1、圆和相似（初三）一解答题（共18小题）1（2012铜仁地区）如图，已知O的直径AB与弦CD相交于点E，ABCD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F（1）求证：CDBF；（2）若O的半径为5，cosBCD=，求线段AD的长2（2013河东区一模）如图，已知CD是O的直径，ACBC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且A+2AED=90（）证明：直线AB是O的切线；（）当BC=1，AE=2，求tanOBC的值3（2011湛江）如图，在RtABC中，C=90，点D是AC的中点，过点A，D作O，使圆心O在AB上，O与AB交于点E（1）若A+CDB=90，求证：直线BD与O相切；（
2、2）若AD：AE=4：5，BC=6，求O的直径4（2012丰润区一模）如图，已知O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cosBCD=（1）求证：BF为O的切线（2）求O的半径5（2013塘沽区二模）如图（1），AB为O的直径，C为O上一点，若直线CD与O相切于点C，ADCD，垂足为D（）求证：ADCACB；（）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值6（2012德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，ADBC，垂足为D，连接BE交AD于F
3、，过A作AGBE交BC于G（1）判断直线AG与O的位置关系，并说明理由（2）求线段AF的长7（1997湖南）已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O的直径长为常数k；（3）求tanFPA的值8（2005柳州）已知，如图，直线l与O相切于点D，弦BCl，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H（1）求证：AB=AC；（2）如果AE=6，EF=2，求AC9（2006黄冈）如图
4、，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P（1）若PC=PF，求证：ABED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？10已知：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连接DE，DE=（1）求证：AMMB=EMMC；（2）求sinEOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是O的切线11（2012临沂）如图，点A、B、C分别是O上的点，B=60，AC=3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一
5、点，且AP=AC（1）求证：AP是O的切线；（2）求PD的长12（2012陕西）如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP，垂足为N（1）求证：OM=AN；（2）若O的半径R=3，PA=9，求OM的长13（2012东营）如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：ODBE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长14（2013黄石）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，E是O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且ODBE，OFBN（1）求证：DE与O相切；（2）求证：O
6、F=CD15（2012枣庄）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F已知OA=3，AE=2，（1）求CD的长；（2）求BF的长16（2012达州）如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作OEAC于点E，过点A作O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P（1）求证：PC是O的切线（2）若AF=1，OA=，求PC的长17（2012衢州）如图，在RtABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求O的半径r18（201
7、2怀化）如图，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB（1）当ADC=18时，求DOB的度数；（2）若AC=2，求证：ACDOCB（2013天津）已知直线l与O，AB是O的直径，ADl于点D（）如图，当直线l与O相切于点C时，若DAC=30，求BAC的大小；（）如图，当直线l与O相交于点E、F时，若DAE=18，求BAF的大小圆和相似结合（初三）参考答案与试题解析一解答题（共18小题）1（2012铜仁地区）如图，已知O的直径AB与弦CD相交于点E，ABCD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F（1）求证
8、：CDBF；（2）若O的半径为5，cosBCD=，求线段AD的长考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形1414687专题：压轴题分析：（1）由BF是O的切线，AB是O的直径，根据切线的性质，即可得BFAB，又由ABCD，即可得CDBF；（2）又由AB是O的直径，可得ADB=90，由圆周角定理，可得BAD=BCD，然后由O的半径为5，cosBCD=，即可求得线段AD的长解答：（1）证明：BF是O的切线，AB是O的直径，BFAB，3分CDAB，CDBF； 6分（2）解：AB是O的直径，ADB=90，7分O的半径5，AB=10，8分BAD=BCD，10分cosBAD=cosBCD=，AD=cos
