1、2020 年全国高考新课标年全国高考新课标 III 卷名师押题信息卷卷名师押题信息卷 文科数学文科数学 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1已知集合 )2ln(|xyxA ，9| 2 xxB，则 )(ACB R ( )。 A、2 , 3( B、)2 , 3 C、3 , 2( D、)3 , 2 【答案】D 【解析】 2| xxA ， 33| xxB ，则 2| xxACR ， 32|)( xxACB R ，故选 D
2、。 2已知izi32)33( (i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的( )。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】C 【解析】 izi32)33( ， i i ii ii i i z 2 3 2 1 12 366 )33)(33( )33(32 33 32 ， 对应的点的坐标是) 2 3 , 2 1 ( ，对应的点在第三象限，故选 C。 3已知等比数列 n a的公比为q，那么“1 q”是“ n a无单调性”的( )。 A、充分不必要条件 B、必须不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】1 q能推出 n a无单调性，又 n
3、a无单调性时1 q或0 q，故选 A。 4某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策。随着人口增多， 对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，佳户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查 机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共 200户，所占比例为 3 1 ，二居室住户占 6 1 。如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取 %10的调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是( )。 A、样本容量为70 B、样本中三居室住户共抽取了25户 C、根据样本可估计对四居室满意的住户有70户
4、 D、样本中对三居室满意的有15户 【答案】D 【解析】A 选项，总体容量为600，样本容量为600%10=60，错， B 选项，样本中三居室住户共抽取300%10=30(户)，错， C 选项，对四居室满意的住户共有200%40=80(户)，错， D 选项，样本中三居室住户有300%10=30(户)， 对三居室满意的住户有30%50=15(户)，对，故选 D。 5已知直线l：01 ayx(Ra )是圆C：0124 22 yxyx的对称轴，过点), 4(aA 作 圆C的一条切线，切点为B，则 | AB( )。 A、2 B、24 C、6 D、102 【答案】C 【解析】圆C的标准方程为4)1()2
5、( 22 yx，圆心)1 , 2(C，半径为2 r， 直线l是圆C的对称轴，圆心)1 , 2(C在直线l：01 ayx上，则1 a， l：01 yx，过点)1, 4( A作圆C的一条切线，切点为B， 则ABC 为 Rt， 90 ABC， 则6364)11()24(| 2222 BCACAB，故选 C。 6若A、B为锐角三角形的两个内角，则BA tantan 的值( )。 A、不大于1 B、小于1 C、等于1 D、大于1 【答案】D 【解析】在锐角ABC 中， CBA，)(BAC ，0tan A，0tan B， 则0 tantan1 tantan )tan(tan BA BA BAC，1tant
6、an BA，故选 D。 7齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等 马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马。某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局， 每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则齐王的马获胜概率为( )。 A、 3 1 B、 6 5 C、 4 1 D、 4 3 【答案】B 【解析】设齐王的三匹马分别记为 1 a、 2 a、 3 a，田忌的三匹马分别记为 1 b、 2 b、 3 b， 齐王与田忌赛马，其情况有： ),( 11 ba、),( 22 ba、),( 33 ba，齐王获胜，),( 11 ba、),( 32
7、ba、),( 23 ba，齐王获胜， ),( 12 ba、),( 21 ba、),( 33 ba，齐王获胜，),( 12 ba、),( 31 ba、),( 23 ba，田忌获胜， ),( 13 ba、),( 21 ba、),( 32 ba，齐王获胜，),( 13 ba、),( 31 ba、),( 22 ba，齐王获胜， 共6种情况，则齐王获胜概率为： 6 5 p，故选 B。 8已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何 体外接球的体积为( )。 A、 2 B、 2 3 C、 D、 2 23 【答案】B 【解析】原三视图可还原成三棱锥ABCP ，
8、可把三棱锥ABCP 还原成正方体如图，棱长为1， C A P B 则三棱锥ABCP 的外接球的半径为此正方体的半径 2 3 2 3 a R， 则 2 3 8 33 3 4 3 4 3 RV，故选 B。 9已知函数dcxbxxxf 23 )(的图象如图所示，则 2 2 2 1 xx( )。 A、 3 2 B、 3 4 C、 3 8 D、 3 16 【答案】C 【解析】由图象可知)(xf的图象过点)0 , 0(、)0 , 1(、)0 , 2(， 1 x、 2 x是函数)(xf的极值点， 01 cb，0248 cb，解得3 b，2 c，xxxxf23)( 23 ， 263)( 2 xxxf， 1 x
