1、2020 年全国高考新课标年全国高考新课标卷名师押题信息卷卷名师押题信息卷 理科数学理科数学2020.6.29 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1已知集合 )2ln(|xyxA ，9| 2 xxB，则 )(ACB R ( )。 A、2 , 3( B、)2 , 3 C、3 , 2( D、)3 , 2 【答案】D 【解析】 2| xxA ， 33| xxB ，则 2| xxACR ， 32|)( xxACB R ，
2、故选 D。 2已知izi32)33( (i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的( )。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】C 【解析】 izi32)33( ， i i ii ii i i z 2 3 2 1 12 366 )33)(33( )33(32 33 32 ， 对应的点的坐标是) 2 3 , 2 1 ( ，对应的点在第三象限，故选 C。 3数列 n a中1 1 a，数列 n b为等比数列且 n n n a a b 1 ，若2020 1110 bb，则 21 a( )。 A、1 B、20 C、2010 D、 10 2020 【答案】B 【解析】 n
3、 n n a a b 1 且1 1 a， 1 2 1 a a b ， 2 3 2 a a b ， 20 21 20 a a b ， 21 1 21 20 21 2 3 1 2 2021 a a a a a a a a a bbb ， 又数列 n b为等比数列， 1010 11101110192201202121 2020)()()()( bbbbbbbbbbba，故选 B。 4某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策。随着人口增多， 对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，佳户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查 机构随机抽取n名市民，针对其
4、居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共 200户，所占比例为 3 1 ，二居室住户占 6 1 。如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取 %10的调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是( )。 A、样本容量为70 B、样本中三居室住户共抽取了25户 C、根据样本可估计对四居室满意的住户有70户 D、样本中对三居室满意的有15户 【答案】D 【解析】A 选项，总体容量为600，样本容量为600%10=60，错， B 选项，样本中三居室住户共抽取300%10=30(户)，错， C 选项，对四居室满意的住户共有200%40=80(户)，错， D 选项，样本
5、中三居室住户有300%10=30(户)， 对三居室满意的住户有30%50=15(户)，对，故选 D。 5已知直线l：01 ayx(Ra )是圆C：0124 22 yxyx的对称轴，过点), 4(aA 作 圆C的一条切线，切点为B，则 | AB( )。 A、2 B、24 C、6 D、102 【答案】C 【解析】圆C的标准方程为4)1()2( 22 yx，圆心)1 , 2(C，半径为2 r， 直线l是圆C的对称轴，圆心)1 , 2(C在直线l：01 ayx上，则1 a， l：01 yx，过点)1, 4( A作圆C的一条切线，切点为B， 则ABC 为 Rt， 90 ABC， 则6364)11()24
6、(| 2222 BCACAB，故选 C。 6齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等 马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马。某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局， 每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则齐王的马获胜概率为( )。 A、 3 1 B、 6 5 C、 4 1 D、 4 3 【答案】B 【解析】设齐王的三匹马分别记为 1 a、 2 a、 3 a，田忌的三匹马分别记为 1 b、 2 b、 3 b， 齐王与田忌赛马，其情况有： ),( 11 ba、),( 22 ba、),( 33 ba，齐王获胜，),( 11 b
7、a、),( 32 ba、),( 23 ba，齐王获胜， ),( 12 ba、),( 21 ba、),( 33 ba，齐王获胜，),( 12 ba、),( 31 ba、),( 23 ba，田忌获胜， ),( 13 ba、),( 21 ba、),( 32 ba，齐王获胜，),( 13 ba、),( 31 ba、),( 22 ba，齐王获胜， 共6种情况，则齐王获胜概率为： 6 5 p，故选 B。 7在 2020 )2( x的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当2 x时， S( )。 A、 2019 2 B、 2019 2 C、 3029 2 D、 3029 2 【答案】B 【解析】设 202
