1、专题专题 6.2 解三角形大题（面积问题解三角形大题（面积问题 2） 1如图，在四边形ABCD中，BCD是等腰直角三角形，90BCD，90ADB， 5 sin 5 ABD，2BD ，AC与BD交于点E （1）求sinACD； （2）求ABE的面积 解： （1）如图所示： 设ABD，则 5 sin 5 ， 2 2 5 cos1 5 sin， 1 tan 2 ， 所以tan1ADBD，所以5AB ， 所以541AD ， 2 2 2 BCCDBD， 所以9045135ADCADBBDC 由余弦定理： 222 2 cos 22 ADCDAC ADC AD CD ， 所以 2 122 22 12 AC
2、， 解得5AC ， 作AHBC，所以5ABAC， 2 2 BHCH， 10 sinsin(90)cos 10 CH ACDACBACB AC ， （2）设DEx，在CED中，由正弦定理得： sinsin135 xCE ACD ， 所以5CEx， 所以5(1)AEx， 在Rt ADE中，有 22 5(1)1xx ，即 2 2520 xx， 解得2x 或 1 2 由于2xDEBD， 故 1 2 x 所以 13 2 22 BE ， 则 13 24 ABE SBE AD 2如图，在ABC中，2AC ， 3 A ，点D在线段AB上 （1）若 1 cos 3 CDB ，求CD的长； （2）若2ADDB，s
3、in7sinACDBCD，求ABC的面积 解： （1）由 1 cos 3 CDB ，得 1 coscos 3 CDACDB ， 2 2 sin 3 CDA， 由正弦定理得 sinsin CDAC ACDA ，即 2 32 2 23 CD ，解得 3 6 4 CD ； （2）在ADC中，由正弦定理， sinsin ADAC ACDADC ， 在BDC中，由正弦定理， sinsin DBCB BCDBDC ， 又sinsin,2,sin7sinADCBDC ADDBACDBCD， 由 得，7CB ， 由余弦定理可得， 222 2cosCBACABAC ABA，即 2 742ABAB，解得3AB ，
4、 13 3 sin 22 ABC SAC ABA 3已知在ABC中， 3 BAC ，3AB ，BDDC ，且ACD的面积为 3 3 8 （1）若3，求AD的长； （2）当线段BC的长度最小时，求的值 解： （1）3BDDC ； D在线段BC上，且3BDDC； 所以： 3 3 4 2 ACD ABCS S ； 13 3 sin 22 ABACBAC； 2AC； 22222 1 2cos322237 2 BCABACABACBAC ； 7BC， 3 7 4 BD ， 7 4 CD ； 在ACD和ABD中由余弦定理得： 222 2cosACADCDADCDADC； 222 2cosABADBDADB
5、DADB 180ADCADB ； coscos0ADCADB； 3 得： 22222 163 (33) 416 ADACABCDBD； 3 7 4 AD； （2）在ABC中，由正弦定理得： sinsin BCAB BACACB ； 3 3 sin 2 sinsin ABBAC BC ACBACB ； 当90ACB时，线段BC的长度最小； 此时 3 cos 2 ACABBAC； 3 3 sin 2 BCABBAC； ACD的面积为 3 3 8 13 33 282 ACCDCD； 当D在线段BC上时2； 当D在线段BC延长线 上时4 ； 综上可得：2或4 4如图所示，四边形OAPB中，OAOB，1
6、0PAPB，PAOPBO ， 5 6 APB 设POA，AOB的面积为S （1）用表示OA和OB； （2）求AOB面积S的最大值 解： （1）在AOP中，由正弦定理得 sinsin APOP PAO ， 在BOP中，由正弦定理得 sin sin() 2 BPOP PBO ， PAOPBO ，10PAPB， 10 sincos APAP ， 则 10sin sincos AP ， 10sin10cos 10 sincossincos BP ， 由四边形OAPB内角和为2，可得 3 PAOPBO ， 在AOP中，由正弦定理得 sinsin APOA APO ， 即 10 sincos sin()
7、3 OA ， 10sin() 3 ,(0,) sincos2 OA 在BOP中，由正弦定理得 sinsin BPOB BOPBPO ， 即 cossin BPOB BPO ，则 10 sincos sin() 6 OB ， 10sin() 6 ,(0,) sincos2 OB （2）AOB面积 10sin() 10sin() 11 36 22 sincossincos SOA OB 2 3 50(sincos) 4 (sincos) ， 令sincost，2sin()(1,2 4 t ， 则 22 13225(23) 50 ()25 242 S tt ， 当2t ，即 4 时，S有最大值 50
8、25 3 4 ， 三角形OAB面积的最大值为 5025 3 4 5如图，正三角形ABC的边长为 4，D，E，F分别在三边AB，BC，CA上，且D为AB的中 点，90EDF，(090 )BDE （1）若60，求DEF的面积； （2）求DEF的面积S的最小值，及使得S取得最小值时的值 解： （1）在BDE中，由正弦定理得 sin60 2 sin(120) BD DE ； 在ADF中，由正弦定理得： sin60 3 sin(30) AD DF ； 所以 11 233 22 S DEFDE DF （2） 22 11313112112 1 22sin(120)sin(30)2223()3sincos32
9、sin2 ( 3cossin )(cos3sin ) 4 SDE DF cossin ； 当 0 45时，S取最小值： 112 6(23) 223 6在直角ABC中，点M，N在斜边BC上(M，N异于B，C，且N在M，C之间） （1）若BAC的平分线交BC于点M，2 2AM ，求4ACAB的最小值； （2）已知3AB ，3 3AC ， 6 MAN ，设BAM 若 21 sin 7 ，求MN的长； 求AMN面积的最小值 解： （1）AM是角A的平分线， 4 BAMCAM ， 又 ACBAMCAMB SSS ，即 1 2 bcbc， 所以 22 1 bc ，即 2282 44(4 )()10102
10、1618 cb ACABbcbc bcbc ， 当且仅当 82cb bc 时等号成立 （2）3AB ，3 3AC ，60ABC，30ACB， 21 sin 7 且为锐角， 2 7 cos 7 ， 在ABM中，sinsin()sin() 3 AMBABCBAM ， 由正弦定理得： sin sin()sin 33 ABBMAM ，代入数据求得，2BM ，7AM ， 在MAN中，30(60)90ANMACBCAN ， 2 7 sincos 7 ANM， 由正弦定理得： sinsin AMMN ANMMAN ，解得 7 4 MN 由正弦定理可知， 在ABM中， 3 3 sin 3 sin()2sin() 33 AB AM ， 在ACN中， 3 313 3 sin sincos22cos AC ANACN ANC ， 1271 sin 216 sin() cos 3 AMN SAM ANMAN ， 令 3 cos21113 ( )sin() cossin2sin(2) 3224234 f ，(0,) 3 ， 2( 33 ，)， 当2 32 即 12 时， 1323 ( )1 244 fmax ， 此时AMN面积取得最小值，为 27127(23) 16423 4
