1、一道二次函数经典50问已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D。（1）求此抛物线的解析式；（2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积；（4）在对称轴上找一点P，使BCP的周长最小，求出点P的坐标及BPC的周长。（5）在直线AC下方的抛物线有一点N，过点N作直线轴，交AC于点M，当点N的坐标是多少时，线段MN的长度最大？最大值是多少？（6）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使CAN的面积最大？最大面积是多少？（7）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积是多少？（8）在y轴上是否存在一点E
2、，使ADE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。（9）在y轴上是否存在一点F，使ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由。（10）在抛物线上是否存在一点N，使，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。（11）在抛物线上是否存在一点H，使，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由。（12）在抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。（13）在抛物线上是否存在一点E，使BE平分ABC的面积，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。（14）在抛物线上找一点F，作FMx轴，交AC于点H，使AC平分AFM的面积
3、？（15）在抛物线的对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求出K、L两点的坐标。（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M，交抛物线于点N，若以A、M、N、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标。（17）在抛物线上是否存在一点P，使POC=PCO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（18）在线段AC上是否存在一点M，使AOM与ABC相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。（19）点P是抛物线对称轴上的一个动点，作PHx轴于H，是否存在这样的点P，使PAH与OBC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
4、。（20） 若点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点O以相同的速度出发向点C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为T秒，OPQ的面积为S，求S与T之间的函数关系式，并求出S的最大值。（21）【补充】点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A、D、E、F构成菱形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由。（22）【补充】点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A、D、E、F构成矩形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由。（23）【补充】点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在
5、这样一个动点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标，并求出的最大值，若不存在，请说明理由。（24）【补充】在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使点P到直线AC的距离最大，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（25）【补充】在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使点P到直线AC的距离为，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（26）【补充】在直线AD上，是否存在一点P，使BP+CP最小，使若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（27）【补充】在直线AC上，是否存在一点P，使最小，使若存在，求出点P的坐标，并求出最小值，若不存在，请说明理由。（28）【补充】点E
6、是线段AC上的一个动点，点P是线段AB上的一个动点，PE/BC，是否在这样的动点P，使PEC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出PEC的面积的最大值，若不存在，请说明理由。（29）【补充】点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直x轴交AC于点E，PFAC于点F，是否存在这样的点P，使PEF的周长最大，若存在，求出点P的坐标，并求出PEC的周长的最大值，若不存在，请说明理由。（30）【补充】点O关于直线AC的对称点E是否在抛物线上，若在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。（31）【补充】点E是坐标轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使ACE是等腰直角三角形，若存在求出点E的
7、坐标，若不存在，请说明理由。（32）【补充】【正方形存在性问题】点E是坐标轴上的一个动点，点P在坐标平面内，是否存在这样的点P，使点P、E、A、C四点构成的四边形是正方形，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（33）【补充】已知对称轴交x轴于点E，以E为圆心，为半径作，试判断直线BC与的位置关系，并说明理由。（34）【补充】【平行四边形之横平行】已知M为直线AC上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM/AB，是否存在这样的点P，使点P、M、A、B构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（35）【补充】【平行四边形之纵平行】已知对称轴交x轴于点E，M为x轴
8、上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM/ED，是否存在这样的点P，使点P、M、E、D构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（36）【补充】【平行四边形之斜平行】已知M为x轴上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM/AC，是否存在这样的点P，使点P、M、A、C构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（37）【补充】已知和直线，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD于D。求证：PD=PF。（38）【补充】【等边三角形存在性问题】已知和直线，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD于D，是否存在这样的点P，使PFD是等边三角形，若
9、存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（39）【补充】已知和以及直线，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD于D。求证：PD+PE的最小值。（40）【补充】已知F为平面内一定点，点P为抛物线上一动点，且点P到直线的距离与点P到点F的距离总是相等，求定点F的坐标（41）【补充】已知，直线为平面内一定直线，点P为抛物线上一动点，且点P到直线的距离与点P到点F的距离总是相等，求定直线的解析式。（42）【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P(x1 ，y1)和Q(x2 ，y2)两点。求证：x1x2；y1y2是定值。（43）【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P(x1 ，y1)和Q(x
10、2 ，y2)两点，弦PQ中点为M，直线。求证：以M为圆心的与直线相切。（44）、【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P(x1 ，y1)和Q(x2 ，y2)两点，弦PQ的中点为M，直线。若MN于N。求证：NFPQ。（45）、【补充】D是抛物线的顶点，任意直线TH与抛物线交于T、H两点，若DTDH。直线TH是否过某一定点，若过某一定点，求出定点坐标；若不过某一定点，请说明理由。（46）、若直线PQ是过点的与抛物线有两个交点的任意直线，并与抛物线交于P、Q两点，连接DP、DQ。求证：DPQ是直角三角形。【注：实际上就是证明：DPDQ。】（47）、【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P(x1 ，y1)和Q(x2 ，y2)两点，直线。分别过点P、Q作PH于H，QT于T。求证：PH+QT是定值。（48）、【补充】过点（即：焦点）的任意直线与抛物线交于P(x1 ，y1)和Q(x2 ，y2)两点。求证：为定值。（49）、【补充】过点的任意直线与抛物线交于P、Q两点。求证：为定值。（50）、【补充】已知点T是对称轴上的任意一个点，过点T的任意直线与抛物线交于P、Q两点，M是弦PQ的中点，过点M向x轴作垂线，交抛物线于点N，抛物线在点N处的切线是HK。求证：HK/PQ.