8、02019 2019 1 2020 0 2020 )2(axaxaxax ； 则当2 x时，有0)2()2()2( 20202019 2019 1 2020 0 aaaa， 则当2 x时，有 3030 20202019 2019 1 2020 0 2)2()2()2( aaaa， -有 30293030 2019 2019 1 222)2()2( aa，故选 B。 8已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何 体外接球的体积为( )。 A、 2 B、 2 3 C、 D、 2 23 【答案】B 【解析】原三视图可还原成三棱锥ABCP ， 可把三棱锥
9、ABCP 还原成正方体如图，棱长为1， 则三棱锥ABCP 的外接球的半径为此正方体的半径 2 3 2 3 a R， 则 2 3 8 33 3 4 3 4 3 RV，故选 B。 9已知函数dcxbxxxf 23 )(的图象如图所示，则 2 2 2 1 xx( )。 A、 3 2 B、 3 4 C、 3 8 D、 3 16 【答案】C 【解析】由图象可知)(xf的图象过点)0 , 0(、)0 , 1(、)0 , 2(， 1 x、 2 x是函数)(xf的极值点， 01 cb，0248 cb，解得3 b，2 c，xxxxf23)( 23 ， 263)( 2 xxxf， 1 x、 2 x是)(x f 的
10、两根，2 21 xx， 3 2 21 xx， 3 8 3 4 42)( 21 2 21 2 2 2 1 xxxxxx，故选 C。 10已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x (0 a,0 b)的离心率为 2 5 ，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A、B的动点，直线MA、MB的斜率分别为 1 k、 2 k，若2 , 1 1 k，则 2 k的取值范围 为( )。 C A P B A、 4 1 , 8 1 B、 2 1 , 4 1 C、 8 1 , 4 1 D、 4 1 , 2 1 【答案】A 【解析】若A、B是双曲线1 2 2 2 2 b y a x (0 a,0 b)
11、上关于原点对称的两点， M是双曲线上任意一点， 当MA、MB的斜率 1 k、 2 k都存在时， 有 4 1 1 2 2 2 21 e a b kk， 2 , 1 1 k， 4 1 , 8 1 4 1 1 2 k k，选 A。 11若a、b均为单位向量，且ba ，5|3|4| bcac，则|ac 的取值范围是( )。 A、3 , 1 B、4 , 2 C、5 , 3 D、53 , 4 【答案】C 【解析】建系，设)0 , 1( a，)1 , 0( b，),(yxc ， 5)3()4(|3|4| 2222 yxyxbcac， 即),(yx到)0 , 4(A、)3 , 0(B的距离和为5， c的终点轨
12、迹是点)0 , 4(A和点)3 , 0(B之间的线段， 22 )1(|yxac 表示)0 , 1( M到线段AB上点的距离， 最小值是点)0 , 1( M到直线01243 yx的距离3 5 |123| max d， 最大值为点M到A的距离5 min d，故选 C。 12已知数列 n a的前n项和为 n S，1 1 a，2 2 a，5 23 aa，233 211 nnnn SSSS (3 n， Nn)，则 n a( )。 A、43 n B、nn 3 5 3 2 3 C、nn32 2 D、2 2 n 【答案】D 【解析】233 211 nnnn SSSS(3 n， Nn)， 2)()(2 1211
13、 nnnnnn SSSSSS，即22 11 nnn aaa， 2)()( 11 nnnn aaaa，又2)()( 1223 aaaa， 数列 1 nn aa(2 n)是首项为3，公比为2的等差数列， 122)11(3 1 nnaa nn (2 n)， 3)32()12()()()( 12211 nnaaaaaa nnnn ， 故2)12(31 2)12(31 2 nnnan(2 n)， 1 2 121a 符合上式，数列 n a的通项公式为2 2 nan，故选 D。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知实数x、y满足约
14、束条件 0248 01234 04 yx yx yx ，则 1 2 x y 的最大值是 。 【答案】2 【解析】 )1( 2 1 2 x y x y 表示可行域内的点),(yxP与点)2 , 1( D连线的斜率， 当直线过点)4 , 0(A时，斜率取最大值，2 max k。 147个人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人， 其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为 。 【答案】360 【解析】分步完成： (1)甲、乙、丙三人首先选一人加入前排，为先组合再排列，前排3人有四个空可以排， 前排加入一人有12 1 4 1 3 AC种可能， (2)
15、剩下两人加入后排，为先组合再排列，后排4人有五个空可以排，又分两种情况： 这两个人挨着，则有10 2 2 1 5 2 2 AAC种可能，其中 2 2 A为这两个人的小排列， 这两个人不挨着，则有20 2 5 2 2 AC种可能， 又都能完成任务，用分步加原理， 后排加入两人有302010 种可能， (3)又(1)、(2)都不能单独完成任务，用分步乘原理，有3603012 种可能。 15设)( 1 xf 为 2 2)( 2 x xf x ，2 , 0 x的反函数，则)()( 1 xfxfy 的最大值为 。 【答案】4 【解析】 2 2)( 2 x xf x 在2 , 0上单调递增，值域为2 ,
