1、1拉（压）杆：拉（压）杆：承受轴向拉、压力承受轴向拉、压力轴轴 ：承受扭矩承受扭矩墙墙楼板楼板桥板桥板梁：梁：承受横向力承受横向力PPPP以以变形为主的杆件在工程上统称为变形为主的杆件在工程上统称为。：力垂直于构件的轴线：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面力偶在轴线平面)；：杆的轴线将由直线变成曲线杆的轴线将由直线变成曲线4567纵向对称面：纵向对称面：通过梁的通过梁的轴线轴线和和截面对称轴截面对称轴的平面。的平面。矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面纵向对称面纵向对称面 工程中的梁一般都有纵向对称面，如：矩形、工程中的梁一般都有纵向对称面，如：矩形、圆、环、工字、圆、环、工字
2、、T形截面梁。形截面梁。平面弯曲：平面弯曲：具有具有纵向对称面纵向对称面的梁，当梁上的的梁，当梁上的外外力均垂直力均垂直于梁的于梁的轴线轴线，并作用在，并作用在纵向对称面内纵向对称面内，梁的梁的轴线轴线将弯成此平面内的一条将弯成此平面内的一条平面曲线平面曲线，这种，这种弯曲称为弯曲称为平面弯曲平面弯曲。是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本章讨论平面弯曲。章讨论平面弯曲。RARBPqM10梁的外力、梁的支座及分类梁的外力、梁的支座及分类（1）集中力）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（作用面积很小时可视为集中力（N）（2）分布力）分布力q 沿梁轴线分布较
3、长（沿梁轴线分布较长（N/m）（3）集中力偶）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上力偶的两个力分布在很短的一段梁上（Nm）1.外力外力还有支座反力还有支座反力qq(x)均匀分布力均匀分布力P集中力集中力TT集中力偶集中力偶 T分布力分布力非均匀分布力非均匀分布力梁的外力、梁的支座及分类梁的外力、梁的支座及分类2.支座支座a)活动铰链支活动铰链支座座b)固定铰链支固定铰链支座座c)固 定固 定端端AAA3.梁的类型梁的类型简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座。链支座。：一个固定铰链支座和一个活动铰链支：一个固定
4、铰链支座和一个活动铰链支座，有一端或两端伸出支座以外座，有一端或两端伸出支座以外：一端固定，另一端自由。：一端固定，另一端自由。4.梁支座反力梁支座反力0,0,0MYX利用静力学平衡方程求支座反力：利用静力学平衡方程求支座反力：0X 0RAx0Y 0PRRByAy0MA02/lPlRBy2/PRBy2/PRAyAxRl2/lPABByRAyRxy4.梁支座反力梁支座反力0X 0Rx0Y 0lqRyqlRy 0AM02lqlMA221qlMAMAqlABRyRxxy梁横截面上的内力仍用梁横截面上的内力仍用求。求。【例例】有一简支梁有一简支梁AB，梁上有集中载荷，梁上有集中载荷P，求截面，求截面上
5、上1-1与与2-2的内力的内力。16（1）以梁为研究对象，先）以梁为研究对象，先求支座反力求支座反力RA、RB()00ABmR lPaFBPaRl00yABFRRPABlaRPRPl17（2）用截面法求）用截面法求1-1上的内力。上的内力。内力内力Q1（平行横截面）（平行横截面）100yAFRQ1AQR18内力偶矩内力偶矩M1(在纵向对称在纵向对称面内，作用在横截面上面内，作用在横截面上)11()00OAmMR xFO 横截面的形心横截面的形心11AMR x（3）用截面法求）用截面法求2-2上的内力。上的内力。200yAFRPQ2AQRP截面截面2-2上也有剪力弯矩上也有剪力弯矩19222()
6、0()0OAmMR xP xaF222()AMR xP xa200yAFRPQ2AQRPa：如果取右半段如何？如果取右半段如何？数值相同，方向相反数值相同，方向相反注意这里注意这里Q2为负为负20P1M1M1Q1QARPPaaABCDBRBR1x 用截面法求用截面法求1-1截面内截面内力：以任一段如左段为力：以任一段如左段为对象，受力如图所示。对象，受力如图所示。由静力平衡方程知：由静力平衡方程知：0Y 01QRAPRQA1 0M111PxxRMA剪力剪力弯矩弯矩RA=RB=PAR11P求求2-2截面内力：以右段为对象截面内力：以右段为对象0Y 02PQRA02ARPQ 0M0)(222MxR
