1、江苏省江苏省 20202020 届届三轮复习填空压轴题突破三轮复习填空压轴题突破 -切线与切线与公公切线切线的应用的应用 【方法点拨】【方法点拨】 1.利用 “形” 解决恒成立问题 （两个均为曲线） ， 可考虑两曲线在公切点处的取值情况； 2.零点问题有时也可以转化为 【典型题示例】【典型题示例】 例 1 （2019苏锡常镇二检14）已知 e 为自然对数的底数，函数的 图像恒在直线上方，则实数 a 的取值范围为 答案答案： 考点考点：指数函数，二次函数，恒成立问题。 解析解析：依题意有：，即恒成立， a0 时显然成立， a0 时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立， 所以，要使不等式恒成立，
2、需 a0. 当 a0 时，设 2 3 ( ) 2 f xaxax，( ) x g xe 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的 “临界状态”时的切点坐标. 设公切点为 0 0, x x e，则 0 0 2 00 0 3 2 3 2 2 x x eaxax eaxa ，解之得 00 3 1 2 xx 或（舍） 切点为 1 1,e 为使( )( )f xg x， 只需 1 1 ( 1) 2 fae ，故 2 a e 又 a0，所以 2 0a e . 综上，实数 a 的取值范围为 2 ( ) x f xeax 3 2 yax 2 (,0 e 2x eax 3 2
3、 ax x e 2 3 2 axax 2 (,0 e 例 2 （ 2020 泰 州 中 学 、 江 都 中 学 、 宜 兴 中 学 第 一 次 联 考 ） 已 知 函 数 ，若，且，则的最小值是_. 答案： 分析：根据几何意义，满足条件的点在曲线 ( )ln (1)f xx x 上 ， 该 点 处 切 线与 11 22 yx平行. 解 析 ： 设 000 (, l n) (1 )xxx 为 曲 线 ()l n(1 )fxxx 上一点， 当该点处切线 与 11 22 yx平行时，满足题意. 令 0 0 11 () 2 f x x 得 0 21x 满足题意，即2n 把 0 2x 代入( )lnf
4、xx得 0 ln2y 把 0 ln2y 代入 11 22 yx得2ln2 1x，即2ln2 1m 2(ln2 1)3ln2nm即为所求. 答案： . 【巩固训练】【巩固训练】 1. 设函数 f(x)ax2alnx，其中 aR，若不等式 f(x)1a 恒成立，则实数 a 的取值范围 为 答案：, 2 e 2. （2017苏北四市期中20(3)改编）设函数 2 ( )lnf xxaxax，a为正实数，若函 数( )f x有且只有1个零点，则a的值为 答案：1 解析: 遇含参问题能分离变量则分离. 函数( )f x有且只有1个零点，意即( )lng xx与 2 ( )h xaxax的图象只有一个交点
5、，由于( )lng xx 与 2 ( )h xaxax均过点(1,0)， ln ,1 11 ,1 22 x x f x xx mn f mf nnm 3 2ln2 3 2ln2 8 6 4 2 2 4 6 8 y 1510551015 g x( ) = 1 2 x + 1 2 f x( ) = ln x( ) nmO 所以( )f x的零点为1x . 所以( )lng xx与 2 ( )h xaxax在点(1,0)处相切， 故 1 (1)2 x haxaa 与 1 1 (1)1 x g x 相等，所以1a . 3.（2019泰州中学、宜兴中学、梁丰高中 4 月联考）已知函数 31 ( ) 4
6、f xx x ，若直线 1 l ，2 l 是函数 ( )yf x 图象的两条平行的切线， 则直线 1 l ，2 l 之间的距离的最大值是_ 答案：2 分析：函数的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点 对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与 过切点与坐标原点的直线垂直. 解析：不妨设切点为（ 1 0x ） 1 2 1 31 () 4 fx x ，而过切点与坐标原点的直线的斜率为 2 1 31 4x 22 11 3131 1 44xx 解之得 1 2 5 5 x 故切点为 2 55 , 55 两切点间的距离是 2，即为所求. 4.（2018安徽江南十校联考10）若曲线 2 1 Cyx：与曲线 2 (0) x e Cya a ：存在公共 切线，则实数 a 的取值范围为 答案： 2 , 4 e ( )yf x 11 1 31 , 4 xx x