16、4 1 ，)( 1 xf 在2 , 4 1 上单调递增， )()( 1 xfxfy 在2 , 4 1 上单调递增，其最大值为422)2()2( 1 ff。 16设直线 1 l、 2 l分别是函数 1,ln 10 ,ln )( xx xx xf图象上点 1 P、 2 P处的切线， 1 l与 2 l垂直相交于点 P，且 1 l、 2 l分别与y轴相交于点A、B，则PAB 的面积的取值范围是 。 【答案】)1 , 0( 【解析】设)ln,( 111 xxP，)ln,( 222 xxP( 12 10xx )， 21 ll ，1) 1 ( 1 21 xx ，则 2 1 1 x x ； 又切线 1 l：)
17、( 1 ln 1 1 1 xx x xy ， 2 l：)( 1 ln 2 2 2 xx x xy ， 于是)1ln, 0( 1 xA，)ln1 , 0( 1 xB ，2| AB， 联立 )( 1 ln )( 1 ln 2 2 2 1 1 1 xx x xy xx x xy ，解得 1 1 1 2 x x xP ， 1 1 1 2 2 2 1 x x xS PPAB ， 1 1 x，2 1 1 1 x x， PAB S 的取值范围是)1 , 0(。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算
18、步骤） 17 （本小题满分 12 分） 在锐角ABC 中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且32cos2)cos(4 CBA。 (1)求角C的大小； (2)若ABC 的外接圆半径为2，角A与角B的平分线交于点D，求ABD 周长的最大值。 【解析】(1) CBA，CBA ， 又32cos2)cos(4 CBA， 3)1cos2(2cos4 2 CC， 2 分 即01cos4cos4 2 CC，得 2 1 cos C， 又 2 0 C， 3 C； 4 分 (2)由正弦定理得4 sin C c ，32 c， 3 C， 3 2 BACABC， 又角A与角B的平分线交于点D， 3 BADABD，
19、 3 2 ADB， 5 分 设 ABD，则 412 ， 3 BAD， 在三角形ABD中，由正弦定理4 sin ) 3 sin( ADBD ， 得) 3 sin(4 BD， sin4 AD， 7 分 三角形ABD的周长为32) 3 sin(4sin4) 3 sin(432 ， 9 分 412 ， 12 7 312 5 ， 10 分 当 23 ，即 6 时，三角形ABD的周长取得最大值，为324 ， 三角形ABD周长的最大值为324 。 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，三棱锥BCDA 中，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且4 BDBC，24 AC，CD 34 ， 45 ACB，
20、E、F分别为AC、DC的中点。 (1)求证：平面 ABD平面BCD； (2)求二面角CBFE 的正弦值。 【解析】(1)证明：由4 BC，24 AC， 45 ACB，则： 445cos2442)24(4 22 AB， 222 ABBCAC ，则 90 ABC，BCAB ， 2 分 又平面 ABC平面BCD，平面ABC平面BCBCD ， AB平面ABC， AB平面BCD，又 AB平面ABD，故平面 ABD平面BCD； 4 分 (2)解：由BDBC ，点F为DC的中点，知CDBF ， 34 CD知32 CF，则 2 3 sin FBC， 60 FBC， 则 120 DBC， 5 分 如图所示以点B
21、为坐标原点，以平面DBC内与BC垂直的直线为x轴， 以BC为y轴，以BA为z轴建立空间直角坐标系， 6 分 则)0 , 0 , 0(B，)4 , 0 , 0(A，)0 , 4 , 0(C，)2 , 2 , 0(E，)0 , 2,32( D，)0 , 1 ,3(F， )2 , 2 , 0( BE，)0 , 1 ,3( BF，平面CBF一个法向量为)1 , 0 , 0( 1 n， 8 分 设平面BEF的法向量为),( 2 zyxn ，由 0 0 2 2 BEn BFn 得 022 03 zy yx ， 设1 x，得一个法向量)3,3, 1( 2 n， 10 分 设二面角CBFE 的平面角为 ， 则
22、 7 21 | | |,cos|cos| 21 21 21 nn nn nn ， 7 72 sin ，则二面角E-BF-C的正弦值为 7 72 。 12 分 19 （本小题满分 12 分） 某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直 径X服从正态分布)84. 4 ,65(N。 (1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为mm73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学 知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据； (2)如果钢管的直径X满足mmmm4 .696 .60 为合格品(合格品的概率精确到01. 0)，现要从60根该
23、种钢 管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望。 (参考数据：),( 2 NX，则6826. 0)( XP，9544. 0)22( XP， 9974. 0)33( XP)。 【解析】(1)65 、2 . 2 、4 .583 、6 .713 ，且6 .7173 ， 1 分 0013. 0 2 9974. 01 2 )6 .714 .58(1 )6 .71()73( XP XPXP， 3 分 此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理； 4 分 (2)65 、2 . 2 、6 .602 、4 .692 ， 5 分 由题意可知钢管直径满足： 22 X为合格品， 故试钢管为合格品的概率的为95.