7、axPAaPM2 弯曲变形时梁横截弯曲变形时梁横截面上的内力包括面上的内力包括剪力剪力Q和和弯矩弯矩M。剪力剪力弯矩弯矩 AC段和段和BD段截面段截面内有剪力和弯矩，属内有剪力和弯矩，属于于剪切弯曲剪切弯曲。CD段截面内只有弯段截面内只有弯矩，没有剪力（矩，没有剪力（=0），），属于属于纯弯曲纯弯曲。P2M2QBRP1M1M1Q1QARPPaaABCDBRBR1xAR222x2.从弯曲变形看弯矩从弯曲变形看弯矩PPaaABCD1 1）纵向纤维变成了）纵向纤维变成了弧线弧线，凹入边纵向纤，凹入边纵向纤维维m m1 1m m2 2缩短缩短了，突出了，突出边边 n n1 1n n2 2伸 长伸 长
8、了，了，O O1 1O O2 2长度长度不变不变。2 2）横向线）横向线a a1 1b b1 1、a a2 2b b2 2仍为仍为直线直线，说明，说明变形前的变形前的横截面横截面变变形后仍然保持为形后仍然保持为平平面面。加载后发生弯曲：加载后发生弯曲：3 3）a a1 1b b1 1与与a a2 2b b2 2不再平行不再平行（互相倾斜），说明（互相倾斜），说明横截横截面面a a1 1b b1 1与与a a2 2b b2 2发生了发生了相对转动相对转动。中性层：梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短中性层：梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。的纵向纤维层称为中性层。xyz中性轴：中性
9、层与横截面的交线中性轴：中性层与横截面的交线中性轴中性轴中性层中性层 梁的弯曲，实际是上各个梁的弯曲，实际是上各个截面截面绕着中性轴转动绕着中性轴转动。中性层以上的纵向纤维缩短，产生中性层以上的纵向纤维缩短，产生压缩应力压缩应力，中性层以下的纵向纤维拉伸，产生中性层以下的纵向纤维拉伸，产生拉伸应力拉伸应力，中中性轴性轴上各点的正应力为上各点的正应力为零零。M 横截面上的弯矩即是横截面垂直的分布内力的合力横截面上的弯矩即是横截面垂直的分布内力的合力偶矩：偶矩：AydAM 弯矩阻止该截面在外力矩作用下所发生的进一步转弯矩阻止该截面在外力矩作用下所发生的进一步转动，并且力图恢复梁的原形。动，并且力图
10、恢复梁的原形。二、剪力和弯矩的计算二、剪力和弯矩的计算 剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧都可）所有该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力横向外力的的代数和代数和。截面截面左侧向上左侧向上的外力和截面的外力和截面右侧向下右侧向下的外力的外力取取正正值；截面值；截面左侧向下左侧向下的外力和截面的外力和截面右侧向上右侧向上的的外力取外力取负负值。值。Q=P0Q=P0Q=-P0Q=-P5）,用此公式计算用此公式计算横力弯横力弯曲曲时的正应力也是足够精确的。时的正应力也是足够精确的。7022332222312hhhzAhybhJy dA
11、y bdyb312zbhJ32max/12/26zzJbhbhyhW2Ay dAzJ71Zd32dW3Z644dJZ4444()(1)6464zDJDd34(1)32zDJDd工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表8 872梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWM73 maxmaxZMWMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量
12、危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。定许可载荷。74【例【例3-7】有一型号为】有一型号为16的工字钢截面简支梁，如图所的工字钢截面简支梁，如图所示。已知示。已知P=27.5KN。钢材弯曲许用应力。钢材弯曲许用应力=120MPa，试校核梁的强度。试校核梁的强度。最大弯矩发生在集中力最大弯矩发生在集中力P作作用处，即梁的中点。用处，即梁的中点。3max1127.5 1024004416500000mmNMPL查附表查附表8，16号工字钢号工字钢WZ=141cm3=141000mm3。故钢梁