9、、 2 x是)(x f 的两根，2 21 xx， 3 2 21 xx， 3 8 3 4 42)( 21 2 21 2 2 2 1 xxxxxx，故选 C。 10已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x (0 a,0 b)的离心率为 2 5 ，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A、B的动点，直线MA、MB的斜率分别为 1 k、 2 k，若2 , 1 1 k，则 2 k的范围为( )。 A、 4 1 , 8 1 B、 2 1 , 4 1 C、 8 1 , 4 1 D、 4 1 , 2 1 【答案】A 【解析】若A、B是双曲线1 2 2 2 2 b y a x (0 a,0
10、b)上关于原点对称的两点， M是双曲线上任意一点， 当MA、MB的斜率 1 k、 2 k都存在时， 有 4 1 1 2 2 2 21 e a b kk， 2 , 1 1 k， 4 1 , 8 1 4 1 1 2 k k，故选 A。 11若a、b均为单位向量，且ba ，5|3|4| bcac，则|ac 的取值范围是( )。 A、3 , 1 B、4 , 2 C、5 , 3 D、53 , 4 【答案】C 【解析】建系，设)0 , 1( a，)1 , 0( b，),(yxc ， 5)3()4(|3|4| 2222 yxyxbcac， 即),(yx到)0 , 4(A、)3 , 0(B的距离和为5， c的
11、终点轨迹是点)0 , 4(A和点)3 , 0(B之间的线段， 22 )1(|yxac 表示)0 , 1( M到线段AB上点的距离， 最小值是点)0 , 1( M到直线01243 yx的距离3 5 |123| max d， 最大值为点M到A的距离5 min d，故选 C。 12ABC 中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 若 2 c o sc o s c AbBa ， 则 Ba BbAa c o s c o sc o s 的最小值( )。 A、 3 3 B、 3 32 C、3 D、 3 34 【答案】B 【解析】由正弦定理得： 2 sin cossincossin 2 coscos C A
12、BBA c AbBa ， 则BABACABBAsincoscossinsincossin2cossin2 ， 则BABAsincos3cossin ，又0cos B， B A B A cos cos 3 sin sin ， 又0sin A，0sin B，0 cos cos 3 sin sin B A B A ，0cos A，0cos B， a b B A Ba Bb Ba Aa Ba BbAa cos cos cos cos cos cos cos coscos 3 32 cos3 cos cos cos 2 cos3 cos cos cos sin sin cos cos A B B A A
13、 B B A A B B A ， 当且仅当 A B B A cos3 cos cos cos 时取等号， Ba BbAa cos coscos 的最小值为 3 32 ，故选 B。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知实数x、y满足约束条件 0248 01234 04 yx yx yx ，则 1 2 x y 的最大值是 。 【答案】2 【解析】 )1( 2 1 2 x y x y 表示可行域内的点),(yxP与点)2 , 1( D连线的斜率， 当直线过点)4 , 0(A时，斜率取最大值，2 max k。 14若函数)
14、4 (cos2 xy与函数xaxy2cos2sin 图像的对称轴相同，则实数a的值为 。 【答案】0 【解析】 2 1 2 2sin 2 1) 2 2cos( ) 4 (cos2 x x xy ， 令 1 2 2kx (Zk 1 )，解得 24 1 k x (Zk 1 )， )2sin(12cos2sin 2 xaxaxy，其中a tan， 将 24 1 k x 代入得 21 24 2kk (Zk 1 、Zk 2 )， 解得 kkk 12 (Zk )，则0tan a。 15设)( 1 xf 为 2 2)( 2 x xf x ，2 , 0 x的反函数，则)()( 1 xfxfy 的最大值为 。
15、【答案】4 【解析】 2 2)( 2 x xf x 在2 , 0上单调递增，值域为2 , 4 1 ，)( 1 xf 在2 , 4 1 上单调递增， )()( 1 xfxfy 在2 , 4 1 上单调递增，其最大值为422)2()2( 1 ff。 16设直线 1 l、 2 l分别是函数 1,ln 10 ,ln )( xx xx xf图象上点 1 P、 2 P处的切线， 1 l与 2 l垂直相交于点 P，且 1 l、 2 l分别与y轴相交于点A、B，则PAB 的面积的取值范围是 。 【答案】)1 , 0( 【解析】设)ln,( 111 xxP，)ln,( 222 xxP( 12 10xx )， 2
16、1 ll ，1) 1 ( 1 21 xx ，则 2 1 1 x x ； 又切线 1 l：)( 1 ln 1 1 1 xx x xy ， 2 l：)( 1 ln 2 2 2 xx x xy ， 于是)1ln, 0( 1 xA，)ln1 , 0( 1 xB ，2| AB， 联立 )( 1 ln )( 1 ln 2 2 2 1 1 1 xx x xy xx x xy ，解得 1 1 1 2 x x xP ， 1 1 1 2 2 2 1 x x xS PPAB ， 1 1 x，2 1 1 1 x x， PAB S 的取值范围是)1 , 0(。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题
