1、专题09 一次函数解析式求解方法大全如果函数的图象是函数的灵魂的话，那么函数的解析式就相当于函数的经脉. 它是函数存在的基础，因此，在做习题的过程中，准确求出函数的解析式是重中之重.待定系数法是我们求解一次函 数常用的方法，它的核心是找到点的坐标，所以，通常这类题目考查的重点是求点的坐标；另外，分段函数解析式的求解也是重点内容，本专题从多个角度，选取具有特点的习题进行讲解，期望能给同学们一些帮助.题1. 动点问题引出的分类讨论求解析式在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点A开始按ABCD的方向运动到点D.如图1-1所示，设动点P所经过的路程为x，APD的面积为y. (当点P与点A或D
2、重合时，y=0)(1)写出y与x之间的函数解析式；(2)画出此函数的图象图1-1【答案】见解析. 【解析】解：(1)分类讨论：点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数解析式不相同，当点P在边AB上运动，即0x3时，y=0.54x=2x；当点P在边BC上运动，即3x7时，y=0.543=6；当点P在边CD上运动，即7x10时，y=0.54(10x)=2x20.综上所述，y与x之间的函数解析式为：(2)函数图象如图1-2所示图1-2题2. 与几何有关联的题目（勾股定理等）如图2-1所示，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，a=75，求b的值.图2-1【答案】.【
3、解析】解：设直线y=x+b与x轴交于点C，则点C（b，0），点B（0，b），所以OB=OC，即OBC是等腰直角三角形，BCO=45，a=75，BAO=aBCO=30，所以AB=2b，因为A（5,0），在RtABO中，由勾股定理得：，解得：b=（舍去负值）.题3. 等腰三角形存在性问题如图3-1所示，平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线yxm上，且APOP4求m的值图3-1【答案】 见解析.【解析】解：APOP4，P在线段OA的垂直平分线上，如图3-2，作出线段OA的垂直平分线CP，与x轴交于点C与y=xm交于点P，P，图3-2AP=4，OC=AC=2，在RtACP中，由勾股定理
4、得：PC=，同理PC=，即得P(2, ),P (2, )，分别代入y=xm，得：m=2+或2.题4. 方案选择类某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图4-1所示,请求出点A,B,C的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.图4-1【答案】 见解析.【解析】解：（1）银卡：
5、y=10x+150;普通票：y=20x.(2)把x=0代入y=10x+150，得y=150.A(0,150).联立y=20x，y=10x+150得：x=15，y=300B(15,300).把y=600代入y=10x+150,得x=45.C(45,600).(3)当0x15时，选择购买普通票更合算；当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算；当15x45时，选择购买金卡更合算.题5. 等腰三角形存在性、平行四边形存在性问题如图5-1所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的AB边在x轴上,AB=3,AD=2,经过点C的直线y=x2与x轴、y轴分别交于点E、F（1）求：点D的
6、坐标；经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；（2）直线y=x2上是否存在点P,使得PDC为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由（3）在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标图5-1【答案】 见解析.【解析】解：（1）设点C的坐标为（m，2），点C在直线y=x2上，2=m2，得m=4，即点C的坐标为（4，2），四边形ABCD是矩形，AB=CD=3，AD=BC=2，点D的坐标为（1，2）；设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，经过点D且与FC平行的直线函
7、数表达式为y=x+1； （2）存在EBC为等腰直角三角形，CEB=ECB=45，又DCAB，DCE=CEB=45，PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，图5-2如图，当D=90时，延长DA与直线y=x2交于点P1，点D的坐标为（1，2），点P1的横坐标为1，把x=1代入y=x2得，y=1，点P1（1，1）；当DPC=90时，作DC的垂直平分线与直线y=x2的交点即为点P2，所以，点P2的横坐标为2.5，把x=2.5代入y=x2得，y=0.5，所以，P2（2.5，0.5），综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，1）或（2.5，0.5）；（3）当y=0时，x2=0，解得x=2，OE=2，
8、以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，若DE是对角线，则EM=CD=3，OM=EMOE=32=1，点M的坐标为（1，0），若CE是对角线，则EM=CD=3，OM=OE+EM=2+3=5，此时，点M的坐标为（5，0），若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（2.5，2），设点M的坐标为（x，y），则，解得x=3，y=4，此时，点M的坐标为（3，4），综上所述，点M的坐标为（1，0），（5，0）（3，4）题6. 分类讨论、面积问题如图6-1所示，直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式图6-
9、1【答案】 见解析.【解析】解：在y=x+3中，令x=0，则y=3，所以B的坐标是（0，3）；令y=0，解得x=-3，所以A的坐标是（-3，0）故OA=OB=3SABO=，当OAC的面积与OBC的面积的比是2：1时，SOAC=3，SOBC=，设C的坐标是（m，n），则m0，n0SOAC=3，解得：n=2，SOBC=，解得：m=-1则C的坐标是：（-1，2），设函数的解析式是y=kx，则-k=2，解得：k=-2，则函数的解析式是：y=-2x；当OBC的面积与OAC的面积的比是2：1时，同理可得C的坐标是（-2，1），则函数的解析式是：y=-x故直线a的解析式是y=-2x或y=-x题7. 动点问题
10、、面积问题如图7-1所示，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置时，OPA的面积为，并说明理由.图7-1【答案】 见解析.【解析】解：（1）点E在直线y=kx+6上，0=-8k+6，解得：k= ；（2）由（1）知，直线的解析式为，点P在直线上，设P点坐标为OA=6，当点P在第二象限时，其中，8x0.（3）设点P（m，n），则，解得：n=，舍负值.则m=，
11、三角形OPA的面积为时，点P的坐标为（，）题8. 待定系数法、面积问题已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，4）和（2，2）. （1）求这个一次函数；（2）设直线y=kx+b与x轴的交点A、与y轴的交点B，并求出AOB的面积； （3）在第四象限内，直线AB上有一点C使AOC的面积等于AOB的面积,请求出点C的坐标.【答案】 见解析.【解析】解：（1）一次函数y=kx+b的图象经过点（1，4）和（2，2）.k+b=4,2k+b=2，解得：k=-2,b=6，这个一次函数的解析式为y=2x+6.（2）令y=0可得2x+6=0，解得x=3，A点坐标为（3，0），令x=0可得y=6，B点坐标为（0，
12、6），AOB的面积为：0.536=9；（3）设C（t，2t+6），AOC的面积等于AOB的面积，0.53|2t+6|=9，解得t1=6，t2=0（舍去），C点坐标为（6，6）.题9. 待定系数法、面积问题如图9-1，直线l1的解析表达式为：y=3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得ADP与ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标图9-1【答案】 见解析.【解析】解：（1）在y=3x+3中，令y=0，得x=1，所以D（1,0）；（2）设直线l2的解析式为：y=kx+b，将（4,0）、（3，-1.5）代入得：解得：，即直线l2的解析式为.（3）联立y=3x+3和，解得：x=2，y=3，C(2,3)，AD=3,ADC的面积为，（4）ADP与ADC以AD为底边时，面积相等，则高也相等ADC中AD边上的高是3，则P到AD的距离是3，即P点的纵坐标为3或3，而点P不与C重合，所以，点P的纵坐标为3，在中，令y=3，得x=6，即P点坐标为（6,3）.