13、的最大正应力为故钢梁的最大正应力为maxmax16500000117.02MPa 120MPa141000ZMW此梁此梁安全安全75【例【例3-9】悬臂梁由两根工字钢组成，设备总重】悬臂梁由两根工字钢组成，设备总重P（包（包括物料重）为括物料重）为10kN，设备中心到固定端的距离，设备中心到固定端的距离a=1.5m，L=2.2m，如图所示。钢材弯曲许用应力，如图所示。钢材弯曲许用应力=140MPa。试按强度要求选择工字钢尺寸试按强度要求选择工字钢尺寸(型号型号)。maxmaxZMW maxZMW查附表查附表8，选择，选择12.6号工字钢，号工字钢，Wz=77.5cm3，符合要求。，符合要求。m
14、ax3310000 150022 14053571mm53.57cmZPaMWmax2PaM每一根梁每一根梁76【例【例3-10】有一型号为】有一型号为40a的工字钢简支梁，跨度的工字钢简支梁，跨度L=8m，弯曲许用应力，弯曲许用应力=140MPa，求梁能承受的均，求梁能承受的均布载荷布载荷q。最大弯矩发生在梁的中点，最大弯矩发生在梁的中点，2max8qLM查附表查附表8，40a工字钢的工字钢的Wz=1090cm3，代入强度条件，代入强度条件得：得：maxmaxZMW maxZMW 28ZqLW21140 10900008qL 2140 1090000 8819075000N/mm19075N
15、/mq77【例【例3-11】接上例，型号】接上例，型号40a工字钢工字钢的截面积约为的截面积约为86.1cm2，如果换成，如果换成矩形截面矩形截面梁，截面高宽比梁，截面高宽比h/b=2，要求也能承受要求也能承受q=19075N/m均布载荷，试求矩形截面面均布载荷，试求矩形截面面积。积。矩形截面梁：矩形截面梁：231090cm6zbhW要求也能承受要求也能承受q=19075N/m均布载荷，矩形截面均布载荷，矩形截面梁的梁的WZ也应为也应为1090cm3。3321090cm3b31090 311.8cm2b23.6cmh 311.823.6278.5cmAbh承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢
16、梁的承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢梁的3.24倍。倍。78承受相同载荷，工字型截面比矩形截面更节省材料。承受相同载荷，工字型截面比矩形截面更节省材料。因此，在承受相同载荷情况下，合理选择梁的截面因此，在承受相同载荷情况下，合理选择梁的截面形状，可以大大节省材料。形状，可以大大节省材料。根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，同样载荷条件下，WZ，梁强度，梁强度 maxmaxZMW因此，在不增加材料面积因此，在不增加材料面积A情况下，情况下，WZ越大越好。越大越好。即：即：这样的截面称这样的截面称7932DD32=0.125DD842bhh6=0.167hbh60.27 0.31
17、HzAW80上下边缘处应上下边缘处应力最大力最大靠近中性轴处，靠近中性轴处，应力较小，材应力较小，材料没有充 分 利料没有充 分 利用用要使材料充分发挥作用，就应该把材料用到应力较要使材料充分发挥作用，就应该把材料用到应力较大的地方，即大的地方，即将材料放到离中性轴较远的地方将材料放到离中性轴较远的地方。81材料拉压性能不同时，还应使截面两边的最大拉应材料拉压性能不同时，还应使截面两边的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。力和最大压应力同时达到许用应力。拉拉=压压，对中性轴对称截面（如工字，对中性轴对称截面（如工字型截面）型截面）拉拉压压，中性轴偏向受拉一边（如，中性轴偏向受拉一边（如T字
18、型截面）字型截面）82按梁按梁危险截面危险截面上的最上的最大弯矩来计算的。大弯矩来计算的。对等截面梁：对等截面梁：危险截面危险截面max=时时其它截面其它截面max maxmaxZMW等截面梁不能充等截面梁不能充分发挥材料作用分发挥材料作用等截面梁等截面梁83为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达到或接近许用应力，这样的梁称为到或接近许用应力，这样的梁称为。各个截面并不相同，属于各个截面并不相同，属于。84工程问题中，有些梁除了要满足强度要求外，还工程问题中，有些梁除了要满足强度要求外，还往往要求变形不能过大，即还有刚度要求。因此往往要求变形不