17、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 如图，四棱柱 1111 DCBAABCD 中，底面ABCD为菱形， 1 AA底面ABCD，E为DB1的中点。 (1)证明：平面 ACE平面ABCD； (2)若1 1 ABAA，点C到平面AED的距离为 2 2 ，求三棱锥AEDC 的体积。 【解析】(1)证明：连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF， 1 分 E为DB1的中点，F为BD的中点， 2 分 1 / BBEF，则 EF平面ABCD， 3 分 又 EF平面ACE，平面 ACE平面ABCD； 4 分 (2)
18、解：连接 1 AB、DC1、 1 CD，设DC1交 1 CD于点G， 5 分 由题意可知四边形 11C CDD为正方形，且1 ABCD，则 2 2 CG， 6 分 1 CD平面ADE，ADCD 1 ， 7 分 又 1 DDAD ， AD平面 11C CDD， 8 分 CDAD ，菱形ABCD为正方形， 9 分 点E到平面ABCD的距离为 2 1 ， 10 分 12 1 2 1 11 2 1 3 1 ACDEADEC VV。 12 分 18 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a前n项和为 n S( Nn)，数列 n b是等比数列，3 1 a，1 1 b，10 22 Sb， 325 2a
19、ba 。 (1)求数列 n a和 n b的通项公式； (2)若 为偶数为偶数 为奇数为奇数 nb n Sc n n n , , 2 ，设数列 n c的前n项和为 n T，求 n T2。 【解析】(1)设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 3 1 a，1 1 b，10 22 Sb， 325 2aba ， dqd dq 23243 1033 ， 2 分 2 d，2 q，12 nan， 1 2 n n b； 4 分 (2)由(1)知，)2( 2 )123( nn nn Sn， 6 分 为偶数为偶数 为奇数为奇数 n n nnc n n ,2 , 2 11 1 ， 8 分 )22
20、22() 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1( 12531 2 n n nn T 12 1 3 21 12 n n 。 12 分 19 （本小题满分 12 分） 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到 每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、 分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用。某市环卫局在A、 B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周(7天)进行生活垃圾 分类占用时间统计如下表： 住户编号 1
21、 2 3 4 5 6 A小区(分钟) 220 180 210 220 200 230 B小区(分钟) 200 190 240 230 220 210 (1)分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； (2)如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及 住户协商，初步实施下列方案： A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员 进行检查和纠错生活垃圾分类， 每位工作人员月工资按照3000元(按照28天计算标准)计算， 则每位住户每 月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ B小区
22、方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一 位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员(每天 工作8小时)月工资按照4000元(按照28天计算标准)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类 费是多少？ 市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值 得进行推广？ 【解析】(1)210)230200220210180220( 6 1 A x(分钟)， 1 分 215)210220230240190200( 6 1 B x(分钟)， 2 分 22222 )210
23、220()210210()210180()210220( 6 1 A s 3 800 )210230()210200( 22 ， 3 分 22222 )215230()215240()215190()215200( 6 1 B s 3 875 )215210()215220( 22 ； 4 分 (2)按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类， 其费用是1500030005 元， 每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为15 1000 15000 (元)， 6 分 由(1)知，B小区平均每位住户每周需要215分钟进行垃圾分类， 一月需要8604215 (分钟)， B小区
