1、第五章第五章 数值积分数值积分区间a,b上的黎曼可积函数f(x)的积分：badxxf)(有两种可能：（1）f(x)原函数无法用初等函数表示出来。（2）f(x)用表格形式给出考虑积分数学上描述：如图5.1 求积公式求积公式 利用前面插值多项式P(x)逼近逼近被积函数f(x)，并对P(x)求积代替原积分即：babadxxPdxxf)()(1、过a,b两点，作直线得梯形公式：)()()(1afbabxbfabaxxP用P1(x)代替f(x)，得：)()(2)()()()(1bfafabdxafbabxbfabaxdxxPdxxfbababa如右图：2、把a,b区间二等分，过a,b及等分点作抛物线得辛
2、普森公式：)()2)()2()(2)()(2()(2)(22bfbaxaxbafbxaxafbxbaxabxP用P2(x)代替f(x)，得：)()2(4)(6)()(2bfbafafabdxxPdxxfbaba如右图：3、把a,b区间n等分，分点为：nabhniihaxi,.,2,1,0,过这n+1个节点，构造一个n次多项式：)()()()()(0 xfxxxxxPiniininn用Pn(x)代替f(x)，得：niiiniibaininbainiininbanbaxfAxfdxxxxxdxxfxxxxdxxPdxxf000)()()()()()()()()()()(其中：dxxxxxAbain
3、ini)()()(该公式称为牛顿-科茨公式，该公式的关键是计算系数Ai，变量替换 x=a+th于是：).(1()()(1nttththaxnnn)!)(!()1()(inihxinnin从而：ninnnbaininihdthitinihnttthdxxxxxA01)()!)(!()1().(1()()()(nindtitntttinih0)().(1()!)(!()1(引进记号：ninnidtitntttininc0)()().(1()!)(!()1(则：cabAnii)()(可以看出Ci(n)不依赖f(x)和区间a,b，叫牛顿-科茨系数，可事先计算出：例例1：P101（1）梯形求积公式：15
4、.0dxx4267767.0)15.0(25.015.0dxx（2）抛物线求积公式：4093403.0)175.045.0(65.015.0dxx（3）牛顿-科茨求积公式：取n=4)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfbaniiibaxfAdxxf0)()(cabdxxxxxAnibainini)()()()()(43096407.0)7875.03275.012625.0325.07(905.015.0dxx积分准确值：积分准确值：43096441.0|3215.015.032xdxx5.2 求积公式误差估计求积公式误差估计 1、定义：对一个一般的求积公式niiibaxfAdxxf
5、0)()(该公式具有m次代数精确度，若对f(x)是不高于m次的代数多项式时，等号成立，而对f(x)是m+1次多项式时不能精确成立。（1）梯形公式具有一次精度)(!2)()()(1bxaxfxPxf)()(0)()(1xPxffxf，于是是一次多项式，则若则：)()(2)()(1bfafabdxxPdxxfbaba 但当f(x)=x2时)(23)(22332abababdxxdxxfbaba 所以 梯形公式具有一次精度（2）牛顿-科茨公式：若f(x)是n次多项式，则f(n+1)(x)=0，因此f(x)=Pn(x)，牛顿科茨公式的代数精确度至少是n，当n是偶数时，精度可达到n+1，下面证明之：记n
6、+1次多项式为：则其n+1次导数为：则：令：则：即h(u)是一个奇函数，故：所以说n为偶数时，牛顿-科茨公式对n+1次多项式精确成立 抛物线求积公式是n=2时的牛顿-科茨公式，故其精确度为至少为3，可以证明它对四次多项式不能精确成立。取f(x)=x4，有：所以，抛物线求积公式的代数精确度是32、求积公式的截断误差：真值与近似计算所得的结果之差3、定理5.1：P104证明：根据定理2.1有：两边积分：因此 定理得证4、定理5.2：P105 证明：已知抛物线求积公式代数精确度为3，构造一个3次差之多项式：应用第二章的知识得：两边从a到b积分得：因P3是三次多项式，所以对抛物线求积公式是精确成立的，