9、BADAB=10=8，AD=812分点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用2（2013河东区一模）如图，已知CD是O的直径，ACBC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且A+2AED=90（）证明：直线AB是O的切线；（）当BC=1，AE=2，求tanOBC的值考点：切线的判定1414687专题：计算题分析：（I）连接OE，CE，OB，求出BC=BE，证出OEBOCB，推出OEB=ACB=90，根据切线的判定推出即可；（II）证AEOACB，推出=，求出=，解直角三角形求出即可解答：（）证明：连接O
10、E，CE，OB，DC为圆O的直径，DEC=90，即CEB+AED=90，2AED+2CEB=180，ACBC，ACB=90，A+ABC=90，A+2AED=90，ABC=2AED，ABC+2CEB=180，ABC+CEB+ECB=180，CEB=ECB，BC=BE，在OEB和OCB中，OEBOCB，OEB=ACB=90，即OEAB，AB是O切线（）解：BE=BC=1，AB=2+1=3，在RtACB中，由勾股定理得：AC=2，A=A，AEO=ACB=90，AEOACB，=，=，tanOBC=点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要
11、考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力3（2011湛江）如图，在RtABC中，C=90，点D是AC的中点，过点A，D作O，使圆心O在AB上，O与AB交于点E（1）若A+CDB=90，求证：直线BD与O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求O的直径考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理1414687专题：几何综合题；压轴题分析：（1）连接OD，由A=ADO，进而证得ADO+CDB=90，而证得BDOD；（2）连接DE，由AE是直径，得到ADE=90，然后利用已知条件可以证明DEBC，从而得到ADEACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是
12、AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题解答：解：（1）连接OD，OA=OD，A=ADO，又A+CDB=90，ADO+CDB=90，ODB=180（ADO+CDB）=90，BDOD，BD是O切线；（2）连接DE，（7分）AE是直径，ADE=90，（8分）又C=90，ADE=C，A=A，ADEACB，（9分）AD：AC=DE：BC又D是AC中点，AD=AC，DE=BC，BC=6，DE=3，（11分）AD：AE=4：5，在直角ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，x=1AE=5点评：本
13、题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质解题的关键是连接OD、DE，证明DEBC4（2012丰润区一模）如图，已知O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cosBCD=（1）求证：BF为O的切线（2）求O的半径考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形1414687分析：（1）由ABCD，BFCD，可得ABBF，又由AB是O的直径，即可证得BF为O的切线；（2）首先连接BD，由AB是O的直径，可得ADB是直角，又由AD=3，cosBCD=，即可得cosBAD=，继
14、而求得答案解答：（1）证明：ABCD，BFCD，ABBF，AB是O的直径，BF为O的切线；（2）解：连接BD，AB是O的直径，ADB=90，BCD=BAD，cosBCD=，cosBAD=，AD=3，AB=4，O的半径为2点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用5（2013塘沽区二模）如图（1），AB为O的直径，C为O上一点，若直线CD与O相切于点C，ADCD，垂足为D（）求证：ADCACB；（）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求
15、的值考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质1414687分析：（I）连接OC，求出ADC=ACB，DCA=B，根据相似三角形的判定推出即可；（II）根据勾股定理求出AB，求出ACG+B=180，求出DCA=B，求出ADC=AGB，证ADCAGB，得出比例式，代入求出即可解答：（I）证明：连接OC，OC=OB，OBC=OCB，AB是O直径，DC切O于C，ADDC，ADC=DCO=ACB=90，DCA+ACO=ACO+OCB=90，DCA=OCB=OBC，ADC=ACB，DCA=OBC，ADCACB（II）解：AB是O直径，AGB=90，AG=4，BG=3，由勾股定理得：AB=5，四边形ACGB
16、是O的内接四边形，B+ACG=180，ACD+ACG=180，B=DCA，ADDC，ADC=AGB，ADCAGB，=，=点评：本题考查了圆内接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是推出ADCACB或ADCAGB6（2012德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，ADBC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AGBE交BC于G（1）判断直线AG与O的位置关系，并说明理由（2）求线段AF的长考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形1414687专题：计算题；证明题分析：（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA
17、BE，根据AGBE，推出OAAG，根据切线的判定即可得出答案；（2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出EBC=30，在FBD中，通过解直角三角形求出DF即可解答：解：（1）直线AG与O的位置关系是AG与O相切，理由是：连接OA，点A，E是半圆周上的三等分点，弧AB=弧AE=弧EC，点A是弧BE的中点，OABE，又AGBE，OAAG，AG与O相切 （2）点A，E是半圆周上的三等分点，AOB=AOE=EOC=60，又OA=OB，ABO为正三角形，又ADOB，OB=1，BD=OD=，AD=，又EBC=EOC=30（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），在RtFBD中，F
18、D=BDtanEBC=BDtan30=，AF=ADDF=答：AF的长是点评：本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中7（1997湖南）已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O的直径长为常数k；（3）求tanFPA的值考点：圆的综合题1414687专题：压轴题分析：（1）由PB
19、切O于点B，根据弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，可证得PBDPAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：O的直径长为常数k；（3）由A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tanFPB的值，则可得tanFPA的值解答：（1）证明：如图，PB切O于点B，PBD=A，PF平分APB，APE=BPD，PBDPAE，PB：PA=BD：AE，PABD=PB
20、AE；（2分）（2）证明：如图，BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD又PBD=A，EPA=BPD，BED=BDEBE=BD线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），AE+BD=k，AE+BD=AE+BE=AB=k，即O直径为常数k（5分）（3）PB切O于B点，AB为直径PBA=90A=60PB=PAsin60=PA，又PABD=PBAE，BD=AE，线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）AEBD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在RtPBA中，PB=ABtan60=（2+）=3+
21、2在RtPBE中，tanBPF=2，FPA=BPF，tanFPA=2点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用8（2005柳州）已知，如图，直线l与O相切于点D，弦BCl，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H（1）求证：AB=AC；（2）如果AE=6，EF=2，求AC考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理1414687专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）根据切线的性质知道ADL，由BCl可得ADBC，那么可得到AB和AC所对的弧相等，进而得到AB=AC；（2
22、）根据（1）可知F=B=ACB，由此即可证明AECACF，然后利用其利用对应线段成比例可以解决问题解答：（1）证明：直线l与O相切于点D，ADl，BCl，ADBCAB=AC（2）解：AB=AC，B=ACBB=F，F=ACB又EAC=FAC，AECACF=，AE=4点评：本题用到的知识点为：弧相等，弧所对的弦也相等；相似三角形中的对应线段成比例来9（2006黄冈）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P（1）若PC=PF，求证：ABED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DEDF，为
23、什么？考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质1414687专题：几何综合题分析：（1）作辅助线，连接OC根据切线的性质，OCPC根据PC=PF，OC=OA，可得：PCF=PFC，OCF=OAC在RtFHA中，可得：FHA=90，故ABED；（2）根据AD2=DEDF，可得：FADAED，FAD=DEA从而可知：=，即D在劣弧AC的中点解答：（1）证明：连接OC，PC为O的切线，OCP=FCP+OCF=90，PC=PF，PCF=PFC，OA=OC，OCA=OAC，CFP=AFH，AFH+OAC=90，AHF=90，即：ABED（2）解：D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DEDF连
24、接AE若AD2=DEDF，可得：FADAED，FAD=DEA，=即D为劣弧AC的中点时，能使AD2=DEDF点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形性质的运用10已知：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连接DE，DE=（1）求证：AMMB=EMMC；（2）求sinEOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是O的切线考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质1414687专题：计算题；压轴题分析：（1）连接AE，BC，由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两三角形相似，