19、能过大，即还有刚度要求。因此需要研究梁的弯曲变形。需要研究梁的弯曲变形。85 齿轮轴即使有足够的强度，但若弯曲变形过大，将使轴上的齿轮啮合不良，引起噪声，造成齿轮与齿轮间或轴与轴承间的不均匀磨损。齿轮轴86 如果工件的弯曲如果工件的弯曲变形过大，甚至会加变形过大，甚至会加工出废品；工出废品；钻床的变钻床的变形过大，就会影响加形过大，就会影响加工精度。工精度。切削中的工件与钻床87梁的变形可用变形后轴线的形状来说明，各处的变梁的变形可用变形后轴线的形状来说明，各处的变形状况用形状况用来表示。来表示。梁任意截面形心梁任意截面形心O1变变形后移至形后移至O1，其垂直，其垂直位移位移 f 称为该截面的
20、称为该截面的，向下为正，单，向下为正，单位是位是mm。梁弯曲变形后的轴线称为梁弯曲变形后的轴线称为或或O1O188梁任一横截面绕其梁任一横截面绕其中性轴中性轴转动的角度称为该截面的转动的角度称为该截面的，用，用表示，逆时针转为正，单位是表示，逆时针转为正，单位是rad。截面的转角截面的转角等于该截面处弹性曲线的切线与梁轴线等于该截面处弹性曲线的切线与梁轴线的夹角。的夹角。O1O189悬臂梁的自由端悬臂梁的自由端最大，转角也最大。最大，转角也最大。3max3zPlfEJ22BzPlEJ梁的变形与梁的变形与EJZ成反比，成反比，简单载荷下各种梁的最大挠度和转角计算公式见简单载荷下各种梁的最大挠度和
21、转角计算公式见教材基本变形表教材基本变形表3-3。90叠加法叠加法在弹性范围内，梁的在弹性范围内，梁的挠度和转角挠度和转角都和载荷是成正比的，都和载荷是成正比的，可用可用来求几种载荷同时作用下梁的变形：来求几种载荷同时作用下梁的变形：3438BzZPlqlfEJEJ91梁的刚度条件梁的刚度条件:梁的跨度单位许用转角许用挠度lfrad:,一般是控制一般是控制挠度挠度，工，工程中梁的程中梁的变形许可值变形许可值常取常取 f/l 如吊车梁如吊车梁f/l=1/750-1/250.92【例【例3-12】例】例3-9的悬臂梁（的悬臂梁（E=2.1105MPa），选择），选择12.6号工字钢，强度是满足的，
22、现在还需要刚度校核，号工字钢，强度是满足的，现在还需要刚度校核，规定最大挠度应小于规定最大挠度应小于L/250。书上有错误书上有错误93根据刚度条件根据刚度条件:由附表由附表6查出查出12.6号工字钢的号工字钢的JZ=488cm4，因此刚，因此刚度不够，需要度不够，需要14号工字钢，其号工字钢，其JZ=712cm4。94【例【例3-13】一简支梁受均布载荷作用，】一简支梁受均布载荷作用，q=4600N/m（含（含梁的自重）。该梁为工字钢，跨度梁的自重）。该梁为工字钢，跨度l=10m，材质，材质Q235-A，工作温度，工作温度240，梁的许用，梁的许用挠度挠度 f=10000/720，试，试选择
23、工字钢的型号。选择工字钢的型号。由表由表3-33-3知，最大挠度知，最大挠度在梁的中点，最大挠在梁的中点，最大挠度为度为刚度条刚度条件为件为:由附表由附表5查得查得250 时时Q235-A的的E=1.83105MPa，95由上式得：由上式得：由附表由附表6查出查出40c号工字钢的号工字钢的JZ=23900cm4，最接近，最接近13566cm4，因此选型号，因此选型号40c号工字钢可以满足刚度号工字钢可以满足刚度条件。条件。书上还进行强度校核，请同学自己看书。书上还进行强度校核，请同学自己看书。96P94：19（强度）（强度）P95：23（变形）（变形）9798【习题【习题17(m)】试列出图示
24、各梁的弯矩方程，并画弯矩】试列出图示各梁的弯矩方程，并画弯矩图，求出图，求出Mmax22()0220BcMFqaqaN a（1）求支座反力）求支座反力2CqaN020yBCFNNqa32BqaN 99取取A点为原点点为原点（2）列弯矩方程式）列弯矩方程式AC段：段：211(0)MqaxaBC段：段：2222222231(3)(3)(3)222BqMNaxaxqaxqxaxax2100（3）求特征点弯矩）求特征点弯矩2AMqa2CMqa 211(0)Mqaxa222223(3)22qxMqaxaxa0BM222302dMqaqxdx232xa代入第代入第2方程方程得得CB段的最大弯矩段的最大弯矩23/298aMqa101（4）画弯矩图）画弯矩图2AMqa2CMqa0BM23/298aMqa298qa（5）最大弯矩）最大弯矩2max98Mqa102
