1、高高考考数数学学模模拟拟卷卷（一一） 命命题题人人：葛葛军军 一、选择题（本大题共 1122 小题，共 66 00 0 0 分） 1.已知全集 U = R ，集合 A = x |x 2 - x - 6 0 ， ，那么集合 A （U B ）= （） A . - 2 ，4 ）B . （- 1，3 C . - 2 ，- 1D . - 1，3 2 . 若复数 z 满足 z ( - 1+ 2 i) |1+ 3 i| 2 （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3 . 已知共面向量 、 、 满足，且；若对每一个确定的向量 ，记
2、 （）的最 小值，则当 变化时，的最大值为（） A .B .2C .4D .6 4 . 已知为函数 的导函数，且，若，方程有且 只有一个根，则 的取值范围是( ) A .B .C .D . 5 . 已知椭圆的方程为，（注：若椭圆的标准方程为 ，则椭圆的面积为 a b ）将该椭圆绕坐标 原点逆时针旋转 4 5 后对应曲线的方程设为 f （x ，y ）0 ，那么方程 f （|x |，y ）0 对应的曲线围成的平面区域如 图所示，现往曲线 f （|x |，y ）0 围成的平面区域内投放一粒黄豆（大小忽略不计，可抽象为一个点），那么该 粒黄豆落在四边形 A B C D 内的概率为（ ） A .B .C
3、 .D . 6 .若，则在的展开式中，含 项的系数为（ ） A .B .C .D . 7 .已知函数 f ( x ) s in x c o s x ( 0 ) ，若方程 f ( x ) 1 在( 0 ， ) 上有且只有三个实数 根，则实数 的取值范围是( ) A .B .C .D . 8 .已知,，平面内的动点 ，满足，则的最大值是（ ） A .B .C .D . 9 .已知A B C 是由具有公共直角边的两块直角三角板（R t A C D 与 R t B C D ）组成的三角形，如右图所示.其中， C A D = 4 5 , B C D = 6 0 .现将 R t A C D 沿斜边 A C
4、 进行翻折成D 1A C （D1不在平面 A B C 上）. 若 M 、N 分别为 B C 和 B D 1的中点，则在 A C D 翻折过程中，下列命题不正确的是（ ） A .在线段 B D 上存在一定点 E ，使得 E N 的长度是定值 第1页,共24页 B .点 N 在某个球面上运动 C .存在某个位置，使得直线 A D 1与 D M 所成角为 6 0 D .对于任意位置，二面角 D 1A C B 始终大于二面角 D1B C A 10 .已知定义域为正整数集的函数 f ( x ) 满足 f ( x y ) f ( x ) f ( y ) 1，f ( 1) 1，则数列 ( 1) n f (
5、n ) f ( n 1) ( n N * ) 的前 9 9 项和为( ) A . 1 9 7 9 9B . 1 9 7 9 7C . 1 9 7 9 5D . 1 9 7 9 3 11.已知函数是定义在 上的奇函数，当时，若， 则实数 的取值范围为（ ） A .B .C .D . 12 .执行如图示的程序框图，输出的 的值等于（ ） A .B .C .D . 二、填空题（本大题共 44 小题，共 22 00 0 0 分） 13 .已知等差数列 a n 的前 n 项和 Sn0 ， 且 ， 其中 n 2 且 n N * 若（n N * ） ， 则实数 t 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _
6、 14 .设为不共线的非零向量，且.定义点集.当，且不在直 线 A B 上时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是 15 .形如这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字 0 ，1， 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 16 .已知函数，若函数与的图象上至少存在一对关于 轴 对称的点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 三、解答题（本大题共 77 小题，共 88 44 0 0 分） 17 .如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 A B C D ，A B ，A D 的长分别为 2 m
7、和 4 m ，上部是圆心为 O 的劣弧 C D ， 第2页,共24页 C O D . ( 1)求图 1 中拱门最高点到地面的距离； ( 2 ) 现欲以点 B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 A B C D 所在的平面始终与地面垂直，如图 2 、图 3 、图 4 所示.设 B C 与地面水平线 l 所成的角为 .记拱门上的点到地面的最大距离为 h ，试用 的函数表示 h ，并求出 h 的最大值. 18 .在如图所示的多面体中，平面 A B B 1A1平面 A B C D ，四边形 A B B1A1是边长为 2 的菱形，四边形 A B C D 为直角梯形，四边形 B C C 1B1为平行四边形，
