1、2020 高考数学模拟试卷（1） 南京师范大学数学之友 数学数学 I I 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位 置上 1.已知集合4 , 2,3 , 2BA，则 = . 2.设 i 是虚数单位，复数)R,(babiaz，若iz24 2 ，则ab= . 3.将 6 个数据 1,2,3,4,5,a 去掉最大的一个，剩下的 5 个数据的平均数为 1.8，则 a= . 4.右图是一个算法流程图，则输出的 S的值是 . (用数据作答) 5.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 . 6.函数)2lg(1)(xxf的定
2、义域为 . 7.曲线)0)( 4 sin(2 xy的一个对称中心的坐标为)0 , 3(，则的最 小值为 . 8.设双曲线)0,( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点到左准线的距离与它到右准线的 距离的比为2:1，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别 为 21,d d，则 2 1 d d = . 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写
3、黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 一律无效。 4 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 k=0,S=1 k10 开始 结束 是 否 k=k+1 输出 S S=S+ （第 4 题图） x y O B A （第 14 题） C A N M B （第 13 题） 9.如右图， 一个圆柱的体积为4， 、 分别是上、 下底面直径， 且 ，则三棱锥 的体积为 . 10.已知 0,sin , 0, )( 3 xx xxx xf， 0,cos ,
4、 0,3 )( 2 xxx xxx xg则不等式6)(xgf的解集为 . 11.直线baxy是曲线1xy的切线，则ba的最小值为 . 12.各项为正且公差不为 0 的等差数列 n a的第 1 项、第 2 项、第 6 项恰好是等比数列 n b 的连续三项 （顺序不变） ， 设 13221 111 nn n aaaaaa S， 若对于一切的 * Nn， 1 1 a Sn， 则 1 a的最小值为 . 13.在ABC中，AC=2BC=4，ACB为钝角，,M N是边AB上的两个 动点，且1MN ，若CM CN的最小值为 4 3 ，则ACBcos= . 14.设ba,是两个实数，ba 0，直线: l yk
5、xm和圆 22 1xy交于两点 A，B，若 对于任意的,bak，均存在正数m，使得OAB的面积均不小于 4 3 ，则ab2的最大 值为 . P A F E B D C 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD 平面ABCD，PAPD， PAPD，E，F分别为AD，PB的中点， （1）求证：平面PAB 平面PCD； （2）求证：EF平面PCD 16. 已知, 均为锐角，且 5 tantan. 43 （1）求cos2的值； （2）若 1 sin, 3 求ta
6、n的值. O B Q P A 17.一种机械装置的示意图如图所示， 所有构件都在同一平面内， 其中， O， A 是两个固定点， OA=2 米， 线段 AB 是一个滑槽 （宽度忽略不计） ， AB=1 米， 60OAB， 线段PQOQOP, 是三根可以任意伸缩的连接杆，OQOP ，QPO,按逆时针顺序排列，该装置通过连接 点 Q 在滑槽 AB 中来回运动，带动点 P 运动，在运动过程中，始终保持OQOP 4 1 ， （1）当点 Q 运动到 B 点时，求 OP 的长； （2）点 Q 在滑槽中来回运动时，求点 P 的运动轨迹的长度. 18. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆C:
7、)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x , 直 线 )0R,(:ktktkxyl. （1）若椭圆 C 的一条准线方程为4x，且焦距为 2，求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的左焦点为 F，上顶点为 A，直线l过点 F，且与 FA 垂直，交椭圆 C 于 M,N （M 在 x 轴上方） ，若FMNF2，求椭圆 C 的离心率； （3）在（1）的条件下，若椭圆 C 上存在相异两点 P,Q 关于直线 l 对称，求 2 t的取值范围 （用 k 表示）. 19.已知函数 f(x)(axa1) 1，g(x)1 2ax 2x1 2a，其中 aR. (1)当 a0 时，求函数 F(x)f(x)1
8、2(x1) 2在 R 上的零点个数； (2)对任意的 x1，有 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 20.若无穷数列 n a和无穷数列 n b满足：存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 Aba nn ，则称数列 n a与 n b具有关系)(AP. （1）设无穷数列 n a和 n b均是等差数列，且)N(2,2 * nnbna nn ，问:数列 n a 与 n b是否具有关系) 1 (P? 说明理由; （2）设无穷数列 n a是首项为 1，公比为 3 1 的等比数列，1 1 nn ab， * Nn，证明:数 列 n a与 n b具有关系)(AP;并求 A 的最小值； （3）
