1、 同学们同学们,当老师提问或请同当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键再点击播放键.相似形和圆相似形和圆 单单 位位 镇江市扬中实验中学镇江市扬中实验中学主主 讲讲 陈金女陈金女 审稿审稿 扬中市教研室扬中市教研室 施淑琴施淑琴考点链接考点链接知识梳理知识梳理典型例题典型例题命题分析命题分析1.比例的基本性质及运用；比例的基本性质及运用；2.相似三角形的性质和判定；相似三角形的性质和判定；3.相似多边形及位似图形。相似多边形及位似图形。与近几年各地的中考试卷相比，与近几年各地的中考试卷相比，2009年
2、全国年全国各地中考数学试卷对相似这个专题内容的考查总各地中考数学试卷对相似这个专题内容的考查总体上呈现出紧扣体上呈现出紧扣标准标准、考查基础、注重联系、考查基础、注重联系、学以致用等特点，其中的亮点阐释如下学以致用等特点，其中的亮点阐释如下:1、紧扣、紧扣标准标准，考查基本知识、基本技能和基本，考查基本知识、基本技能和基本数学思想方法；数学思想方法；2、与其它知识有机结合，考查综合应用知识解决问题、与其它知识有机结合，考查综合应用知识解决问题的能力；的能力；3、创设趣味情境，考查学生应用所学知识解决问题的、创设趣味情境，考查学生应用所学知识解决问题的能力；能力；2cm2cm2cm2cm例例1
3、如图，在长为如图，在长为8 cm、宽为、宽为4 cm的的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（留下矩形的面积是（）A.2 B.4 C.8 D.16c,FEDB,AEACDEBCADAB例例2、如图，、如图，在一直线上，且在一直线上，且写出图中所有的相似三角形。写出图中所有的相似三角形。ACEABDEFCAFBBFCAFEADEABC解：解：PQMNNP,.12AD,3:2:PNPQPQMN例例3：如图，矩形：如图，矩形的顶点的顶点分别分别ACAB,MQ,BC,18BC上，上，在在
4、边上，边上，若若求矩形求矩形的长与宽。的长与宽。在在,xPQ,23xPN PQMNPNQMPNBC,BCAD PNAE ABCAPN12121823,xxADAEBCPN6x9,6PNPQ解：设解：设在矩形在矩形中，中，,即即9023ABCABBCADBCP，上，且满足且满足例例4 已知已知 BDQ为线段为线段上的动点，点上的动点，点在射在射 ABPQADPCAB线线（如图（如图1所示）所示）ADPCBQ图12AD QBPC（1）当）当，且点且点 与点与点 重合时（如图重合时（如图2所示），所示），的长；的长；求线段求线段DAPCB（Q）图2,2 ABADDABDAD,BCPBCD,PBCAB
5、D90ABC223PC,45PBC1ABADPCPQ,PCPQ 45PBCCPQC3BC解：解：为等腰直角三角形为等腰直角三角形根据勾股定理：根据勾股定理：（2）在图）在图1中，连结中，连结 AP当当，且点且点 Q在线段在线段 AB上时，设点上时，设点 BQ、之间的距离之间的距离 为为 x，APQPBCSyS，其中其中 APQS表示表示 APQ的面积的面积，PBCS表示表示 PBC的面积的面积，求求 y关关 于于 x的函数解析式，并写出的函数解析式，并写出x的取值范围的取值范围 32AD ADPCBQ图1,APPBCPE 如图：连接如图：连接过点过点 作作EABPF 于点于点，F于点于点,PB
6、EDPEBDAB,90BEPDAB,43223ABADEPEB,3kEB,4kEP kkPEBCSBPC6432121设设则则kEBPF3PEBCPFAQSSyBPCAPQ2121xAQxBQ2,xkkxy41214332)20(x例例5、在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同、在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是下面是他们通过测量得到的一些信息：他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图甲组：如图1 1，测得一根直立于平地，长为，测得一根直立于平地，长为80cm80cm的竹竿的竹竿的影长为的影长为6
7、0cm.60cm.乙组：如图乙组：如图2 2，测得学校旗杆的影长为，测得学校旗杆的影长为900cm.900cm.丙组：如图丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为，影长为156cm.任务要求任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；高度；（2）如图）如图3，设太阳光线，设太阳光线NHM与与相切于点相切于点.请根请根 O 据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（
