的性质上来讨论解的性质.相轨线的定义域相轨线的定义域(s，i)D应为：应为：D(s，i)|s0，i0，si1(4.14)00dddd(0),(0)isiitssitii ss 在方程在方程(4.13)(4.13)中消去中消去d dt t，并利用式，并利用式(4.9)(4.9)，可得，可得(4.15)(4.15)容易求出方程容易求出方程(4.15)
23、(4.15)的解为：的解为：(4.16)(4.16)则在定义域则在定义域D D内，相轨线如图内，相轨线如图4-34-3所示所示.图中箭头表图中箭头表示了随着时间示了随着时间t t的增加的增加s s(t t)和和i i(t t)的变化趋向的变化趋向.0011|s sdidssii0001()lnsisiss 图 4-33.3.模型的分析讨论模型的分析讨论下面根据式下面根据式(4.13)(4.13)、(4.16)(4.16)和图和图4-34-3分析分析t t时时s s(t t)、i i(t t)和和r r(t t)的变化情况的变化情况(它们的极限值分别记它们的极限值分别记作作s s，i i和和r
24、r).).(1)(1)首先，由式首先，由式(5.4.13)(5.4.13)，而，而s s(t t)0)0，故，故s s存在；由式存在；由式(5.4.12)(5.4.12)知，知，而，而r r(t t)1)1，故，故r r存在；再由式存在；再由式(5.4.11)(5.4.11)知知i i存在存在.d0dstd0drt其次，若其次，若i i00，则由式，则由式(4.12)(4.12)，对于充分，对于充分大的大的t t，有，有 ，这将导致，这将导致r r，与，与r r存存在相矛盾在相矛盾.故不论初始条件故不论初始条件s s0 0，i i0 0如何，病人终将消如何，病人终将消失，即失，即i i0 0(
25、4.17)(4.17)从图从图4-34-3上看，不论相轨线从上看，不论相轨线从p p1 1或从或从p p2 2出发，它出发，它终将与终将与s s轴相交轴相交.(2)(2)最终未被感染的健康者比例是最终未被感染的健康者比例是s s，在式，在式(4.16)(4.16)中令中令i i0 0，得到，得到s s是方程是方程(4.18)(4.18)在在 内的单根，在图内的单根，在图4-34-3中中s s是相轨线是相轨线与与s s轴在轴在 内交点的横坐标内交点的横坐标.0001()ln0ssiss1(0,)1(0,)(3)(3)若若，则，则i i(t t)先增加，当先增加，当时，时，i i(t t)达到最大
26、值达到最大值然后然后i i(t t)减小且趋于零，减小且趋于零，s s(t t)则单调减小至则单调减小至s s.0001(1ln)misis01s1s(4)(4)若若，则，则i i(t t)减小且趋于零，减小且趋于零，s s(t t)则单调减则单调减小至小至s s.可以看出，如果仅当病人比例可以看出，如果仅当病人比例i i(t t)有一段增长的时期才有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么认为传染病在蔓延，那么 是一个阈值，当是一个阈值，当时传染病就会蔓延时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数而减小传染期接触数，即提高，即提高阈值阈值 ，使得，使得 ，传染病就不会蔓延，传染病就不会蔓延(健康者比
27、例健康者比例的初始值的初始值s s0 0是一定的，通常可认为是一定的，通常可认为s s0 01)1)，我们注意到在，我们注意到在中，人们的卫生水平越高，日接触率中，人们的卫生水平越高，日接触率越小，医疗水越小，医疗水平越高，日治愈率平越高，日治愈率越大，于是越大，于是越小，所以提高卫生水平越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.01s101s101s从另一方面看，从另一方面看，是传染期内一个病人是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被个病人被ss个健康者交换个健康者交换.所
28、以当所以当 ，即，即ss0 011时，必有时，必有ss1.1.既然交换数不超过既然交换数不超过1 1，病人，病人比例比例i i(t t)绝不会增加，传染病就不会蔓延绝不会增加，传染病就不会蔓延.01s1ss我们看到在我们看到在SIRSIR模型中接触数模型中接触数是一个重要参数是一个重要参数.可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i i0 0通常很小，在式通常很小，在式(4.18)(4.18)中略去中略去i i0 0可得可得(4.19)(4.19)于是当传染病结束而获得于是当传染病结束而获得s s0 0和和s s以后，由式以后，由式(4.19)(4.19
29、)能算出能算出.另外，对血样作免疫检验也可以另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出根据对检验无反应和有反应，估计出s s0 0和和s s，然后，然后计算计算.00lnlnssss4.4.模型验证模型验证本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了有病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统，有关部死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，依此实际数据，门记录了每天移出者的人数，依此实际数据，KermackKermack等人用这组数据对等人用这组数据对SIRSIR模型作了验证模型作了验证.首先，由方程首先，由方程(4
30、.11)(4.11)、(4.13)(4.13)可以得到可以得到(4.20)(4.20)(4.21)(4.21)()0()r ts ts e0d(1)drrrs et 当当时，取式时，取式(4.21)(4.21)右端右端e err泰勒展泰勒展开的前开的前3 3项，在初始值项，在初始值r r0 00 0下的解为：下的解为：(4.22)(4.22)其中其中.从式从式(4.22)(4.22)容易算出容易算出 1r0201()(1)()2tr tsths222000 01(1)2,sss ith (4.23)(4.23)然后取定参数然后取定参数s s0 0、等，画出式等，画出式(4.23)(4.23)的