9、设无穷数列 n a是首项为 1， 公差为 d)R( d的等差数列， 无穷数列 n b是首项为 2， 公比为)N( * qq的等比数列，试求数列 n a与 n b具有关系)(AP的充要条件. 数学（附加题） 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共分，共 20 分分请在请在答题卡答题卡 指定区域内指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知二阶矩阵的逆矩阵1= 2 1 3 2 1 2 . （1）求矩阵； （2）设直线: = 4在矩阵对应
10、的变换的作用下得到直线，求，的方程. B选修 44：坐标系与参数方程 直线的参数方程为 = 8 = 2 （为参数） ，椭圆的参数方程为 = 22 = 22， （ 为参数） ，设为曲线上一动点，求到直线的距离的最小值. C选修 45：不等式选讲 已知：, ,a b cR 且231,abc 求证 222 1 . 14 abc 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页， 均为非选择题 （第 2123 题） 。 本卷满分为 40 分， 考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字
11、迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4. 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内 作答解答 应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所 大学，且申请其中任何一所大学是等可能的 （1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率； （2）求被申请大学的个数 X 的概率
12、分布列与数学期望 E(X) 23. 设整数3n， 集合 P=1,2,3,n，BA，是P的两个非空子集.记 n M为所有满足A 中的最大数小于B中的最小数的集合对),(BA的个数. (1)求 3 M；(2)求 n M. 2020 高考数学模拟试卷（1） 答案 一、一、填空题答案：填空题答案： 1. 2,3,4 2. 1 31 41024 51 9 6. 8,2) 7 4 8. 3 3 98 3 10|1 0，()在 R 上单调递增， 由于 F(0)1 e 1 20，F(1)10， 所以 F(x)在 R 上只有一个零点 (2)令 h(x)f(x)g(x)(axa1) 11 2ax 2x1 2a，
13、则对任意的 x1，h(x)0 恒成立， 注意到 h(1)0， h(x)1+ (axa1) 1ax1(ax1) 1ax1(ax1)( 11) 因为 x1，所以110. 若 a0，当 x1 时，ax10，h(x)0， 所以 h(x)在1，)上单调递增， 当 x1 时，h(x)h(1)0，符合题意 若 a1，当 x1 时，ax10，h(x)0， 所以 h(x)在(1，)上单调递减， 当 x1 时，h(x)h(1)0，与 h(x)0 矛盾，不符合题意 当1a0 时， 由(1)知，F(x)11 2(x1) 2在 R 上单调递增，且只有一个零点，设该零点为 x0， 则 x0(0，1)， 当 x1 时，F(
14、x)F(1)F(x0)0， 即 x1 时，11 2(x1) 2， a11 2a(x1) 2， 则 h(x)(axa1) 11 2ax 2x1 2a (axa1) 11 2a(x1) 2(a1)xa(axa1) 1a1(a1)xa (ax2a1) 1(a1)xa， 当 ax2a10，即 x21 a1 时，(ax2a1) 10， 当1a0，x1 时，(a1)xa0， 所以 x21 a时，h(x)0，与 h(x)0 矛盾，不符合题意 故实数 a 的取值范围是0，) 20. 解： （1）因为)N(2,2 * nnbna nn ，若数列 n a与 n b是否具有关系) 1 (P,则对 任意的 * Nn，
15、均有1 nn ba，即1)2(2 nn，亦即12 n，但4n时, 122n,所以数列 n a与 n b不具有关系) 1 (P, （2）证明:因为无穷数列 n a是首项为 1，公比为 3 1 的等比数列，所以 1 ) 3 1 ( n n a，因为 1 1 nn ab，所以1) 3 1 ( n n b，所以1) 3 1 () 3 1 ( 1 nn nn ba1 3 2 1 n ，所以数列 n a与 n b具有关系)(AP. 设 A 的最小值为 0 A， 0 Aba nn ，因为1 nn ba，所以1 0 A.若10 0 A，则当 0 3 1 2 log A n 时， 0 1 2 3 A n ， 则
16、 0 3 2 1A n ， 这与“对任意的 * Nn， 均有 0 Aba nn ” 矛盾，所以1 0 A，即 A 的最小值为 1. （3）因为数列 n a是首项为 1，公差为 d)R( d的等差数列，无穷数列 n b是首项为 2，公比为)N( * qq的等比数列，所以 nn nn q q qbbddndnaa 2 ,1) 1( 1 11 ， 设 0 2 ,1b q ad ，则 * N,nbqbadna n nn . 数列 n a与 n b具有关系)(AP，即存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 Aba nn . （I）当1, 0qd时，1121 nn ba,取 A=1,则Aba nn
17、,数列 n a与 n b 具有关系)(AP （II）当, 0d2q时，假设数列 n a与 n b具有关系)(AP，则存在正常数 A，使得对 任意的 * Nn，均有Aba nn .因为 nnnn baab，所以，对任意的 * Nn， Aab nn ，即Abqn1， b A qn 1 ，所以 b A n q 1 log，这与“对任意的 * Nn，均有Aab nn ”矛盾，不合； （III）当1, 0qd时，假设数列 n a与 n b具有性质)(AP，则存在正常数 A，使得对 任意的 * Nn，均有Aba nn .因为 nnnn baba，所以，对任意的 * Nn， Aba nn ，即Aan 2，即