8、友情提示：如图提示：如图3，景灯的影长等于线段，景灯的影长等于线段NG222156208260D DFE900cm图图2BCA60cm80cm图图1GHNE156cmMEOE200cm图图3KE的影长；需要的影长；需要）.时可采用等式时可采用等式90BACEDFBCAEFD，ABCDEFABACDEDF，8060900DE解：（解：（1）由题意可知：）由题意可知：即即DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是所以，学校旗杆的高度是12m D DFE900cm图图2BCA60cm80cm图图1图图3GHN156cmMO200cmK解：由（解：由（1）知）知:208,1566080,GNGNGH
9、ACGNAB26015620822NH与与oo设设 的半径为的半径为，rNH设设 相切，相切，NHOM 90HGNOMN，HNGONMHGNOMNNHNOHGOM2608156rr12r答：景灯灯罩的半径是答：景灯灯罩的半径是12cm连接连接OM给学生的几点建议：给学生的几点建议：1、落实基础知识是关键；、落实基础知识是关键；2、注意应用意识和能力的训练、注意应用意识和能力的训练2、与圆有关的位置关系、与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系；点与圆的位置关系；（2）直线与圆的位置关系；）直线与圆的位置关系；（3）圆与圆的位置关系。）圆与圆的位置关系。3、圆中的计算、圆中的计算（1）扇形的面
10、积、弧长；扇形的面积、弧长；（2）圆锥的侧面积和全面积。圆锥的侧面积和全面积。1、圆的相关概念与基本性质、圆的相关概念与基本性质（1）弧、弦、弦心距；）弧、弦、弦心距；（2）圆周角、圆心角；）圆周角、圆心角；（3）圆的对称性。）圆的对称性。与近几年各地的中考试卷相比，与近几年各地的中考试卷相比，2009年全国各地中年全国各地中考数学试卷对圆这个专题内容的考查总体上变化不大，考数学试卷对圆这个专题内容的考查总体上变化不大，比较平稳，仍旧注重比较平稳，仍旧注重“双基双基”的考查。当然，也有一些的考查。当然，也有一些令人耳目一新的创新性题目和题型，够成了一道亮丽的令人耳目一新的创新性题目和题型，够成
11、了一道亮丽的风景线，在这里分别结合以下几类综合题加以说明。风景线，在这里分别结合以下几类综合题加以说明。1、圆与相似三角形综合题、圆与相似三角形综合题2、圆与三角函数综合题、圆与三角函数综合题3、圆的证明与计算、圆的证明与计算4、圆的动点问题、圆的动点问题证明：证明：AB是是 O的直径，的直径，ACB=90，又又CDAB于于D，BCD=A，A=F，F=BCD=BCG，在，在BCG和和BFC中，中，BCGBFC 例例1 （湖北（湖北黄冈卷）如图，已知黄冈卷）如图，已知AB是是 O的直径，的直径，点点C是是 O上一点，连结上一点，连结BC，AC，过点，过点C作直线作直线CDAB于于点点D，点，点E
12、是是AB上一点，直线上一点，直线CE交交 O于点于点F，连结，连结BF，与，与直线直线CD交于点交于点G求证：求证：BC =BGBF 2BFBGBC2BCBFBGBC解：延长解：延长CG交交 O于点于点M,ABCM直径BCBM,MCBCFB是公共角，又CBFGCBCFBBFBGBC2BCBFBGBC例例2 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,AE是角是角平分线，平分线，BM平分平分ABC交交AE于点于点M,经过经过B,M两点两点的的 O交交BC于点于点G,交交AB于点于点F,FB恰为恰为 O的直径的直径.（1）求证：）求证：AE与与 O相切；相切；（2）当）当BC=4,cos
13、C=13时，求时，求 O的半径的半径.，证明：连结证明：连结，则，则是角平分线，是角平分线，OMOB12 OMBMABC平分平分13 23 OMBCAMOAEBABCABACAEAEBC90AEB90AMOOMAEAEO在在中，中，与与相切相切，OBGECMAF123OBGECMAFABCABACAE12BEBCABCC，ABE90AEB6cosBEABABCOr6AOrOMBCAOMABEOMAOBEAB626rr32r O32（2）解：在）解：在中，中，是角平分线，是角平分线，在在中，中，设设的半径为的半径为，则，则解得解得的半径为的半径为31cos,2ABCBEOBGECMAF123,3
14、1cos,4cBC10阴S3、已知：如图，、已知：如图，ABC中，中，AC=BC，以，以BC为直径的为直径的 O交交AB于于E，过点，过点E作作EDAC于于D.（1）求证：）求证：AE=BE;ED是是 O的切线的切线;（2）若）若BC=4，B=30，求，求.,OE,ABCABCACOBOE ABC 1OEA,1AC解：（解：（1）连接）连接 的中点是的中点是AB,BCEoBEAE OE)2(,AC ACED EDOE ED是是 O的切线的切线;中点，为连接ABEAC,BCEC,)3(302BECRtAB,CE中，在2EC4,BC又由勾股定理得：由勾股定理得：32BEACEDAE,3230BAR