8、且 A B C D ，A B B C ，C D = 1 ( 1) 若 E ，F 分别为 A 1C1 ，B C 1的中点，求证：E F 平面 A B1C1 ； ( 2 ) 若A 1A B = 6 0 ，A C1与平面 A B C D 所成角的正弦值为 ，求二面角 A1- A C1- D 的余弦值. 19 .“工资条里显红利，个税新政人民心”随着 2 0 19 年新年钟声的敲响，我国自 19 8 0 年以来，力度最大的一次个人 所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2 0 19 年 1 月 1 日实施的个税新政主要内容包括：（1 ）个税起征点 为 5 0 0 0 元；（2 ）每月应纳税所得额
9、（含税）= 收入- 个税起征点- 专项附加扣除；（3 ）专项附加扣除包括住房、子 女教育和赡养老人等 第3页,共24页 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点 3 5 0 0 元）新个税税率表（个税起征点 5 0 0 0 元） 缴税级数 每月应纳税所得额（含税）= 收入- 个税起征点 税率（% ） 每月应纳税所得额（含税）= 收入- 个税起征点 - 专项附加扣除 税率（% ） 1不超过 15 0 0 元部分3不超过 3 0 0 0 元部分3 2超过 15 0 0 元至 4 5 0 0 元部分10超过 3 0 0 0 元至 12 0 0 0
10、 元部分10 3超过 4 5 0 0 元至 9 0 0 0 元的部分2 0超过 12 0 0 0 元至 2 5 0 0 0 元的部分2 0 4超过 9 0 0 0 元至 3 5 0 0 0 元的部分2 5超过 2 5 0 0 0 元至 3 5 0 0 0 元的部分2 5 5超过 3 5 0 0 0 元至 5 5 0 0 0 元部分3 0超过 3 5 0 0 0 元至 5 5 0 0 0 元部分3 0 随机抽取某市 10 0 0 名同一收入层级的 I T 从业者的相关资料， 经统计分析， 预估他们 2 0 1 9 年的人均月收入 2 4 0 0 0 元 统 计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；
11、同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们 之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养 老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 2 ：1 ：1：1 ；此外，他 们均不符合其他专项附加扣除新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房 10 0 0 元/月，子女教育每孩 10 0 0 元/月，赡养老人 2 0 0 0 元/ 月等 假设该市该收入层级的 I T 从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的 I T 从业者的人均月收入 视为其个人月收入根据样本估计总体的思想，解决如下问
12、题： （1）设该市该收入层级的 I T 从业者 2 0 1 9 年月缴个税为 X 元，求 X 的分布列和期望； （2 ）根据新旧个税方案，估计从 2 0 19 年 1 月开始，经过多少个月，该市该收入层级的 I T 从业者各月少缴交的个 税之和就超过 2 0 19 年的月收入？ 2 0 . 在平面直角坐标系中， 已知直线与椭圆 交于点（ 在 轴上方） ， 且 设 点 在 轴上的射影为 ，三角形的面积为 2 （如图 1） （1 ）求椭圆的方程； （2 ）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为 求证：直线的斜率为定值； 设直线与椭圆相交于两点 在 轴的上方） ， 点 为椭圆上异于一点， 直线交于点
13、 ，交 第4页,共24页 于点 ，如图 2 ，求证：为定值 2 1.已知函数，且的最小值为 （1 ）求 的值； （2 ）若不等式对任意恒成立，其中 是自然对数的底数，求 的取值范围； （3 ）设曲线与曲线交于点，且两曲线在点 处的切线分别为 ， 试判断 ， 与 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由 2 2 .已知在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，在直角坐标系 x O y 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1 ）设曲线 C 与直线 l 的交点为 A ，B ，求弦 A B 的长度； （2 ）若动点 Q