18、Aadn2，所以Aadn2， d Aa n 2 ，这与“对任意的 * Nn，均有Aba nn ”矛盾，不合； （IV）当2, 0qd时，假设数列 n a与 n b具有性质)(AP，则存在正常数 A，使得对 任意的 * Nn，均有Aba nn .因为 nnnn baab，所以，对任意的 * Nn， Aab nn ，所以AandAadnbqn，所以 b Aa n b d qn ，设 0, 0 b Aa b d ，则对任意的 * Nn， nqn.因为, nn q2所以,对任意 的 * Nn， n n 2, 下面先证明：存在1N，当Nn 时， 2 2n n . 即证0ln22lnnn. 设)0(ln)
19、(xxxxf，则 112 ( ) 2 2 x fx xx x ，所以)4 , 0(x时， 0)( x f，)(xf在区间)4 , 0(上递增，同理)(xf在区间), 4( 上递减，所以 024ln)4()( max fxf，所以xx ln. 因此，)22ln(2)2(lnln22lnxxxxxx，所以，当 2 ) 2ln 2 (x时， 0ln22lnxx ，设 N 2 ) 2ln 2 (，则当Nx 时，0ln22lnxx ，即当 Nn 时， 2 2n n ,又 n n 2,所以 nn2，即0 2 nn，解得 2 4 0 2 n，这与对任意的 * Nn， n n 2矛盾，不合. 综上所述，数列
20、n a与 n b具有关系)(AP的充要条件为1, 0qd. 数学答案 21 【选做题】答案 【选做题】答案 A 解：（1）由1= 2 1 3 2 1 2 ，知其行列式为：2 ( 1 2) 1 3 2 = 1 2. 得 = 1 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 2 1 2 = 1 2 34. （2）设直线上一点(,)，则直线，上一点, ( ,)，在矩阵的作用变换 下， , , = 12 34 = + 2 3 + 4，所以 ,= + 2 ,= 3 + 4，所以 = , 2, = 3 2 , , 2 . = 4, , 2,= 4.即直线，的方程为2 4 = 0. B解：直线的直角坐标方程为 2
21、 + 8 = 0. 因为在曲线上，设(22,22)，所以到直线的距离 = |2242+8| 1 2+(2)2 = 2|222+4| 5 = 2 5 ( 2) 2 + 2. 故当 = 2时，最小值为45 5 ，此时(4,4). C证明：由柯西不等式，得 2 222222 1231231,abcabc 222 1 . 14 abc 当且仅当, 123 abc 即 111 , 632 abc 时取等号. 22 解： （1）记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A， P(A)C 4222 34 24 81 8 27 答：恰有 2 人申请 A 大学的概率为 8 27 （2）X 的所有可能值为 1，2，
22、3 P(X1) 3 34 1 27， P(X2)C 43A323A32 34 42 81 14 27， P(X3)C 42A33 34 36 81 4 9 X 的概率分布列为： X 1 2 3 P 1 27 14 27 4 9 所以 X 的数学期望 E(X)1 1 272 14 273 4 9 65 27 23. 解： （1）当3n时，3 , 2 , 1P，其非空子集为：1，2，3，21，31， 32，321 ，则所有满足题意的集合对),(BA为)2,1(，)3,1(，)3,2(， )32,1(，)3,21(，共 5 对，所以 3 5M . （2）设A中的最大数为k，其中11nk，整数3n，则
23、A中必含元素k，另元素 1, 2 , 1k可在A中，故A的个数为： 11 1 1 1 0 1 2 kk kkk CCC，B中必不含元素 k, 2 , 1，另元素nkk, 2, 1可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为： 12 21 knkn knknkn CCC, 从而集合对),(BA的个数为 111 22) 12(2 knknk ， 所以， 1 1 1111 1 1 2 (22) (1) 2(2) 21 1 2 n n nknn n k Mnn . 2020 高考数学模拟试题 南京师范大学数学之友 数学 I I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1本试卷共 4 页，包含
24、填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满 分为 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作 答一律无效 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 参考公式：球体的表面积公式：S 2 4 R，其中 R 为球体的半径 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置