15、中，在ADEt1,43,AD,3DEDCBCAC又3233122121SDECDOEOEDC梯形323604603602RnSEOC扇形32-323S-SEOCOEDC扇形梯形阴影SABCD,4,20cmBCcmABPADCBAcm4QCCDscm/1PQDttAPQD例例4.如图如图1：在矩形：在矩形中中,点点 从从开始开始,沿折线沿折线以以/s/s的速度移的速度移从从 开始开始,沿沿边以边以的速度移动的速度移动,点点 和点和点同时出发同时出发,当其中一点到达当其中一点到达时时,另一点也随之停止另一点也随之停止(单位单位:s),:s),问问 为何值时为何值时,四边形四边形为矩形为矩形?动动,
16、点点运动运动.(1)设运动时间为设运动时间为PQcm2tPQ(2)(2)如图如图2,2,如果如果 和和 的半径都是的半径都是,那么那么为何值时为何值时,和和 外切外切?图图 1图图 2DQAP APQDtt 204)(4 st 解解:(1):(1)当当时时,为矩形为矩形.,解得解得 四边形四边形 ts4APQD为为为矩形为矩形.时时,四边形四边形 cmPQ4(2)(2)当当时时,两圆相切两圆相切,应分三种情况讨论应分三种情况讨论.PABAPQD4PQ)(4 st 在在上上.只有当四边形只有当四边形为矩形时为矩形时,对于这种情况由对于这种情况由(1)(1)得得点点PCD244,tCPtCQ在在上
17、运动上运动.点点4)244(tt)(320st 令令 PQ当点当点在点在点的右侧时的右侧时,st4s320s328综上所述综上所述,当当、时，两圆外切时，两圆外切.点点PBCCQPQCQ在在上上.此时此时 5,5,5,5,故故554,4,故两圆不可能外切故两圆不可能外切.tPQ当点当点在点在点的左侧时的左侧时,)(328st,4)244(tt令令PQcm2cm3tPQ和和 的半径分别为的半径分别为和和,那么那么为何值时为何值时,和和 外切外切?(2)如果如果 解题反思解题反思:PQ和和外切的可能性进行探究外切的可能性进行探究;情况对情况对 P(1)点点 有三种情况有三种情况,应根据不同的应根据
18、不同的 给学生的几点建议：给学生的几点建议：1、加强圆部分的数形结合思想的训练；、加强圆部分的数形结合思想的训练；2、注意圆与各部分知识综合题型的训练；、注意圆与各部分知识综合题型的训练；3、注意动点问题的训练；、注意动点问题的训练；4、注意结合实际生活背景的探究题的训练。、注意结合实际生活背景的探究题的训练。结结 束束（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。简两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段。已知四条线段称比例线段。已知四条线段,dcba如果如果 dcba或者或者 dcba:
19、那么叫做成比例的项。比例两端的两项那么叫做成比例的项。比例两端的两项,ad叫做比例外项，中间的两项叫做比例外项，中间的两项 cb,叫做比例内项，线段叫做比例内项，线段 d叫做叫做,cba的第四比例项。当线段内项相同时，即的第四比例项。当线段内项相同时，即 cbba或或cbba:那么线段那么线段 b叫做线段叫做线段 a和和 c的比例的比例中项。中项。（1）如果选用如果选用同一长度单位同一长度单位的两条线段的两条线段,a b的长度分的长度分nm,。amb nnmba，那么就说这两条线段的比是那么就说这两条线段的比是：别为别为（3）比例的性质）比例的性质基本性质：基本性质：0abcdbcaddcba
20、合比性质：合比性质：ddcbbadcba等比性质等比性质：)0(ndbnmdcbabandbmca（4）在线段）在线段 AB上有一点上有一点,C若若 ACBCABAC:，则点，则点 C就是就是 AB的黄金分割点。的黄金分割点。AC与与AB的比叫做黄金比。的比叫做黄金比。（1）相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成）相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形对应边比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形对应边的比叫做相似比。的比叫做相似比。（2）相似三角形判定相似三角形判定一般三角形一般三角形直角三角形直角三角形两角对应相等两角对应相等一个锐角
21、相等一个锐角相等两边对应成比例，两边对应成比例，相应的相应的夹角夹角相等相等两边两边对应对应成比例成比例三边对应成比例三边对应成比例相似三角形性质相似三角形性质1、对应角相等；对应角相等；2、对应高、对应角平分线和对应中线的比都等于相似比；对应高、对应角平分线和对应中线的比都等于相似比；3、周长的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方。（3）（1）定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边）定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。（2）相似多边形