14、在曲线 C 上，在（1）的条件下，试求Q A B 面积的最大值 2 3 .已知函数 （1 ）若不等式的解集为 A ，且，求实数 的取值范围； （2 ）若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 的取值范围. 第5页,共24页 第6页,共24页 答答案案和和解解析析 1.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题 解不等式求出集合 A 、B ，根据补集与交集的定义写出 A （U B ） 【解答】 解：全集 U = R ，集合 A = x |x 2 - x - 6 0 = x |- 2 x 3 ， = x |x - 1 或 x 4 ， UB = x |- 1x 4
15、 ， A （UB ）= x |- 1x 3 = - 1，3 故选：D 2 .【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简复数 z ，求出 z 在复平面内对应的点的坐标得答案 【解答】 解：由 z （- 1+ 2 i）= |1+ 3 i| 2 ， 得 = ， 则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为：（- 2 ，- 4 ），位于第三象限 故选 C 3 .【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了向量的在几何中的应用，考查了学生的转化能力和计算能力，属于难题. 根据向量的平行四边形法则和三角
16、形的面积公式以及平行四边形的性质可得 b 2 + 2 c 2 = 3 6 ，即可得到= c，利用 基本不等式即可求出最值 【解答】 解：如图，设 = ， = ， = ， + = 2 ， M 为 B D 的中点， S A B D= 3 2 = 3 ， | |= | - |， 第7页,共24页 A D = B D ， 设 A B = c ，A D = b ， 在A B C D 中，2 （A B ） 2 + （A D ） 2 = A C 2 + B D 2 ， b 2 + 2 c 2 = 3 6 ， S A B D= c = c ， 将代入可得，S A B D= c = c ， 3= c， = c=
17、 2 ，当且仅当 c 2 = 8 时，取等号， 故选 B 4 .【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了导数的运算法则和参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，属于难题 先根据导数的运算法则求出 f （x ），再求出 g （x ），根据方程 g （a x ）- x = 0 ，转化为 a x = ln x 利用数形结合的思想即可求 出答案 【解答】 解：f （x ）= x 2 - f （0 ）x + f （1 ）e x - 1 ， f （0 ）= f （1 ）e - 1 ， f （x ）= x - f （0 ）+ f （1 ）e x - 1 ， f （1）= 1- f （1 ）e
18、- 1 + f （1 ）e 1- 1 ， f （1）= e ， f （0 ）= f （1 ）e - 1 = 1， f （x ）= x 2 - x + e x ， g （x ）= f （x ）- x 2 + x = x 2 - x + e x - x 2 + x = e x ， g ( a x ) - x = 0 , 即 e a x - x = 0 有一个根， 第8页,共24页 即 y = e a x 与 y = x 只有一个交点， 当 a 0 时，在同一坐标系作出两函数图象如图 只有一个交点符合题意， 当 a 0 时曲线 f ( x ) 应与 y = x 相切， 设切点坐标为, 则 a e a
19、 m = 1, 且 m = e a m , 截得 a = . 综上 a 的取值范围为. 故选 D . 5 .【答案】C 【解析】【分析】 本题考查椭圆、面积、旋转等综合知识，考查几何概型的应用，题目新颖，难以理解，难度较大. 根据椭圆的对称性可得封闭曲线的面积为 a b ，还原椭圆位置及 A B D 三点位置 A B D ，则 B D 为直线 y = x 与椭圆的交点，联 立方程求解，可得 B D =，同理可得 ，则四边形 A B C D 面积可求，利用几何概型概率公式求解即可. 【解答】 解：根据题意及椭圆的对称性知图中封闭曲线的面积为 S = 还原椭圆位置及 A B D 三点的位置 则直线
20、所在直线方程为 y = x ， 即 B D 为直线 y = x 与椭圆的交点， 联立， 解得 则， 同理可得， 根据对称性 故概率 6 .【答案】D 第9页,共24页 【解析】【分析】 本题考查定积分的基本性质和二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题. 先由，求出 m ，再求的展开式中含 项的系数即可. 【解答】 解：由，得， ，解得 m = 2 ， =， 对于， 对于， 的展开式中含 项的系数为： = - 8 0 - 16 0 = - 2 4 0 . 故选 D . 7 .【答案】A 【解析】【分析】 本题考查函数 y = A s in ( x + ) 的图象与性质，考查两角和与差的三角