25、上） 1. 集合1,0,1A ，0,1,2B ，则AB . 2若复数z满足11 3zii ，则z的模是 3. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为 . 1 1 While 5 + 2 + End While Print 第 3 题 第 4 题 4 从学校高三年级随机抽取一个班， 对该班 45 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如图. 若高校 A 专业对视力要求不低于 0.9，则该班学生中 最多有 人能报考该专业. 5袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中有 2 只红球，2 只白球，若从中随机一次摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为
26、6若双曲线的一条渐近线经过点(3，-4)，则此双曲线的离心率 为 7. 圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比 为 . 8.已知函数 sin0,0. 2 fxAxA 的图像如图所示，则 4 f . 9.若平面向量1, 1a 与b的夹角是180 ，且 2 2b ，则 b等于 . 10.已知 A,B 是椭圆 C： 22 1 4 xy mm 的长轴的两个端点， P 是椭圆 C 上的动点， 且APB 的最大值为 2 3 ，则椭圆 C 的离心率为 . 11已知函数 2 4, 2 , xxa f x xx xa ，若任意实数b ，总存在实数 0 x ，使得 f (x0
27、)b， 则实数 a 的取值范围是 . 12 在ABC中， 角, ,A B C的对边分别是, ,a b c 已知2,3 sin5 sincos0abCcBA， 则ABC面积的最大值是 . 13已知一个数列只有 21 项，首项为 1 100，末项为 1 101，其中任意连续三项 , ,a b c满足 2ac b ac ，则此数列的第 15 项是 . 14. 已知0,2， 若关于 k 的不等式 33 sincos(sincos)k在, 2 上 恒成立，则的取值范围是 . 22 22 1(0,0) xy ab ab 二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计 90 分.解答应写出必要的文字说明， 证明过
28、程或演算步骤， 请把答案写在答题卡的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知 = (sin2,3)， = (4,cos2)， 4 2， 2 0，所以 f(k)在区间(，2上单调递增，不符合题意； 当 0， 4 时，sin3cos30，所以 f(k)在区间(，2上单调递减，此时 f(k)min f(2)2(sin3cos3)( sin cos )0，即 2sin3 sin 2cos3 cos . 令 h(x)2x3 x (x0)，不等式即为 h(sin )h(cos )， 因为 h(x)6x2+ 1 2 x 0，所以 h(x)在区间0，上单调递增因为当 0， 4 时， sincos，所以
29、 h(sin )h(cos )恒成立综上所述， 的取值范围是 0， 4 . 二、解答题 15. 解：（1） 因为 ， 所以 = 0， 所以4sin2 + 3cos2 = 0 sin22 + cos22 = 1， 得cos 22 = 16 25， 因为 4 2，所以 2 2 ，所以cos2 = 4 5. （2）由（1）知cos2 = 4 5 = 2cos2 1，因为 4 2， 所以cos = 10 10 ，sin = 1 cos2 = 310 10 ； 因为cos = 25 5 ， 2 0，所以sin = 1 cos2 = 5 5 ， 因为 4 2， 2 0，所以 4 0，故可设 t1，t2是上
30、述方程的两实根，所以 t1t23 2， t1 t24. 又直 线 l 过点 P(3， 5)，故由上式及 t 的几何意义得 PAPB|t1|t2|t1t23 2. C选修 45：不等式选讲 解 (1)当 x1 2时，2x1x32x4， 所以 x2； 当3x1 2时， 12xx32x4， 所以3x0； 当 x3 时，12xx32x4， 所以 x3. 综上，原不等式的解集 Ax|x0，或 x2 (2)当 x2 时，|2xa|x3|02x4 成立 当 x2 时，|2xa|x3|2xa|x32x4，即|2xa|x1， 得 xa1 或 xa1 3 ， 所以 a12 或 a1a1 3 ，得 a2， 综上，a
31、 的取值范围为(，2 【必做题】答案 22. 解：依题意，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则1,0,0, ,0,2,0 ,0,0,2 ,BDP 因为DCAB ，所以,2,0 .C （1）,2, 2 ,1,2,0 ,PCBD 则 2 415 cos, 15 85 PC BD PC BD PC BD 解得2. （2）易得2,2, 2 ,0,2, 2PCPD ,设平面PCD 的法向量( , , ),nx y z 则0,n PC 且0,n PD 即0,xyz 且0,yz 所以0,x 不妨取1,yz 则平面PCD的一个法向量为(0,1,1
32、),n 又易得1,0, 2 ,PB 故 210 cos, 552 PB n PB n PB n 所以直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为 10 5 . 23. 解：(1)因为 21 2 1 k k a a ，所以 212 ,2,2 kk aa 或(2，2)，所以 A2m (2)若对任意的 k，l(k，lN*，1klm)都| 2 21 4 l i ik a 成立， 由 a2k1a2k4 或4 或 0，若出现 4 和4 的次数为 x，则出现 0 的次数为(mx) 将这 x(mx)排列， 先从 m 个元素中先选出 x 元素排列 4 或4， 且 4 和4 只能相 间排列，共有 2 种排法，而其余(mx)个元素共有 2 m x 种排法， 因此 B2C1m2 (m 1)2C2 m2 (m 2)2Cx m2 (m x) 2Cmm20 2(3m2m)