25、得到三角形AEM与三角形CBM相似，由相似得比例，化简后即可得证；（2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长，根据所求EM的长与半径相等判断出OEM为等腰三角形，过E作EFOM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sinEOB的值；（3）由EO=EM，EF垂直于OM，得到F为OM的中点，由M为OB中点，求出OM的长，可得出OF的长，由OB+BP=OP，得出OP的长，利用OPOF求出FP的长，再由EF的长，利用勾股定理求出EP的长，在三角形OEP中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形OEP为直角三角形，可得OEP为直角，即EP垂直于OE，可得
26、EP为圆O的切线解答：解：（1）连接AE，BC，AEC与MBC都为所对的圆周角，AEC=MBC，又AME=BMC（对顶角相等），AMECMB，AM：CM=EM：MB，即AMMB=EMMC；（2）如图，DC为O的直径，DEEC，DC=8，DE=，EC=7，设EM=x，由于M为OB的中点，BM=2，AM=6，AMMB=x（7x），即62=x（7x），整理得：x27x+12=0，解得：x1=3，x2=4，EMMC，EM=4，OE=EM=4，OEM为等腰三角形，过E作EFOM，垂足为F，则OF=OM=1，EF=，sinEOB=；（3）在RtEFP中，EF=，PF=FB+BP=3+12=15，根据勾股定
27、理得：EP=4，又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16，OE2+EP2=16+240=256，OP2=256，OE2+EP2=OP2，OEP=90，则EP为圆O的切线点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：有点连接此点与圆心证直线与半径垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径11（2012临沂）如图，点A、B、C分别是O上的点，B=60，AC=3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：AP是O的切线；（2）求PD的长考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角
28、形1414687分析：（1）首先连接OA，由B=60，利用圆周角定理，即可求得AOC的度数，又由OA=OC，即可求得OAC与OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得P，则可求得PAO=90，则可证得AP是O的切线；（2）由CD是O的直径，即可得DAC=90，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长解答：（1）证明：连接OAB=60，AOC=2B=120，又OA=OC，ACP=CAO=30，AOP=60，AP=AC，P=ACP=30，OAP=90，OAAP，AP是O的切线，（2）解：连接ADCD是O的直径，CAD=90，AD=AC
29、tan30=3=，ADC=B=60，PAD=ADCP=6030=30，P=PAD，PD=AD=点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用12（2012陕西）如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP，垂足为N（1）求证：OM=AN；（2）若O的半径R=3，PA=9，求OM的长考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质1414687专题：几何综合题分析：（1）连接OA，由切线的性质可知OAAP，再由MNAP可知四边形ANMO是矩形，故可得
30、出结论；（2）连接OB，则OBBP由OA=MN，OA=OB，OMAP可知OB=MN，OMB=NPM故可得出RtOBMMNP，OM=MP设OM=x，则NP=9x，在RtMNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论解答：（1）证明：如图，连接OA，则OAAP，MNAP，MNOA，OMAP，四边形ANMO是矩形，OM=AN；（2）解：连接OB，则OBBPOA=MN，OA=OB，OMAPOB=MN，OMB=NPMRtOBMRtNPM，OM=MP设OM=x，则NP=9x，在RtMNP中，有x2=32+（9x）2x=5，即OM=5点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定
31、与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答13（2012东营）如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：ODBE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长考点：切线的性质；勾股定理1414687专题：几何综合题分析：（1）首先连接OE，由AM和BN是它的两条切线，易得ADO=EDO，DAO=DEO=90，由切线长定理，可得AOD=EOD=AOE，AOD=ABE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得ODBE；（2）由（1），易证得EOD+EOC=90，然后利用勾股定理，即可求得CD
32、的长解答：（1）证明：连接OE，AM、DE是O的切线，OA、OE是O的半径，ADO=EDO，DAO=DEO=90，（2分）AOD=EOD=AOE，ABE=AOE，AOD=ABE，ODBE； （5分）（2）由（1）得：AOD=EOD=AOE，同理，有：BOC=EOC=BOE，AOD+EOD+BOC+EOC=180，EOD+EOC=90，DOC是直角三角形，（7分）CD=10（cm）（9分）点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用14（2013黄石）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，E是O上一点，
