1、3.2 一、条件分布的概念一、条件分布的概念3.2 条件分布与条件分布与随机变量的独立性随机变量的独立性 本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的条件概率分布的概念条件概率分布的概念.例如，考察某大学的全体学生例如，考察某大学的全体学生,分别以分别以X和和Y表示表示其体重和身高，则其体重和身高，则X和和Y都是随机变量，具有一定的都是随机变量，具有一定的概率分布。概率分布。现在若限制现在若限制8.17.1 Y(米米)，在这个条件，在这个条件下去求下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在把身高在 1.7米和
2、米和1.8米之间的那些人都挑出来米之间的那些人都挑出来,然后在然后在挑出的学生中求其体重的分布挑出的学生中求其体重的分布.可见，这个分布与不加可见，这个分布与不加条件时的分布是不相同的。条件时的分布是不相同的。3.2 一般地，一般地，设设X是一个随机变量，是一个随机变量，其分布函数为其分布函数为,)(xxXPxFX若另外有一事件若另外有一事件A已经发生，已经发生，并且并且A的发生可能会对的发生可能会对事件事件xX 发生的概率产生影响，发生的概率产生影响，则对任一给定的实数则对任一给定的实数,x记记,|)|(xAxXPAxF并称并称)|(AxF为在为在A发生的条件下，发生的条件下，X的的条件分布
3、条件分布函数函数.3.2 例例1 设设X服从服从0,1上的均匀分布上的均匀分布,求在已知求在已知2/1 X的条件下的条件下X的条件分布函数的条件分布函数.1、离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布3.2,1,2,.iji jP Xx Yypi j 1,1,2,iii jjP Xxppi 1,1,2,.jji jiP Yyppj 设（设（X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为：）是二维离散型随机变量，其分布律为：（X,Y）关于）关于X和和Y的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为：3.2,|,1,2,iji jijjjP Xx YypP XxYyiP Yyp|jiP YyXx ,iji
4、P Xx YyP Xx ijipp 1,2,j 不难验证以上两式均满足分布律的基本性质不难验证以上两式均满足分布律的基本性质0jp 设设 ，由条件概率公式可得，由条件概率公式可得上式称为在上式称为在 条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律jyY 0ip 同样地，同样地，若若上式称为在上式称为在 条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律ixX 1例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设的条件分布律。条件下随机变量求在个邮筒内信的数目分别表示投入第XYYX0,2,1,解的条件分布律为的条件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2
5、949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y1949143.2 2、连续型随机变量的条件密度连续型随机变量的条件密度|(|)Y Xfy x(,)()Xf x yfx 设设(X,Y)的密度函数为的密度函数为 和和 分分)(),(xfyxfX)(yfY别是关于别是关于X和和Y的边缘密度函数，的边缘密度函数，()0Yfy|P Xx Yy (,)du()xYf u yfy 若若 则则|(|)X YFx y称为在称为在 条件下条件下X的分布函数，记为的分布函数，记为yY|(|)X Yfx y(,)()Yf x yfy 故在故在 条件下条件下X的条件密度函数，记为的条件密度函数，记
6、为yY|(|)Y XFy x(,)dv()yXf x vfx 类似的，可定义类似的，可定义3.2 2例具有概率密度和设随机变量YX2211(,)0,xyf x y，其他|(|)X Yfx y求解()Yfy(,)df x y x22 1|10,yy，其他对符合|1yy的的一一切切 有有221,1,(,)()2 1()0,X YYxyf x yfx yyfy其他.3.2 二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性3.2 定义定义1 设设(X,Y)为为二维随机向量，对于任意的二维随机向量，对于任意的 实数实数x,y，有，有,P Xx YyP XxP Yy则称随机变量则称随机变量X,Y相互独立相互独立注
7、注：X,Y相互独立等价于相互独立等价于(,)()()XYF x yFxFy 例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为10,0(,)0 xyx yeeexyF x y 其其它它判断判断X与与Y是否独立？是否独立？3.2 定理定理1 随机变量随机变量X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是X的生成的任何事件与的生成的任何事件与Y生成的任何事件独立生成的任何事件独立,对任意实数集对任意实数集,BA有有即即,BYPAXPBYAXP 定理定理2 如果随机变量如果随机变量X与与Y相互独立，相互独立，则对任意则对任意函数函数)(),(21ygxg均有均有)(),(21Yg
8、Xg相互相互独立独立.1、离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性3.2 定义定义2 若离散型随机变量若离散型随机变量 的可能取值为的可能取值为),(YX),(jiyx,2,1,ji并且对任意的并且对任意的 和和 ,事件事件ixjyixX 与与jyY 相互独立相互独立,即即jiijppp 则则 与与 相互独立相互独立.XY例例1 设二维随机变量设二维随机变量 的联合分布律为的联合分布律为:),(YXXY1 2 31 2911813191且且 与与 相互独立相互独立,试求试求 和和XY.jP iP 61 94 31 91613.2 YX1y2y3y ip1x812x81jp61 124143
9、4112121318341例例2 设随机变量设随机变量 与与 相互独立相互独立,下表列出了二维下表列出了二维XY填入表中的空白处填入表中的空白处.的边缘分布律中的部分数值的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值试将其余数值 XY),(YX随机变量随机变量 联合分布律及关于联合分布律及关于 和关于和关于 3.2 2、连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性3.2 定义定义3 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 的联合概的联合概),(YX则则 和和 相互独立相互独立.XY),(yxf关于关于 和和 的边缘概率密度分的边缘概率密度分XY率密度为率密度为如果对任意实数如果对任意实数 和和x,y
10、)(xfX和和),(yfY别为别为)()(),(yfxfyxfYX 有有注：这里注：这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除去的含义是：在平面上除去 面积为面积为0的集合外，处处成立的集合外，处处成立.例例3 若若(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 其其它它0108),(yxxyyxf问问X与与Y是否相互独立是否相互独立?11xyyx o3-1例题3-1例3.ppt3.2 例例4设设),(YX服从单位圆上的均匀分布服从单位圆上的均匀分布,概率密度为概率密度为,01,/1),(22 其它其它yxyxf 求求).|(|xyfXY3.2 例例5 设设).;,;,(),(222121 NYX(1)求求)|(|yxfYX和和);|(|xyfXY(2)证明证明X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是.0
