1、 1 阿氏圆题型的解题方法和技巧阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现， 对于此类问 题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点 P 到两定点 A、B 的距离 之比等于定比 n m (1)，则 P 点的轨迹，是以定比 n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连 线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简 称阿氏圆 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB，(k1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+
2、kPB,(kPA+kPB,(k1)P1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、y 轴分别有点 C(m，0)，D(0，n).点 P 是平面 内一动点，且 OP=r，求 PC+kPD 的最小值. 阿氏圆一般解题步骤：阿氏圆一般解题步骤： 第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点 O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省 略这一步) 第二步： 连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接)， 即连接 OP、 OD； 第三步：计算出所连接的
3、这两条线段 OP、OD 长度； 第四步：计算这两条线段长度的比 k； 第五步：在 OD 上取点 M，使得 OM:OP=OP:OD=k； 第六步：连接 CM，与圆 O 交点即为点 P此时 CM 即所求的最小值. 【补充：【补充：若能直接构造相似计算的，直接计算，不能直接构造相似计算的，先把 k 提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成 k 1 ，再构造相似进行计算】 2 习题习题 【旋转隐圆旋转隐圆】如图，在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AC 的中点，M 为 BD 的中点，将线段 AD 绕 A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 M 为 BD 的中点），若 AC=4，BC=3，那么在旋转
4、 过程中，线段 CM 长度的取值范围是_. 1.RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D 为ABC 内一动点，满足 CD=2，则 AD+ 3 2 BD 的最小值为_. 2.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为 60，A 与 BC 相切于点 E，在A 上任取一 点 P，则 PB+ 2 3 PD 的最小值为_. 3.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60， 圆 B 的半径为 2， P 为圆 B 上一动点， 则 PD+ 2 1 PC 的最小值为_. 4.如图，点 A，B 在O 上，OA=OB=12,OAOB，点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，OD=1
5、0.动 点 P 在O 上，则 PC+ 2 1 PD 的最小值为_. 5.如图，等边ABC 的边长为 6，内切圆记为O，P 是圆上动点，求 2PB+PC 的最小值. 6.如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为O，P 是圆上的动点，求2PA+PB 的最小值. 7.如图，边长为 4 的正方形，点 P 是正方形内部任意一点，且 BP=2，则 PD+ 2 1 PC 的最小值 为_；2PD+4PC 的最小值为_. 8.在平面直角坐标系 xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是AOB 外部的第一 象限内一动点，且BPA=135，则 2PD+PC 的最小值是_. 3 9.在A
6、BC 中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P 是A 上的动点，连接 PB、PC， 则 3PC+2PB 的最小值为_. 10.如图，在 RtABC 中，A=30，AC=8，以 C 为圆心，4 为半径作C (1)试判断C 与 AB 的位置关系，并说明理由； (2)点 F 是C 上一动点，点 D 在 AC 上且 CD=2，试说明FCDACF； (3)点 E 是 AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出 EF+ 2 1 FA 的最小值. 11.(1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点， 求 PD+ 2 1 PC 的最
7、小值和 PD- 2 1 PC 的最大值； (2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那 么 PD+ 3 2 PC 的最小值为_，PD- 3 2 PC 的最大值为_ (3)如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个 动点，那么 PD+ 2 1 PC 的最小值为_，PD- 2 1 PC 的最大值为_. 4 12.问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上 一动点，连结 AP、BP，求 AP+ 2 1 BP 的最小值 (
8、1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD=1，则有 2 1 CB CP CP CD ，又PCD=BCP，PCDBCP 2 1 BP PD ， PD= 2 1 BP，AP+ 2 1 BP=AP+PD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ 2 1 BP 的最小值为_ (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 3 1 AP+BP 的最小值为_ (3)拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是弧 CD 上一点，求 2PA+PB 的最小值. 【二次函数结合阿氏圆题型二次函数结合阿
9、氏圆题型】 13.如图 1，抛物线 y=ax+(a+3)x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线 于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M (1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； (2)设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 5 6 2 1 C C ，求 m 的值； (3)如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为（0 90），连接 EA、EB，求 EA+ 3 2 EB 的最小值 5 问题背景问题背景：
10、如图 1，在ABC 中，BC=4，AB=2AC 问题初探问题初探：请写出任意一对满足条件的 AB 与 AC 的值：AB=_，AC=_ 问题再探问题再探：如图 2，在 AC 右侧作CAD=B，交 BC 的延长线于点 D，求 CD 的长 问题解决问题解决：求ABC 的面积的最大值 6 1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动 类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形 探索理解：探索理解： (1)如图 1，已知 A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法 画出格点 D，连接 DA、DC，使四边形 ABCD 为邻等四边形； 尝试体验尝试体验
11、： (2)如图 2，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD，ABC=120，ADC=60，AB=2，BC=1，求四边 形 ABCD 的面积 解决应用解决应用： (3)如图 3，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD，ABC=75，ADC=60，BD=4 小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图 3 条件的邻等四边形，要求尽可能节约你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求 出此时四边形 ABCD 面积的最小值；如果不能，请说明理由 2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” (1)如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”请写 出你添加的一个条件 (2)如图 2，等邻边四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD+BCD=90，AC、BD 为对角线，AC=2 AB，试探究 BC，BD 的数量关系 (3)如图 3， 等邻边四边形 ABCD 中， AB=AD， AC=2， BAD=2BCD=60， 求等邻边四边形 ABCD 面积的最小值.
