1、2021年山东省新高考高考数学二模试卷（一）1. 已知集合，若，则A. B. C. D. 2. 已知复数的实部与虚部的和为7，则a的值为A. 1B. 0C. 2D. 3. 某自来水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需A. 4小时B. 7小时C. 6小时D. 14小时4. 是成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知函数，且，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 6. 已知数列中，若，则A. 8B
2、. 9C. 10D. 117. 已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 8. 若，均为单位向量，且，则的最大值为A. B. 1C. D. 29. 已知正方体的棱长为4，M为的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是A. 若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆B. 若，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为C. 若点N到直线与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D. 若与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线10. 将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是A. 4位女同学分到同一组
3、的概率为B. 男生甲和女生乙分到甲组的概率为C. 有且只有3位女同学分到同一组的概率为D. 4位男同学不同时分到甲组的概率为11. 意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数的图象分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则下列结论正确的为A. B.
4、是偶函数C. D. 若是以A为直角顶点的直角三角形，则实数12. 关于函数，下列判断正确的是A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数k，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若，则13. 的展开式中的系数是_ .14. 如图，在平面四边形ABCD中，则CD的最小值为_ .15. 已知函数，则关于x的方程的实根的个数是_.16. 已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为；直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，则的最大值为.17. 已知为等差数列的前n项和，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和18. 在；的面积这三个条件中任选两个，补充在下面问题
5、中，然后解答补充完整的题目.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且_，_，求19. 已知四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，为等边三角形，且平面平面求证：；是否存在一点F，满足，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为若存在，求出的值，否则请说明理由.20. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：逐份检验，需要检验n次；混合检验，将其且份血液样木分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此
6、时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为记为随机变量的数学期望.若，运用概率统计的知识，求出p关于k的函数关系式，并写出定义域；若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，21. 已知椭圆C：的离心率，且经过点，点
7、，为椭圆C的左、右焦点.求椭圆C的方程；过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点若，且点Q满足，求面积的最小值.22. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若函数有两个极值点，求证：答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. A5. C6. C7. B8. B9. ACD10. AB11. ACD12. BD13. 14. 15. 516. 或17. 解：设等差数列的公差为d，且，18. 解：选条件：，由正弦定理知，由正弦定理得，选条件：，由正弦定理得，即，即，又，由正弦定理得，选条件：，由正弦定理知，由余弦定理得，即，由解得，或19. 证明：取AD的中点G
8、，连结EG，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，在等腰梯形ABCD中，因为，所以，所以，即，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，所以，则，因为，所以，因为，AD，平面ADE，所以平面ADE，又平面ADE，所以；解：存在点F满足条件，则由可知，平面ABCD，且，取AB的中点H，连结HG，则，所以，不妨以G为坐标原点，以GA，GH，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设，则，因为，所以，所以，不妨设平面ADF的法向量为，则，整理可得，取，则，设平面BCE的法向量为，则，整理可得，取，则，所以平