7、即：于是得到：因此抛物线求积公式的截断误差为：5.3 复化公式及其误差估计复化公式及其误差估计 1、复化梯形求积公式：若把区间2n等分，则可得到T2n，它与Tn之间关系是：其中：2、复化抛物线求积公式：3、复化梯形求积公式的误差估计：由于f(x)在a，b上连续，利用连续函数的性质，在a，b存在一点使这样就得到了复化梯形求积公式的截断误差：4、复化抛物线求积公式的误差估计：证明：这样就得到了误差估计：5、例2：计算积分10dxeIx要求保证有5位有效数字。问若用复化梯形求积公式，n应取多少？若用复化抛物线求积公式计算，n又应取多少？解：由f(x)=ex，有f(x)=f(4)(x)=ex，故当x在
8、0，1内时有：而根据复化梯形求积公式的误差估计式有：I的真值具有一位整数，根据第一章误差与有效数字的关系，只要取：两边取对数并整理得：所以只要1/h=68即可，也即把区间0，1等分为68份就可：用复化抛物线求积公式计算，由式（5.16）有：两边取对数并整理得：所以只要1/h=3即可，也即把区间0，1 6等分就可：5.4 逐次分半法逐次分半法 1、问题所在：结合上节误差估计式以复化梯形公式为例区间n等分时截断误差：区间2n等分时截断误差：两式相减得：当f()在区间a,b上连续，并假定n充分大时f(n)近似等于 f(2n),则：由上式可以看出可用T2n-Tn描述误差，即由：来判断T2n是否以满足要
9、求。下面具体讨论2、梯形求积公式的逐次分半法：（1）取n=1，计算T1,如右图所示)2)(2)()(1bfafabT（2）把区间a,b分割为两等份，取n=2，计算T2,如右下图所示：)(2)(2)(2)(2)(2)(1111xfabTxfbfafabT21abx其中：（2）把区间a,b四等份，取n=4，计算T4,如右下图所示：)()(4)(2)()()(2)(2)(4)(3123211xfxfabTxfxfxfbfafabT23,2,43321abxabxabx其中：一般计算公式：而截断误差就用下式判断是否满足要求。3|2TTnn计算过程如下：P113算法5.1、输入a,b,、置n=1,h=(
10、b-a)/2,T0=h(f(a)+f(b)、置F=0,对i=1,2,n，求F=F+f(a+(2i-1)h)、T=T0/2+hF、|T-T0|n，h/2=h，T=T0，转3、抛物线求积公式的逐次分半法：用类似的方法求s1,s2,sn,s2n类似前面截断误差估计分析，利用复化抛物线公式的误差估计式，可得：)(15122SSSInnn抛物线公式的逐次分半法以15|2SSnn为停步准则计算过程如下：P113算法5.2、输入a,b,、置F=0,对i=1,2,n，求F3=F3+f(a+(2i-1)h)、置F1=f(a)+f(b),F2=f(a+b)/2),4,2),4(15210abhnFFabS、S=h
11、(F1+2F2+4F3)/3、|T-T0|n，h/2=h，F2+F3=F2，S=S0,转4、例3：P114用复化梯形公式、复化抛物线公式和n=6的牛顿-科茨公式计算积分：下表给出sinx在7个点的值，计算结果与精确值比较计算结果与真值比较：计算方法结果误差复化梯形公式0.99429-0.0057复化抛物线公式1.000030.00003牛顿-科茨公式(n=3)1.0000030.000003真值10若要具有5位有效数字，则：（1）、复化梯形公式：则要求h0.006（2）、复化抛物线公式：则要求h0.15（3）、逐次分半抛物线公式计算：5.5加速收敛技巧与加速收敛技巧与Romberg求积求积1、
12、加速收敛技巧Richadson外推法：真值F*，近似值F，考虑真值与h无关，而F是与h有关的函数，记为F1(h)，它的截断误差估计式记为：问题是能否通过上式构造一个新的序列，使它逼近更好，用qh代替q得：其中：都是与h无关的常数，令2、Romberg求积法：Romberg求积是在复化梯形求积公式的基础上，应用Richardson外推法构造的一种算法。复化梯形求积公式的误差可表示为：区间a,bn等分并用复化梯形公式求得近似值Tn，记为T0(h)，再把a,b 2n等分并计算得近似值T2n，记为：如此下去，可得到一个序列：下面具体用Richardson外推法计算过程：假设求得利用前面公式5.24，我
13、们对符号做一个规范：用Richardson外推法得到的外推m次的序列 我们记ThTkk)(00)2(为 外推m次的记为 Tkm)(于是有：14421121)0(0)1(02)0(02)1(0)0(1TTTTT14421121)1(0)2(02)1(02)2(0)1(1TTTTT由前面讨论知Tk)(1的阶为O(h4)，实际上它就是复化抛物线求积公式外推m次的计算公式是：14421121)(1)1(12)(12)1(1)(mkmkmmmkmmkmkmTTTTT对 Tkm)(来说，截断误差的阶是O(h2m+2)，计算过程如下：km=0 m=1 m=2 m=30123T0(0)T1(0)T2(0)T3
