1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五 数学 参考公式： 样本数据 1 x， 2 x， n x的方差 2 2 1 1 n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积VSh，其中 S 是柱体的底面积，h是柱体的高 锥体的体积 1 3 VSh，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高 一填空题：本题共 14 小题，请把答案填写在答题卡相应位置上 1设集合 2 lg1Ax yx， 3 ,0 x By yx，则AB _ 2复数z=i 1+2 i的虚部_ 3以双曲线 2 2 1 3 y x的顶点为焦点，离心率为 3 3 的椭圆的标准方程为_ 4 正实数 a，
2、b， c 满足： 1 3 1 log 3 a a ， 1 3 1 3 b b ， 1 3 1 3 log cc， a， b， c 的大小关系是_ 5函数sin23cos21yxx的值域_ 6设 f x是定义在 R 上的偶函数且 3f xf x对xR恒成立，当 3 0, 2 x 时， sinf xx，则 1232020 2222 ffff _ 7 等差数列 n a的前 n 项和是 n S， 若 2 a，8a是方程 2 430xx的两根， 则 9 S _ 8在2,2上随机地取一个实数k，则事件“直线ykx与圆 2 2 59xy相交”发生 的概率为_ 9如图，在ABC中，ABAC，2 3BC ，60
3、A ，ABC的面积为2 3，则角平分 线 AD 的长等于_ 10ABC中， 1 3 AMAB， 1 4 ANAC，线段 BN 与 CM 交于点 P若APABAC， 则_ 11在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 22 1 910 xy ，F 为 C 的上焦点，A 为 C 的 右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为_ 12三棱锥PABC的底面ABC是边长为 3 的正三角形，3PA ，4PB ，5PC ，则 三棱锥PABC的体积为_ 13 已知抛物线 2 4yx的焦点为 F， 直线l过点 F 与抛物线交于 A， B 两点， 若3AFBF， 则A
4、B _ 14已知函数 10 ln1 0 x xex f x x x x ，关于 x 的方程 2 1220f xt f xt 有 5 个 不同的实数解，则t的取值范围是_ 二解答题：本大题共 6 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 15ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c， , 3mab，cos ,sinnAB， 向量m与向量n平行 （）求 A； （）若7a ，2b ，求ABC的面积 16如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为边 AB 的中点，将正方形沿 DE 折成直二面 角，连接 AC，AB，得到四棱锥ACDEB，F 为AD的中点
5、 （）求证：EF平面 ABC； （）求四面体 FBEC 的体积 17某公园有一块边长为 6 百米的正ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来 种植三种花卉方案是：先建造一条直道 DE 将ABC分成面积之比为 21 的两部分（点 D， E 分别在边 AB， AC 上） ； 再取 DE 的中点 M， 建造直道 AM （如图） 设ADx， 1 DEy， 2 AMy（单位：百米） （）分别求 1 y， 2 y关于x的函数关系式； （）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求最小值 18 如图，椭圆 E： 2 2 1 5 x y， 经过 E 的左焦点 F， 斜率为 11 0kk 的直
6、线l与 E 交于 A， B 两点 （）当 1 1k 时，求AB； （）给定1,0R，延长AR，BR分别与椭圆 E 交于点 C，D，设直线 CD 的斜率为 2 k 证明： 1 2 k k 为定值，并求此定值 19已知函数 ln11f xxxax x，aR （）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1Mf处的切线方程； （）当1a 时，求证：函数 1g xf x恰有两个零点 20给定数列 1 a， 2 a， n a，对1i ，2，1n ，该数列前i项 1 a， 2 a， i a的最 小值记为 i A，后ni项 1i a， 2i a， n a的最大值记为 i B，令 iii dBA （）设数列 n
7、a为 2，1，6，3 写出 1 d， 2 d， 3 d的值； （）设 1 a， 2 a，4 n an 是等比数列，公比01q，且 1 0a ，证明： 1 d， 2 d， 1n d 是等比数列； （）设 1 d， 2 d， 1n d 是公差大于 0 的等差数列，且 1 0d ，证明： 1 a， 2 a， 1n a 是等差数列 数学（附加题） 21【选做题】 ：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换 已知二阶矩阵A有特征值 1 4及其对应的一个特征向量 1 1 1
8、 ，特征值 2 1 及其对应 的一个特征向量 2 1 1 ，求矩阵A的逆矩阵 1 A B选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线l的参数方程是 33 1 xt yt （t为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为：2 3cos，直线l与曲线 C 交于 O， A 两点 （）求直线l的普通方程； （）点 P 为曲线 C 上一点，求满足 3 3 4 POA S的点 P 有多少个？ C选修 4-5：不等式选讲 已知函数 212f xxx， 1g xx （）求不等式 f xg x的解集； （）当2 , 1xaa 时， f xg x恒成立，求实数 a