22、的性质：相似多边形周长的比等于相似）相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。比；面积比等于相似比的平方。（3）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。相似比又称为位似比。圆的有关概念圆的有关概念（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其
23、中，定点为圆心，定长有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。为半径。（2）弦：连接圆上两点的线段叫做弦，直径是过圆）弦：连接圆上两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦。心的弦，也是圆中最长的弦。（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。（4）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。（5）圆心角：顶点在圆心，角两边与圆相交的角叫）圆心角：顶点在圆心，角两边与圆相交的角叫做圆心角。做圆心角。（6）圆周角：顶
24、点在圆上，角两边与圆相交的角叫）圆周角：顶点在圆上，角两边与圆相交的角叫做圆周角做圆周角 圆的有关性质圆的有关性质（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。（2）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。分弦所对的弧。推论：平分弦（不是直径）的直经垂直于弦，并且平推论：平分弦（不是直径）的直经垂直于弦，并且平分弦所对的弧。分弦所对的弧。（3）在同圆或等圆中在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两，如果两个
25、圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中的一组量相等，其余各组量都条弦、两条弦的弦心距中的一组量相等，其余各组量都分别相等。分别相等。（4）圆周角定理及其推论：）圆周角定理及其推论：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周直径所对的圆周角是直角；角是直角；090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。三角形的内心和外心三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：过）确定圆的条件：过不在同一直线上不在同一直线上的三点确的三点确定一个圆。定一个圆。（2）三
26、角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边中垂线的交点，叫做三角形的外心。的三边中垂线的交点，叫做三角形的外心。（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。分线的交点，叫做三角形的内心。drdrdrdr点与圆的位置关系点与圆的位置关系 设点与圆心距离是设点与圆心距离是，圆的半径是，圆的半径是点
27、在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外OrOddrdrdr直线与圆的位置关系及切线性质与判定直线与圆的位置关系及切线性质与判定（1）直线与圆的位置关系：设）直线与圆的位置关系：设 半径为半径为，点，点到直线的距离是到直线的距离是直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相离直线与圆相离（2）切线的性质定理与判定定理）切线的性质定理与判定定理切线定义：直线和圆有唯一公共点时，这条切线定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线；直线叫做圆的切线；性质定理：圆的切线垂直于经过切点的直径；性质定理：圆的切线垂直于经过切点的直径；判定定理：判定定理：经过半径的外端，并且垂直
28、于这条半经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。1O2ORrRrdOO21dRrdRrrRdrRrRdrRdd圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设设 的半径分别是的半径分别是、（），），相离：两圆外离相离：两圆外离+两圆内含两圆内含-相交：两圆相交相交：两圆相交相切：两圆外切相切：两圆外切两圆内切两圆内切（注：两圆内含时，如果（注：两圆内含时，如果为为0，则两圆为同心圆，则两圆为同心圆）ORn180RnlRnlRRnS213602扇形rl2,rrlSrlS全侧弧长弧长设设 半径为半径为，圆心角是，圆心角是，则弧长，则弧长扇形面积扇形面积半径为半径为，圆心角是，圆心角是，则，则圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积与全面积圆锥的底面圆的半径为圆锥的底面圆的半径为，母线长，母线长，则，则