14、(0)T0(1)T1(1)T2(1)T0(2)T1(2)T0(3)误差O(h2)O(h4)O(h3)O(h8)另一个表：计算停止标准：|)0(1)0(TTmm3、算法5.3：、输入a,b,、置h=(b-a)/2,T0(0)=h(f(a)+f(b),k=1,n=1、置F=0,对i=1,2,n，求F=F+f(a+(2i-1)h)、T0(k)=T0(k-1)/2+hF、对m=1,2,k,计算、|Tm(0)-T(0)m-1|n，h/2=h，k+1=k，转144)(1)1(1)(mmkmmkmmmkmTTT4、例4：用Romberg方法计算积分dxxxI10sin的近似值，要求误差不超过0.510-6，
15、函数值如下：P119解：先用逐次分半法计算n=0,1时的值：9397933.0)5.0(21219207353.0)1()0(21)0(0)1(0)0(0fTTffT然后用Romberg外推法求一次外推值：9461459.034)0(0)1(0)0(1TTT再用逐次分半法计算n=2时的值：9445135.0)75.0()25.0(2121)1(0)2(0ffTT再用Romberg外推法求一次外推值：9460869.034)1(0)2(0)1(1TTT再用Romberg外推法求二次外推值：9460830.01516)0(1)1(1)0(2TTT 因为|T2(0)-T1(0)|=0.0000627
16、不满足精度要求，重复上面过程，先用逐次分半法求n=3时的值9456909.0)875.0()625.0()375.0()125.0(2121)2(0)3(0ffffTT再用Romberg外推法求后面一次、二次外推值：9460831.063649460831.015169460833.034)0(2)1(2)0(3)1(1)2(1)1(2)2(0)3(0)2(1TTTTTTTTT因为|T3(0)-T2(0)|=0.00000010.5*10-4,满足精度要求,所以9460831.0sin10dxxxI5.6高斯（高斯（Gauess）型求积公式）型求积公式1、问题提出：在节点数目固定的条件下，能否
17、适当地选择节点位置和相应的系数，求积公式：nkiibaxfAdxxf1)()(具有最大代数精确度 先分析一下上面公式可达的最大代数精确度 假设对所有m次多项式都是准确的，则有：得：上式成立的充分必要条件是：上面方程组有2n个未知数，最多可改出2n个独立条件，也即m最大为2n+1，也就是说n个点的求积公式最大精确度可达2n+1.下面就讨论如何选取这n个点，考虑n=2，不失一般性选区间为-1，1，否则可变换：现在的问题是如何选取x1,x2,A1,A2使由前面方程组可得只要解下面方程组即可：当n较大时，考虑用正叫多项式的特性来求节点，得：两边积分得：若积分对任意一次多项式恒有：因求积公式对任意一次多
18、项式都精确成立，所以有：要使式恒成立所以必须有：计算两个积分得：然后利用求积公式对f(x)=1，和f(x)=x准确成立得：再对一般情形讨论高斯型求积公式。考虑积分：问题是如何选取x1,x2,xn使求积公式当f(x)是不高于2n-1次的多项式时精确成立，同前面一样，用去除f(x)，并表示为：如果对任何不超过n-1次得多项式q(x)都有：因求积公式对任何一个不超过n-1次的多项式精确成立，所以此时有：所以只要选取节点满足条件即可而由上面条件，利用区间a,b上关于非负权函数的正交多项式系Pn(x)的性质：所以只要选取节点满足条件即可（1）、Pn的n个零点是实数，（2）、n个零点不相重，（3）、n个零点分布在（a,b）中，（4）总能构造出给定权函数的正交多项式系Pn(x)的n个零点就是高斯型求积公式的n个节点，然后按下面公式计算系数2、定理5.5：P125,高斯型求积公式的截断误差3、几种常用的高斯型求积公式：5.7 方法的评述方法的评述作业 P132 1.(1)5 6（上机）7（上机）方便性方便性模式模式所以此时有：)()2)()2()(2)()(2()(2)(22bfbaxaxbafbxaxafbxbaxabxP第五章第五章 数值积分数值积分5.1 求积公式求积公式 2、把a,b区间二等分，过a,b及等分点作抛物线得辛普森公式：