9、 的取值范围 【必做题】第 22 题、第 23 题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 22 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD， 底面ABCD为平行四边形，ABAC， 1ABAC，1PD （）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； （）求二面角DPCB的余弦值的大小 23 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球， 乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑 球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球 （）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 参考答案： 2020
10、年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五 数学答案 一填空题 1 2 3 4 5 6 7 1, 1 22 1 69 xy bca 1,3 336 18 8 9 10 11 12 13 14 3 8 4 3 3 5 11 3 116 2 11 16 3 2 11 ,00, 22e 二解答题 15解： （）设等差数列 n a的公差 d，等比数列 n b的公比为q 由 1 1 11 25 1 4 3 2437 2 ad a dadad 1 121 n aandn 12 3ba， 49 91 17 81 2 bS 3 4 1 27 b q b ， 1 1 3 nn n bb q （）由（）可得，
11、 21 3 n n n c ，则 21 1111 132321 3333 n nn Tnn 231 11111 132321 33333 n nn Tnn 得： 231 211111 122221 333333 n nn Tn 1 2 1 11 1 33 11 221 1 33 1 3 n n n 1 1 3 n n n T 又 11 0 33 n n 1 1 3 n T 16解： （） 证明：取线段 AC 的中点 M，连接 MF，MB F 为 AD 的中点，MFDC，且 1 2 MFDC 又BEDC，且 1 2 BEDC MFBE，MFBE四边形 MFEB 为平行四边形 又EF 平面 ABC
12、，BM 平面 ABC 故EF平面 ABC （）在平面 ADE 中，过点 F 作FNDE于点 N 平面ADE 平面 BEDC FN 平面 BEDC 在ADE中，2AD ，1AE 5DE 又F 为 AD 的中点 121 255 FN 11115 2 1 332155 FBECBEC VSFN 17解： （）由题意知， 2 3 BECABC SS，即 2 123 sin6 2334 AD AE 24 AE x 又 06 24 06 ADx AE x ，得46x 在ADE中，由余弦定理，得： 2222 2 576 2cos24 3 DEADAEAD AEx x 2 1 2 576 24yx x ，46
13、x 在ADM和AEM中，由余弦定理，得： 222 2cosADDMAMDM AMAMD（1） 222 2cosAEEMAMEM AMAMD（2） 联立（1） （2） ， 2222222 1 22 2 ADAEDMEMAMDEAM 2 222 2 2 241576 242 2 xxy xx 2 2 2 144 6 4 x y x ，46x （） 2 2 12 22 576144 246 4 x yyx xx 2 2 22 576144 224262 63 2 4 x x xx 当且仅当2 6x 时，取等号 故当2 6AD 时，两条直道长度之和的最小值 2 63 2百米 18解： （）设 11 ,
14、A x y， 22 ,B xy，AB 直线方程：2yx AB 直线方程与椭圆方程联立 2 2 1 5 2 x y yx ，得： 2 620150xx 由韦达定理， 12 12 10 3 5 2 xx xx 2 1052 5 1 14 323 AB （） 设, CC C xy，, DD D xy，AC 直线方程： 3 1ykx AC 直线方程与椭圆方程联立 2 2 3 1 5 1 x y ykx ， 得： 2222 333 5110550kxk xk 由韦达定理， 2 3 1 2 3 55 51 C k xx k 2 1 1 1 2 11 1 1 55 1351 3 51 1 C y xx x
15、xx y x ， 将 C x代入 AC 直线方程，得 1 1 2 3 C y y x 同理，得： 2 2 2 2 35 3 2 3 D D x x x y y x ； 1211 21 2121 21 2121 2121 22 2222 33335 35 3535 35 2 3333 DC DC kxkxyy yyxxxx kk xxxx xx xxxx ； 1 2 5 2 k k 19解： （）由题意， 2 ln1f xxxxx， 11f ln121ln2fxxxxx ，故 12 f 所求切线方程为：121yx 即：230xy （） 1ln1ln1g xf xxxax xxxa x ， 0x
16、由题意，0x ，只需证明 ln1h xxa x恰有两个零点即可 1 h xa x 当 1 0,x a 时， 0h x；当 1 ,x a 时， 0h x h x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a 单调递减 h x的最大值为 1 10hh a 令 0 x r xex x，则 10 x rxe r x在0,单调递增 当1a 时， 110r are ，即0 a ea，则 11 0 a ea 1111 ln110 aaaaa a haaa eeeee 由 1 0h a ， 1 0 a h e ，且 h x在 1 0, a 单调递增，可得： 在 11 , a ea 存在唯一的零点 0 x，使得 0
