1、江苏省江苏省 20202020 届届三轮复习填空压轴题突破三轮复习填空压轴题突破 -三角换元法三角换元法 【方法点拨】【方法点拨】 1.遇到需设圆上点的坐标时,可使用圆的参数方程,从而减少引入变量的个数,简化计 算; 2.遇到平方和为“1”时，也可以考虑三角换元. 【典型题示例】【典型题示例】 例 1 （2020 扬州 上学期期末） 在平面直角坐标系xOy中， A 和 B是圆 22 :(1)1Cxy 上两点，且 2AB ，点 P 的坐标为(2,1)，则|2|PAPB的取值范围为_. 答案： 52, 52 分析：虽然 A、B 是圆上两动点，但是 2AB 为定长，故其所对的圆心角为定值， 2 AC
2、B ，为将所求使用坐标运算，故可实施三角换元，从而转化为三角函数问题. 解析: 2AB 2 ACB 不妨设(1 cos ,sin)A，则(1 sin,cos)B（其中R） 则2PAPB的坐标为(sin2cos1,2sincos1) 22 2(sin2cos1)(2sincos1)76sin2cosPAPB 72 10sin() 52, 52. 例 2 （2020 苏州中学 上学期期中） 在直角三角形 ABC 中，68 2 AABAC ， 过三角形 ABC内切圆圆心 O的直线 l与圆相交于 E、F 两点，则AE BF 的取值范围是 _ 答案：20，4 分析： 建立直角坐标系， 求出圆心及半径，
3、写出圆方程， 利用圆的参数方程， 设点， 将A E B F 转化为三角问题即可. 解析：根据题意，建立如图直角坐标系： 容易知0,0 ,0,6 ,8,0ABC 设内切圆半径为r，根据等面积法可求得： 11 22 ABBCACrAB AC 求得2r ，解得圆心坐标为2,2， 故内切圆方程为 22 224xy. 设(22cos ,22sin)E，则(22cos ,22sin)F（其中R） 所以(22cos ,22sin)AE，(22cos , 42sin)BF (22cos )(22cos )(22sin)( 42sin)8 12sin20,4AE BF . 【巩固训练】【巩固训练】 1. 已知实
4、数xy、满足 2 +21xxyy+= 2 2，求x的取值范围. 分析：把等式左边配成平方和的形式，进行三角换元. 解析：由 2 +21xxyy+= 2 2得() 2 2 +1x yy+= 令+sinx ya=，cosya=，相减得sincosxaa=- 由于sincos2aa-?，即2x 所求x的取值范围为2, 2 轾 - 犏 臌 . 点评：本题解法的关键是通过三角换元，把代数问题三角函数问题，利用正余弦函数的有界 性求解. 2. （2019苏大高考指导卷（2） ）如图，等边ABC的边长为 2，顶点B, C分别在x轴 的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，则MOAO 的最大值为 _
5、. 解析：设OBC，则 B(2cos ，0)，C(0,2sin )， 过点 A作 ADy轴于点 D， 则 A(2sin(30 )，2sin 2cos(30 )， 即 A(cos 3sin ，sin 3cos ) 因为 M 3 2cos 3 2 sin ，1 2sin 3 2 cos ， 所以OA OM 2cos23 3 2 sin 25 2 1 2(cos 23 3sin 2) 5 2 1 2 1275 2 7. 3. （2020 泰州第二学期高三调研 13） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A( 1 x， 1 y)， B( 2 x， 2 y)在圆 O： 22 4xy上，且满足 1212 2x xy y ，则 1212 xxyy的最小值 是 分析：结构联想，“算两次”， 1212 =cos=4cos2x xy yOA OBOA OBAOBAOB ，则 2 3 AOB ，三 角换元，设 22 (2cos ,2sin), (2cos(),2sin() 33 AB 故 1212 22 2cos2cos()2sin2sin() 33 xxyy (13)sin(13)cos2 2cos() 所以 1212 xxyy的最小值是2 2