21、函数公式，属于中档题. 根据两角和与差的三角函数公式将函数恒等变形，化为正弦型函数，进而根据函数 y = A s in ( x + ) 的图象与性质即可求 出结果. 【解答】 解：f ( x ) s i n x c o s x = 2 s in () , 令 f ( x ) 1 得 2 s in () = - 1 ， 即 s in ( ) = ， 所以=（）或=（）， 所以 x = （）或 x =（）， 当 x 取正数时，从小到大依次为： 因为 f ( x ) = - 1 在( 0 ， ) 上有且只有三个实数根， 所以， 所以， 故选 A . 8 .【答案】D 第10页,共24页 【解析】【分
22、析】 本题考查了点的轨迹方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，如图所示，建立直角坐标系，求出得到 M 轨 迹为以 N 为圆心， 为半径的圆，当 B ，N ，M 三点共线时，|B M |为最大值，问题得以解决 【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系，取 A C 中点 N ， ， | |= ，从而 M 轨迹为以 N 为圆心， 为半径的圆， B ，N ，M 三点共线时，|B M |为最大值 又因为，则，则， | |的最大值为 3 + = ， 的最大值是 ， 故选 D 9 .【答案】C 【解析】【分析】 本题考查空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，属难题. 关键在于确定二面角的平面角和异面直
23、线所成角， 【解答】 解：如图： 设 A D = 1, 取 A B 中点 E , 易知 E 落在线段 B D 上， 且, 所以点 N 到点 E 的距离始终为 ， 即点 N 在以点 E 为球心，半径为 的球面上运动，因此 A 、B 选项正确； C ：作 ，交线段 B C 于 P ， 第11页,共24页 A D 1可以看成以 A C 为轴线的圆锥的母线， 易知与落在同一个轴截面上时，取的最大值， 则的最大值为， 此时落在平面 A B C 上，因为 D 1不在平面 A B C 上， 所以, 即与 D M 所成角始终小于， 所以 C 选项不正确； D ：易知当二面角不为锐二面角， 二面角始终大于二面角
24、, 当二面角为锐二面角时， 如图所示于点 R , 作 分别交 A C , B C 于 O , S , 则二面角的平面角, 二面角的平面角为， 且, 又因为 O R 1) ，则 令，解得 列表如下： 极小值 而， 所以在内有一个零点，也是上的唯一零点 所以存在唯一的满足题意 综上所述， ， 与 轴能围成 2 个等腰三角形 【解析】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数中的恒成立问题，属于难题. （1 ）对函数 g ( x ) 求导，求出，进而可知函数 f ( x ) 图象的对称轴，即可得到 a 的值； （2 ）由（1）可将条件等价转化为 对任意恒成立，构造函数，求导
25、，对 b 的范围分类讨论，即可得到 b 的取值范围； （3 ）设 ， 的倾斜角分别为 ， ，根据导数的几何意义分别求得，若 ， 与 轴所围成的三角形是 等腰三角形，则或，进而分类讨论或两种情况，可得 ， 与 轴能围成 2 个等腰三角形 2 2 .【答案】解：（1）根据曲线 C 的极坐标方程，得 2 ( c o s 2 + 3 s in 2 ) 9 ， 可以得到它的直角坐标方程为 根据直线 l 的参数方程（t 为参数）， 第23页,共24页 可以得到它的普通方程为 x - y - 10 联立方程可得到 2 x 2 - 3 x - 3 0 ， 设 A ( x 1 ，y 1) ，B ( x2 ，y
26、2) ，则 ， 所以， （2 ）设， 则点 Q 到直线 x - y - 10 的距离 ， 所以， 【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，属中档题 ( 1) 将曲线 C 与直线 l 的方程化成直角坐标方程，联立两个方程，利用弦长公式即可求解；( 2 ) 设， 利用点到直线的距离公式和三角函数的性质得到 Q 到直线 x - y - 10 的距离的最大值，从而得到O P Q 面积的最大值 2 3 .【答案】解：（1）由，解得，即， 由，得，解得， 即实数 a 的取值范围为； （2 ）由题意恒成立， 设， 当 0 1 时， ， ，1 a 2 ， 综上所述，a 的取值范围. 【解析】本题考查恒成立问题，考查了绝对值不等式的解法，是中档题 （1 ）由 f （x ）2 求解绝对值的不等式，结合不等式 f （x ）2 的解集，列式求得实数 a 的取值范围； （2 ）设，分类讨论得出 h ( x ) 的最小值，求解即可. 第24页,共24页