17、 0h x 又 h x在 1 , a 单调递减， 10h， 1 1, a 故 ln1h xxa x恰有两个零点 所以，当1a 时，函数 1g xf x恰有两个零点 20解： （）由题意，得 1 4d ， 2 5d ， 3 2d （）因为 1 0a ，公比01q，所以 1 a， 2 a， n a是递减数列 因此，对1i ，2，1n ， ii Aa， 1ii Ba 于是对1i ，2，1n ， 1 11 1 i iiiii dBAaaqaq 因此0 i d 且 1 1,2,2 i i d q in d ， 即 1 d， 2 d， 1n d 是等比数列 （）设d为 1 d， 2 d， 1n d 的公差
18、，则0d 对12i n剟，因为 1ii BB， 1111iiiiiiiiii ABdBdBddBdA ，即 1ii AA 又 11 min, iii AA a ，所以 11iiii aAAa 从而 1 a， 2 a， 1n a 是递减数列因此1,2,1 ii Aa in 又 111111 BAdada，所以 1121n Baaa 因此 1n aB 121nniiiiin BBBaaABdad 因此对1i ，2，2n 都有 11iiii aaddd ， 即 1 a， 2 a， 1n a 是等差数列 21 【选做题】 A选修 4-2：矩阵与变换 解：设二阶矩阵 ab cd A，由题意，得： 11
19、4 11 ab cd ， 11 1 11 ab cd 4 1 ab ab ， 4 1 cd cd 得： 3 2 a ， 5 2 b ， 5 2 c ， 3 2 d 35 22 53 22 A 又 35 22 4 53 22 A， * 35 22 53 22 A 1* 35 1 88 53 88 AA A 即矩阵A的逆矩阵 1 35 88 53 88 A B 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解： （）由 33 1 xt yt ，消参，得到直线的普通方程30xy （）由曲线 C 的极坐标方程： 2 2 3cos2 3 cos可得， 曲线 C 的直角坐标方程 2 2 33xy 圆心 C 到直线3
20、0xy的距离 2 3 3 2 13 d ， 2 2 3 233 2 OA 由 13 33 3 242 POA Sdd （ d 表示点 P 到 OA 的距离） 圆心 C 到直线30xy的距离 3 2 ， 在直线的上方的圆上存在一个点 P 到 OA 的距离 3 2 ； 在直线的下方的圆上的点到 OA 的距离最大值为 3 3 2 ， 在直线的下方的圆上存在两个点 P 到 OA 的距离 3 2 综上所述，满足题意的点 P 共 3 个 C选修 4-5：不等式选讲 解： （）由题意知，解不等式2121xxx （1）当2x 时，不等式化为 212101xxx ， 此时不等式的解2x ； （2）当12x时，不
21、等式化为 5 2121 2 xxxx ， 此时不等式的解12x； （3）当1x 时，不等式化为 1 2121 2 xxxx ， 此时不等式的解 1 1 2 x； 综上所述，原不等式的解集 1 2 x x （）由（）得， f xg x的解集是 1 2 x x ； 12 1 1 1 2 aa a a 实数 a 的取值范围, 1 【必做题】 22解： （）取 C 为坐标原点，过点 C 的 PD 平行线为 z 轴， 依题意建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 由题意得，0, 1,1P，1,0,0A，0,0,0C，1,1,0B 故0,1, 1CP ，1,0,0AC 设平面 PAC 的法向量, ,mx y
22、 z，则： 0 0 m CP m CA ，得 0 0 yz x 令1y ，得1z 0,1,1m 设直线 PB 与平面 PAC 所成角为 213 sincos, 61 1141 m PB 故直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 3 6 （）由（）知，1,1,0CB 设平面 PBC 的法向量为, ,znx y， 则 0, 0, n PC n CB 即 0, 0. yz xy 令1y ，则1x ，1z 1, 1, 1n ABCD 为平行四边形，且ABAC， CDACPD 面 ABCD， PDAC 又CDPDD，AC 面 PDC 平面 PDC 的法向量为1,0,0AC 1,0,0AC ， 13
23、cos, 31 1 1 n AC n AC nAC 经判断二面角DPCB的平面角为钝角， 二面角DPCB余弦值的大小为 3 3 23解： （）设事件 i A为“甲盒中取出i个红球” ，事件 j B为“甲盒中取出j个红球” ；事 件 C 为“4 个球恰有 1 个红球” 11221.1 233333 1001 2222 5656 3 10 CCCC P CP ABP A B CCC CC C （）的可能取值为 0，1，2，3，4 22 33 00 22 56 3 0 50 CC PP A B CC 112211 233333 1001 2222 5656 3 1 10 CCCCCC PP ABP A B CCCC 21111222 32333332 201102 222222 565656 11 2 25 CCCCCCCC PP A BP ABP A B CCCCCC 111122 332332 2112 2222 5656 9 3 50 CCCCCC PP A BP AB CCCC 22 32 22 22 56 1 4 50 CC PP A B CC 的分布列： 0 1 2 3 4 P 3 50 3 10 11 25 9 50 1 50 3311919 01234 50102550505 E
