1、成人高考专升本高数（一）模拟试题及答案解析一、选择题 （每小题2 分，共60 分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 1函数的最小正周期是（C）.A. ； B. ； C. ； D. . 2函数的反函数是（C）.A. ； B. ； C. ； D. . 3设则（D）A. ； B. ；C. D. 不存在.4是存在的（C）A. 充分条件但非必要条件； B.必要条件但非充分条件；C. 充分必要条件； D.既不是充分条件也不是必要条件.5若是无穷小，下面说法错误的是（C）A. 是无穷小 ； B. 是无穷小 ；
2、C. 是无穷小 ； D. 是无穷小 .6下列极限中，值为1的是（C）A. B. C. D. 7（A）A. B. C. D. 不存在解：；，所以8.设函数具有2012阶导数，且，则（C）A. B. C. D. 9设，则（D）A. B. C. D. 解： .10设，则（D）A. B. C. D. 解：因为，所以11曲线，在处的法线方程为（A）A B C D12 点是曲线的拐点，则有（B）A BC D13函数的极值点的个数是（C）A B C D14若在点的邻域内有定义，且除去点外恒有，则以下结论正确的是（D） A在点的邻域内单调增加 B在点的邻域内单调减少 C为函数的极大值 D 为函数的极小值 15
3、曲线与的交点个数为（D ）A B C D解：设 ，. 则 . 令 ，得驻点.因为当时，故在单调减少；而当时，故在单调增加.所以为最小值.又 ， ，故 .综合上述分析可画出的草图，易知交点个数为2.16设，则（A）A B C D17.（B）A B C. D 解： （令）18已知，则（C） A B C. D 19 设，则（C） A B C D无法比较 20已知，则（B） A B C D解：.21 ，则（B） A B C D 22设为一阶线性非齐次微分方程的的两个特解，若使为该方程的解；为该方程对应齐次方程的解，则通解为（A） A B C D解：因为为方程 的解，故有 及 由于为的解，所以将代入，得
4、 再将、代如立得 ，于是有 . 又因为齐次方程的解，同理可得 . 、 联立可解得 .23平面和直线的位置关系是（C） A 平行 B直线在平面内C垂直 D相交不垂直 24设函数的全微分为则点（D） A不是的连续点 B不是的极值点C 是的极大值点 D是的极小值点解：由.可得 .令可得唯一驻点.又，.则，且，所以是的极小值点.25.设区域，为上的正值连续函数，为常数，则（ D）A B C D解：对于题设条件中含有抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及“数值型”结果的选者题，用赋值法求解往往能收到奇效，其思想是：一般情况下正确，那么特殊情况下也必然正确.重积分或曲线积分中含抽象函数时，通常利用对称性、
5、轮换对称性等综合手段加以解决.本题中，取 ，立得 26二元函数，则 （A） A是极大值点 B是极小值点 C是驻点但非极值点 D不是驻点 27设为连续函数，二次积分写成另外一种次序的二次积分是（B）A B C D 28. 设， 在上连续，则（ ）； ； ； .解：选29下列级数条件收敛的是（B） A （是常数） B C D 30.已知的三个特解：，则该方程的通解为； ； ； .解：根据二阶常系数线性微分方程解的性质知，及均是对应的齐次方程的解，故齐次通解为；所以原非齐次方程的通解是选 二、填空题 （每空 2分，共 20分） 31极限 解：.32 解：.33 设，则 解：.； ；归纳可得 所以 3
6、4设是由 所确定的函数，则.解：关于求导并注意到，得 . 当时，由式求得.将，代入可算得.35.设.如果 ，且当时，则解：由式得 关于求导并注意到，得 即 故 ，即 分离变量，且两边积分得 或 又根据条件及时，得 36 解： （令） （令，即 ） .37设是由方程 所确定的隐函数，则.解法一：令 则 ； ；故 .所以 ，解法二：两边全微分，得 即 将代入得 即 所以 ，38设为从点到点再到点的折线，则.解： .39微分方程的通解为解：（一）对应的特征方程为： ，其特征根为 （二）通解为： 40幂级数 的收敛域为解：（一）记 ，则级数化为 . 记 ，所以，级数的收敛半径是 又当时，级数化为收敛；
7、又当时，级数化为也收敛.所以级数的收敛域是.（二）由 解得，故原级数的收敛域为（1）如果，即时，则收敛；（2）（1）如果，即时，则发散， 所以，（3）又在端点处发散.所以，收敛域为三、计算题 （每小题5 分，共45 分） 41已知 ，求.解:由式得 由式即可算得 42设函数由参数方程确定，其中是微分方程在初始条件下的特解，求.解：（一）微分方程为可分离变量型，可转化为 两边积分得 又将初始条件代入 ，得，因此 （二）（三） .43设函数，其中具有二阶连续偏导数，求解：（一）（二），所以44计算反常积分解：所以 45求曲线在点的切线.解：方程组两边关于求导，得： 将点代入（1），得：解之，有：所
8、以，切线向量为： 故曲线在点的切线为：46. 设函数在正半轴上有连续导数且若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有 求函数解：，都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有 故有 即 化简，得 （1）（1）为一阶线性微分方程，其通解为 （2）代入条件，得 故 47求幂级数的和函数.解：（一）记 ，则 ，故收敛半径为.收敛域为.（二）记 . 则 .又 .所以解法二：记 . 所以 .48计算二重积分是第一象限中由直线和曲线所围成封闭区域.解：因为二重积分的被积函数， 它适宜于“先对，后对”，故可用不等式表示为于是 49求方程 的积分曲线，使其在点处与直线相切.解：方程的特征方程
9、为，解之得 ，故方程的通解为 . 由题意知有 .将条件分别代入、 有 解得 所以 . 四、应用题 （每小题8 分，共 16 分） 50设三角形的边长分别为，其面积为，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值.解：任取三角形内一点，设其距三边的距离分别为，则有 问题转化成求在下的最大值.令，令，解之得： 故另解：上述等式成立当且仅当又，所以，当且仅当时，等式成立.51平面图形由抛物线与该曲线在点处的法线围成.试求：（1）的面积；（2）绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解：（1）方程两边关于求导得 将代入式得。因此曲线在点处的法线斜率为 。从而曲线在该点处法线方程为 ，即 。 求解方程组 得 或所以抛物线与其在曲线在该点处点处的法线的交点为 和 因此的面积为 。 （二） 绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积为.五、证明题 （9 分） 52证明：方程在内有且仅有两个根.证明：（一）令，则 ； ；故由零点定理知，方程在内至少有两个不相等的实根.（二）又令，得唯一驻点当时，；而当时，故方程在内至多有两个实根综合（一）、（二）知方程在内有且仅有两个根.