24、一月平均需要8600001000860 分钟的时间用于生活垃圾分类， 一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准， 每月按照28天作为计算标准， 一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果， B小区一月需要专职工作人员至少16 428608 860000 (名)， 则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为64 1000 400016 (元)， 9 分 根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说， 选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项； 如果对于高档小区的居民来说，可以选择B方案，这只是方便个别高收入住户， 综上，选择A
25、方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)，设P为椭圆上一点，且 60 21 PFF， 3 3 21 PFF S。 (1)求b； (2)若2 a，), 0(bA，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几 个？若不存在，请说明理由。 【解析】(1)设mPF | 1 ，nPF | 2 ，由椭圆定义得anm2 ， 设椭圆的半焦距为c，则 222 cba ， 2 分 对 21F PF 由余弦定理得： mnamnnmPFFmnnmc3)2(3)(cos2)2( 22 21
26、222 ， 解得 2 3 4 bmn ， 3 分 又 2 3 3 60sin 2 1 21 bmnS PFF ，结合 3 3 21 PFF S得1 b； 5 分 (2)可得椭圆的标准方程为：1 4 2 2 y x ， 当AB，AC中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 6 分 设AB：1 kxy，不妨设0 k， 联立直线AB和椭圆方程得：08)14( 22 kxxk， 7 分 两根为0 1 x， 14 8 22 k k x， | 14 8 |1| 2 2 k k kAB， 8 分 由ACAB ，得1 ACAB kk， 把| AB中的k换成 k 1 ，可得 2 2 2 2 4 18 |
27、1 1 4 1 8 | 1 1| k k k k k AC ， 10 分 由|ACAB ，得 2 2 2 2 4 18 | 14 8 |1 k k k k k ， 结合0 k化简得0144 23 kkk，整理得0)13)(1( 2 kkk， 解得1 1 k， 2 53 2 k， 2 53 3 k，均符合0 k， 符合条件的ABC 的个数有3个。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数xeexf xx 42)( 2 。 (1)求)(xf的单调区间； (2)当0 x时，xaexfa x )14()( 恒成立，求a的取值范围。 【解析】(1)(xf的定义域为R，)2)(1(2422)(
28、2 xxxx eeeexf， 1 分 令0)( x f，解得2ln x， 2 分 当)2ln,( x，0)( x f，则函数)(xf在)2ln,(上单调递减， 3 分 当), 2(ln x，0)( x f，则函数)(xf在), 2(ln上单调递增， 4 分 (2)令xeaeaxaexfaxg xxx )12()14()()( 2 ， 5 分 根据题意，当), 0( x时， 0)( xg恒成立，)1)(12(1)12(2)( 2 xxxx eeaeaeaxg， 6 分 当 2 1 0 a，),2ln( ax时，0)( x g恒成立， )(xg在),2ln( a上是增函数，且),2ln()( ag
29、xg，不符合题意，8 分 当 2 1 a，), 0( x时，0)( x g恒成立， )(xg在), 0( 上是增函数，且),0()( gxg，不符合题意， 10 分 当0 a，), 0( x时，恒有0)( x g，故)(xg在), 0( 上是减函数， 于是“0)( xg对任意), 0( x都成立”的充要条件是0)0( g， 即0)12( aa，解得1 a，故01 a， 综上，a的取值范围是0 , 1 。 12 分 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计
30、分计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程是 sin cos1 y x ( 为参数)。以原点O为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系。 (1)求圆C的极坐标方程； (2)直线l的极坐标方程为33)cos3(sin ，射线OM： 3 与圆C的交点为O、P，与直 线l的交点为Q，求线段PQ的长。 【解析】(1)圆C的普通方程是1)1( 22 yx，即02 22 xyx； 2 分 圆C的极坐标方程是 cos2 。 4 分 (2)设点P的极坐标为),( 1 ，则有 3 cos2 1 ，解得 3 1 1 ， 6 分 设点Q的极坐标为),(
31、 2 ，则有 3 33)cos3(sin ，解得 3 3 2 ， 8 分 2| 21 PQ，线段PQ的长为2。 10 分 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 (1)设0 ba，求证： 2233 2323abbaba ； (2)已知0 a、0 b且2 ba，求证： a b 1 、 b a 1 中至少有一个小于2。 【解析】(1)(23()(2)(3)23(23 22222233 babaabbbaaabbaba ， 1 分 0 ba，0 ba，023 22 ba， 2 分 从而0)(23( 22 baba，即 2233 2323abbaba ； 4 分 (2)假设 a b 1 、 b a 1 都不小于2，则2 1 a b 、2 1 b a ， 5 分 0 a、0 b，ab21 、ba21 ， )(211baba ，即ba 2， 8 分 这与已知2 ba相矛盾，故假设不成立， 综上 a b 1 、 b a 1 中至少有一个小于2。 10 分