9、面ADF于平面BCE所成的锐二面角的余弦值为，整理可得，解得或，因为，所以，故存在点F，满足且20. 解：记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则；根据题意，可知，的可能值为1，则，所以，由，得，所以且；由于，则，所以，即，设，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，又，所以k的最大值为21. 解：由题意，得，解得，所以椭圆的方程为由可得，若直线的斜率为0，则的方程为与直线无交点，不满足条件；设直线：，若，则则不满足，所以，设，由，得，所以，因为，即，则，所以，解得，于是，直线的方程为，联立，解得，所以所以，当且仅当时，22. 解：当时，则，所以，又，所以切线方程为，即证明
10、：由题意得，则，因为函数有两个极值点，所以有两个不相等的实数根，令，则，当时，恒成立，则函数为R上的增函数，故在R上至多有一个零点，不符合题意；当时，令，得，当时，故函数在上单调递减；当时，故函数在上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，所以，得，不妨设，则，又，所以，令，则，所以函数在R上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在上单调递减，所以，即，又，所以，因此【解析】1. 解：集合，故选：求出集合A，B，由，得到，由此能求出本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题2. 解：，所以复数z的实部与虚部
11、分别为，则，得故选：先利用复数的乘法运算求助复数z的代数形式，然后由复数的定义得到实部和虚部，列出等式求解即可本题考查了复数的定义，考查了复数的运算法则的运用，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题3. 解：，小时故选：因为甲水管注水快，所以甲水管要一直开满10小时，这样，在10小时里面甲能注满水池的剩下的由乙水管注入乙水管开的时间，就是他们共同注水的时间本题也可这样理解：合放时间+单放时间小时，因为甲效大于乙效，故后面由甲来单放能使合放时间更小4. 解：当时，成立，即充分性成立，当，满足成立但不成立，即必要性不成立故是成立充分不必要条件，故选：A根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条
12、件的定义即可得到结论本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键5. 解：，关于对称，和都在上是减函数，在上是增函数，在上为减函数，在上为增函数，又，即或，解得或，的取值范围为故选：根据的解析式可得出，从而得出的图象关于对称，并可得出在上是减函数，在上是增函数这样即可由得出，从而解出a的范围即可本题考查了指数函数和二次函数的单调性，当时，可得出的图象关于对称，考查了计算能力，属于中档题6. 解：，数列是首项、公差均为1的等差数列，由可得：，解得，故选：先由题设推导出：，即可说明数列是首项、公差均为1的等差数列，进而求得其通项公式及，再由求得m的值本题主要考查等差数列的
13、定义及基本量的计算，属于基础题7. 解：，当时，解得；当时，解得，综上所述：，故选：先求出，然后根据正弦函数的单调性求解即可本题考查了正弦函数的单调性，属中档题8. 解：，均为单位向量，且，则，而，故的最大值为1，故选由，均为单位向量，且，求得，再由，从而求得的最大值本题主要考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力，属于中档题9. 解：对于A，因为MN与平面ABCD所成的角为，即，所以，所以点N的轨迹是D为圆心，2为半径的圆，故选项A正确；对于B，若，因为，所以，所以点P到DM的中点Q的距离为，又因为点P到平面A
14、BCD的距离等于为定值，所以点P的轨迹是以Q为圆心，为半径的圆，其面积为，故选项B错误；对于C，因为平面ABCD，所以点N到直线的距离为NB，即点N到点B的距离与到直线DC的距离相等，又B不在直线DC上，所以点N的轨迹为以B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故选项C正确；对于D，以D为坐标原点，DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，设，则，因为与AB所成的角为，所以，化简可得，所以点N的轨迹为双曲线，故选项D正确故选：利用线面角的定义得到，从而得到，由圆的定义即可判断选项A，利用勾股定理求出ND，从而得到点P到平面ABCD的距离等于为定值，由圆的定义以及其面积公式即可判断
15、选项B，由题意得到点N到点B的距离与到直线DC的距离相等，结合抛物线的定义即可判断选项C，建立空间直角坐标系，利用向量法表示与AB所成的角为，得到点N的轨迹方程，从而判断选项本题以命题的真假的判断为载体，考查了立体几何知识的理解和应用，涉及了空间向量法的应用，动点轨迹的求解，综合性强，涉及知识点多，对学生逻辑思维能力有较高的要求，属于中档题10. 解：8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为，A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为，故A正确；B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为，其概率为，故B正确；C选项，有且只有3位女同学分到同一组不同分法为种，则有且只有3
16、位女同学分到同一组的概率为，故C错误；D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为，则4位男同学不同时分到甲组的概率为，故D错误，故选：利用古典概型、排列组合直接求解本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题11. 解：因为，即，故A正确；，定义域为R，则为奇函数，故B错误；，故C正确；由，可得的方程为，的方程为，由解得，又，由是以A为直角顶点的直角三角形，可得即有，即，解得故D正确故选：由双曲余弦函数、双曲正弦函数的定义，计算可判断A；由函数的奇偶性的定义，计算可判断B；由导数的运算可判断C；由导数的几何意义求得切线方程，结合勾股定理，