33、D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且ODBE，OFBN（1）求证：DE与O相切；（2）求证：OF=CD考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线1414687分析：（1）连接OE，由AM与圆O相切，利用切线的性质得到OA与AM垂直，即OAD=90，根据OD与BE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE，OD为公共边，利用SAS得出三角形AOD与三角形EOD全等，利用全等三角形的对应角相等得到OED=90，即OE垂直于ED，即可得证；（2）连接OC，由CD与CB为圆的切线，利用切线的
34、性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC为公共边，利用HL得出两直角三角形全等，进而得到BOC=EOC，利用等量代换及平角定义得到COD=90，即三角形COD为直角三角形，由OF与BN平行，AM与BN平行，得到三线平行，由O为AB的中的，利用平行线等分线段定理得到F为CD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证解答：证明：（1）连接OE，AM与圆O相切，AMOA，即OAD=90，ODBE，AOD=ABE，EOD=OEB，OB=OE，ABE=OEB，AOD=OEB，AOD=EOD，在AOD和EOD中，AODEOD（SAS），OED=OAD=90，则DE为圆O的切线；（2）在RtB
35、CO和RtECO中，RtBCORtECO，BOC=EOC，AOD=EOD，DOC=EOD+EOC=180=90，AM、BN为圆O的切线，AMAB，BNAB，AMBN，OFBN，AMOFBN，又O为AB的中点，F为CD的中点，则OF=CD点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键15（2012枣庄）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F已知OA=3，AE=2，（1）求CD的长；（2）求BF的长考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质1414687专
36、题：计算题分析：（1）连接OC，在OCE中用勾股定理计算求出CE的长，然后得到CD的长（2）根据切线的性质得ABBF，然后用ACEAFB，可以求出BF的长解答：解：（1）如图，连接OC，AB是直径，弦CDAB，CE=DE在直角OCE中，OC2=OE2+CE232=（32）2+CE2得：CE=2，CD=4（2）BF切O于点B，ABF=90=AEC又CAE=FAB（公共角），ACEAFB=即：=BF=6点评：本题考查的是切线的性质，（1）利用垂径定理求出CD的长（2）根据切线的性质，得到两相似三角形，然后利用三角形的性质计算求出BF的长16（2012达州）如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作O
37、EAC于点E，过点A作O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P（1）求证：PC是O的切线（2）若AF=1，OA=，求PC的长考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质1414687专题：几何综合题；压轴题分析：（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明FAC=FCA，然后根据切线的性质得出FAO=90，然后即可证明结论（2）先证明PAFPCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在RtPCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PC得长解答：（1）证明：连接OC，OEAC，AE=CE，FA=FC，FAC=FCA，OA=OC（圆的
38、半径相等），OAC=OCA，OAC+FAC=OCA+FCA，即FAO=FCO，FA与O相切，且AB是O的直径，FAAB，FCO=FAO=90，CO是半径，PC是O的切线；（2）解：PC是O的切线，PCO=90，又FPA=OPC，PAF=90，PAFPCO，CO=OA=，AF=1，PC=PA，设PA=x，则PC=在RtPCO中，由勾股定理得：，解得：，PC=2=点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度17（2012衢州）如图，在RtABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点
39、，O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求O的半径r考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质1414687分析：（1）连接OD欲证AC是O的切线，只需证明ACOD即可；（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即O的半径r的值解答：（1）证明：连接ODOB=OD，OBD=ODB（等角对等边）；BD平分ABC，ABD=DBC，ODB=DBC（等量代换），ODBC（内错角相等，两直线平行）；又C=90（已知），ADO=90（两直线平行，同位角相等），ACOD，即AC是O的切线；（2）解：由（1）知，ODBC，=（平行线截线段成比例），=，解得r=，即O的半径r为点评：本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可18（2012怀化）如图，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB（1）当ADC=18时，求DOB的度数；（2）若AC=2，求证：ACDOCB考点：圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定1414687专