24、0，60根管中，合格品57根，次品3根， 6 分 任意挑选3根，则次品数Y的可能取值为：0、1、2、3， 1711 1463 )0( 3 60 3 57 0 3 C CC YP， 8555 1197 )1( 3 60 2 57 1 3 C CC YP， 34220 171 )2( 3 60 1 57 2 3 C CC YP， 34220 1 )3( 3 60 0 57 3 3 C CC YP， 9 分 则次品数Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 1711 1463 8555 1197 34220 171 34220 1 则次品数Y的数学期望： 20 3 34220 1 3 34220 17
25、1 2 8555 1197 1 1711 1463 0)( YE。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)，设P为椭圆上一点，且 60 21 PFF， 3 3 21 PFF S。 (1)求b； (2)若2 a，), 0(bA，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几 个？若不存在，请说明理由。 【解析】(1)设mPF | 1 ，nPF | 2 ，由椭圆定义得anm2 ， 设椭圆的半焦距为c，则 222 cba ， 2 分 对 21F PF 由余弦定理得： mnamnnmPFFmnnmc3)2(3)(co
26、s2)2( 22 21 222 ， 解得 2 3 4 bmn ， 3 分 又 2 3 3 60sin 2 1 21 bmnS PFF ，结合 3 3 21 PFF S得1 b； 5 分 (2)可得椭圆的标准方程为：1 4 2 2 y x ， 当AB，AC中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 6 分 设AB：1 kxy，不妨设0 k， 联立直线AB和椭圆方程得：08)14( 22 kxxk， 7 分 两根为0 1 x， 14 8 22 k k x， | 14 8 |1| 2 2 k k kAB， 8 分 由ACAB ，得1 ACAB kk， 把| AB中的k换成 k 1 ，可得 2 2
27、 2 2 4 18 | 1 1 4 1 8 | 1 1| k k k k k AC ， 10 分 由|ACAB ，得 2 2 2 2 4 18 | 14 8 |1 k k k k k ， 结合0 k化简得0144 23 kkk，整理得0)13)(1( 2 kkk， 解得1 1 k， 2 53 2 k， 2 53 3 k，均符合0 k， 符合条件的ABC 的个数有3个。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数xeexf xx 42)( 2 。 (1)求)(xf的单调区间； (2)当0 x时，xaexfa x )14()( 恒成立，求a的取值范围。 【解析】(1)(xf的定义域为R，)
28、2)(1(2422)( 2 xxxx eeeexf， 1 分 令0)( x f，解得2ln x， 2 分 当)2ln,( x，0)( x f，则函数)(xf在)2ln,(上单调递减， 3 分 当), 2(ln x，0)( x f，则函数)(xf在), 2(ln上单调递增， 4 分 (2)令xeaeaxaexfaxg xxx )12()14()()( 2 ， 5 分 根据题意，当), 0( x时， 0)( xg恒成立，)1)(12(1)12(2)( 2 xxxx eeaeaeaxg， 6 分 当 2 1 0 a，),2ln( ax时，0)( x g恒成立， )(xg在),2ln( a上是增函数，
29、且),2ln()( agxg，不符合题意，8 分 当 2 1 a，), 0( x时，0)( x g恒成立， )(xg在), 0( 上是增函数，且),0()( gxg，不符合题意， 10 分 当0 a，), 0( x时，恒有0)( x g，故)(xg在), 0( 上是减函数， 于是“0)( xg对任意), 0( x都成立”的充要条件是0)0( g， 即0)12( aa，解得1 a，故01 a， 综上，a的取值范围是0 , 1 。 12 分 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，
30、则按所做的第一个题目 计分计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程是 sin cos1 y x ( 为参数)。以原点O为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系。 (1)求圆C的极坐标方程； (2)直线l的极坐标方程为33)cos3(sin ，射线OM： 3 与圆C的交点为O、P，与直 线l的交点为Q，求线段PQ的长。 【解析】(1)圆C的普通方程是1)1( 22 yx，即02 22 xyx； 2 分 圆C的极坐标方程是 cos2 。 4 分 (2)设点P的极坐标为),( 1 ，则有 3 cos2 1 ，解得 3 1 1 ， 6 分
31、 设点Q的极坐标为),( 2 ，则有 3 33)cos3(sin ，解得 3 3 2 ， 8 分 2| 21 PQ，线段PQ的长为2。 10 分 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 (1)设0 ba，求证： 2233 2323abbaba ； (2)已知0 a、0 b且2 ba，求证： a b 1 、 b a 1 中至少有一个小于2。 【解析】(1)(23()(2)(3)23(23 22222233 babaabbbaaabbaba ， 1 分 0 ba，0 ba，023 22 ba， 2 分 从而0)(23( 22 baba，即 2233 2323abbaba ； 4 分 (2)假设 a b 1 、 b a 1 都不小于2，则2 1 a b 、2 1 b a ， 5 分 0 a、0 b，ab21 、ba21 ， )(211baba ，即ba 2， 8 分 这与已知2 ba相矛盾，故假设不成立， 综上 a b 1 、 b a 1 中至少有一个小于2。 10 分