17、可判断本题考查新定义函数的奇偶性和导数的几何意义，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题12. 解：函数的的定义域为，函数的导数，上，函数单调递减，上，函数单调递增，是的极小值点，即A错误；B.，函数在上单调递减，且，函数有且只有1个零点，即B正确；C.若，可得令，则，令，则，在上，函数单调递增，上函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得恒成立，即C不正确；D.令，则，令，则，在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，对任意两个正实数，且，若，则，故D正确故选：A.求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；B.求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调
18、性和零点个数进行判断即可；C.利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；D.令，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，属难题13. 解：表示6个因式的乘积，故其中有一个因式取x，其中2个因式取y，其余的因式都取，即可得到展开式中的项，故该项的系数为，故答案为：由题意利用乘方的意义，组合数公式，得出结论本题主要考查乘方的意义，组合数公式的应用，属于中档题14. 解：设，在中，由正弦定理得，即整理得由余弦定理得，因为，所以在中，由余弦定理得其中
19、，所以当时，故答案为：设，在中，由正弦定理和余弦定理可得AB与的关系，在中，由余弦定理得CD的解析式，由角的范围求出CD的最小值本题考查解三角形的知识，考查运算求解能力，属于中档题15. 解：方程等价于或函数，时，时，或，或，时，综上知方程的实根的个数是故答案为：方程等价于或，再利用函数分类讨论，即可得到方程的实根个数本题考查根的个数的判断，考查分段函数，考查分类讨论的数学思想，正确等价转化是关键16. 解：圆：的圆心，半径为1，：的圆心，半径为9，设动圆C的半径为r，当圆C与圆外切时，可得，当圆C与圆内切时，可得，可得，而，可得C的轨迹为，为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，
20、可得方程为；当圆C与圆内切时，可得，当圆C与圆内切时，可得，可得，而，可得C的轨迹为，为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为，可得方程为；由直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，可知直线l与椭圆相切，当Q为椭圆的短轴的端点时，可设，可得直线l：，代入椭圆，解得，此时，由图象观察可得此时取得最大值故答案为：或，分别求得圆、圆的圆心和半径，讨论圆C与圆外切，圆C与圆内切，以及圆C与圆内切时，圆C与圆内切，运用两圆相切的条件和椭圆的定义和方程，可得所求轨迹方程；再由题意可得直线l与椭圆相切，通过图象观察计算可得所求最大值本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线和椭圆的位
21、置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题17. 利用等差数列的性质进行答题；利用裂项相消法求和本题考查了等差数列的性质，以及裂项相消法求和，属于中档题18. 选条件：易知，利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式，推出，结合和诱导公式，可知的值，然后由二倍角公式知的值，最后利用正弦定理，得解；选条件：由，可得，结合和正弦定理，推出，再根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系，求得的值，然后由正弦定理，得解；选条件：易知，利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式，推出，由，可得，由余弦定理可得，然后解方程组，即可本题考查解三角形，涉及边化角的思想，熟练
22、掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19. 取AD的中点G，连结EG，利用面面垂直的性质定理证明平面ABCD，从而可得，再利用角之间的关系，得到，结合余弦定理求出BD，由勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；取AB的中点H，连结HG，建立合适的空间直角坐标系，设，求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面ADF和平面BCE的法向量，然后利用向量的夹角公式列出关于的等式，求解即可本题考查了立体几何的综合应用，主要考查了线面垂直于面面垂直的判定定理和性质定理的应用，同时考查了空间角的应用，对于空间角问题，经常会建立空间直角
23、坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题20. 利用排列组合以及古典概型的概率公式求解即可；确定的可能值为1，分别求出其对应的概率，求出，利用，即可求出p关于k的函数关系式，写出定义域即可；求出时的值，由题意列出不等关系，构造函数，利用导数研究其性质，即可得到答案本题考查了概率问题的求解以及离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，涉及了利用导数研究函数性质，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题21. 由离心率，且经过点，列方程组，解得a，b，即可得出答案；分直线的斜率为0和直线的斜率不为0，两种情况讨论的最值即可本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题22. 代入a的值，求出函数的导数，计算，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性求出的最小值，结合函数的单调性证明即可本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题