31、图形的图形，如图，如图4-44-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示中的曲线，实际数据在图中用圆点表示.可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错.2220dd2()2rttsch 图 4-45.SIR5.SIR模型的应用模型的应用下面介绍下面介绍SIRSIR模型的两个应用模型的两个应用.1)1)被传染比例的估计被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值例是健康者人数比例的初始值s s0 0与与t t的极限值的极限值s s之差，记作之差，记作x x，假定，假定i i0 0很
32、小，很小，s s0 0接近于接近于1 1，由式，由式(4.18)(4.18)可得可得(4.24)(4.24)01ln(1)0 xxs取对数函数泰勒展开的前两项有取对数函数泰勒展开的前两项有(4.25)(4.25)记记，可视为该地区人口比例可视为该地区人口比例超过阈值超过阈值的部分的部分.当当时式时式(4.25)(4.25)给出给出(4.26)(4.26)2001(1)02xxss01,s 110012()2xss 这个结果表明，被传染人数比例约为这个结果表明，被传染人数比例约为的的2 2倍倍.对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，即即不变时，这
33、个比例就不会改变不变时，这个比例就不会改变.而当阈值而当阈值提高提高时，时，减小，于是这个比例就会降低减小，于是这个比例就会降低.12)2)群体免疫和预防群体免疫和预防根据对根据对SIRSIR模型的分析，当模型的分析，当时传染病时传染病不会蔓延不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值变大以外，另一个途径是降低平，使阈值变大以外，另一个途径是降低s s0 0，这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略忽略病人比例的初始值病人比例的初始值i i0 0，有，有s s0 01 1r r0 0，于是传染病不，
34、于是传染病不会蔓延的条件会蔓延的条件可以表示为可以表示为:(4.27)(4.27)01s101s011r 这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例出者比例(即免疫者比例即免疫者比例)r r0 0满足式满足式(4.27)(4.27)，就可以，就可以制止传染病的蔓延制止传染病的蔓延.这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的，据估计在在全体人口中，实际上这是很难做到的，据估计在印度等国天花传染病的接触数印度等国天花传染病的接触数55，由式，由式(4.27)(4.27)知至少要有知
35、至少要有4/54/5的人接受免疫才行的人接受免疫才行.据世界卫生组织据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高报告，即使花费大量资金提高r r0 0，也因很难做到免，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到疫者的均匀分布，使得天花直到19771977年才在全世界年才在全世界根除根除.而有些传染病的而有些传染病的更高，根除就更加困难更高，根除就更加困难.模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)(
36、)()()()(建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11(iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先
37、升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4P2S0ssss00lnlnSIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫模型检验模型检验 医疗机构一般依据医疗机构一般依据r(t)r(t)来统计疾病的波及人来统计疾病的波及人数数 ，从广义上理解，从广义上理解，r(t)r(t)为为t t时刻已就医而
38、被隔时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。由模型（由模型（12)(14)12)(14)计算可得：计算可得：SIR模型模型)24()1()23()(00rresridtdrests)25()2()1(1)(020tthsstr可计算出方程（可计算出方程（2424）的近似解）的近似解曲线曲线 在医学上被称为疾在医学上被称为疾病传染曲线。病传染曲线。右图给出了上式曲线的右图给出了上式曲线的图形，可用医疗单位每图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。拟合得最优曲线。图图10 10（见（见P143P143）记录
39、了）记录了19051905年下半年至年下半年至19061906年上年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。难看出两者有较好的一致性。)2(22202tchsdtdrSIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0-1/=综上所述，模型综上所述，模型4 4指出了传染病的以
40、下特征：指出了传染病的以下特征：（1 1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。值时，疾病才会流传起来。（2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。导致所有人得病。（3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。第一：对问题不断深入研究后，针对不同情况 逐步修改假设，是模型逐渐符合实际；第二：较全面的研究了传染病的几个问题；第三：建模过程中计算机技术和建模方法结合 使用。模型的评价模型的评价
