1、最新初中数学二次函数知识点训练及答案一、选择题1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：a+b+c0；ab+c1；abc0；9a3b+c0；ca1其中所有正确结论的序号是()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出的符号，再由抛物线与轴的交点可得出的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当、时的情况进一步综合判断即可【详解】由图象可知，a0，c=1，对称轴：x=，b=2a，由图可知：当x=1时，y0，a+b+c0，正确；由图可知：当x=1时，y1，ab+c1，正确；abc=2a20，正确；由图可知：当x=3时，y0，9a3b+c0，正确；ca=1a1，正
2、确；正确故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键2二次函数yx2+bx的对称轴为直线x2，若关于x的一元二次方程x2+bxt0（t为实数）在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（）A0t5B4t5C4t0Dt4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4时4y5，进而求解；【详解】解：对称轴为直线x2，b4，yx24x，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4，二次函数y的取值为4y5，4t5；故选：
3、B【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键3已知抛物线与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：抛物线一定过原点；方程的解为或4；当时，；当时，随增大而增大其中结论正确的个数有（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题可知，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为，故可得，故可得因为，故正确；因为二次函数过点，故正确；当时，函数值为，故正确；由图可知，当时，故正确；由图可知，当时，随增大而减小，故错误；
4、故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.4如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：abc0；ab+c0；b24a（cm）；一元二次方程ax2+bx+cm+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解【详解】函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴a0,c0抛物
5、线的对称轴为直线x=1b0abc0；正确；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当x=-1时，y0，即a-b+c0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对进行判断【详解】抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当
6、x=-1时，y0，即a-b+c0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，3a+b=3a-2a=a，所以错误；抛物线的顶点坐标为（1，n），=n，b2=4ac-4an=4a（c-n），所以正确；抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n-1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以正确故选C【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.8已知抛物线，其顶点为，与轴交于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，点的对应点分别为，若四边形为矩形，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，
7、B(0，c)，结合矩形的性质，列出关于c的方程，即可求解【详解】抛物线，其顶点为，与轴交于点，A(2，c-4)，B(0，c)，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，点的对应点分别为，四边形为矩形，解得：故选D【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键9将抛物线yx24x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A5B6C7D8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积
8、就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线yx24x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=23=6；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键10二次函数为常数，且)中的与的部分对应值如表：下列结论错误的是()AB是关于的方程的一个根；C当时，的值随值的增大而减小；D当时，【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选
9、项做出判断【详解】解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：当时，即，当时，即，当时，即，联立以上方程：，解得：，；A、，故本选项正确；B、方程可化为，将代入得：，是关于的方程的一个根,故本选项正确；C、化为顶点式得：，则抛物线的开口向下，当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故本选项错误；D、不等式可化为，令，由二次函数的图象可得：当时，故本选项正确；故选：C【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键11如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点
10、从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，点同时停止运动设点运动的时间为t秒，的面积为，则表示与之间的函数关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,点P在AB上运动，点Q在BC上运动；点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式，即可判断得出答案【详解】解：当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，函数图象为抛物线；当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，底边AP上的高保持不变，函数图象为一次函数；故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出与之间的函数关系是解此题的关键12抛物线y1=ax2+bx
11、+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：abc0；a+b+c0；5a-c=0；当x或x6时，y1y2，其中正确的个数有（） A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a0，b0，c0，则abc0，则正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则错误；根据函数对称轴可得：-=3，则b=-6a，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a大于零
12、，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.13如图，坐标平面上，二次函数yx2+4xk的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k0若ABC与ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )A1BCD【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的
13、坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可【详解】解：yx2+4xk(x2)2+4k，顶点D(2，4k)，C(0，k)，OCk，ABC的面积ABOCABk，ABD的面积AB(4k)，ABC与ABD的面积比为1：4，k(4k)，解得：k故选：D【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键14四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】B【解析】【分析】利用假设法逐一分析，分别求出
14、二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论【详解】解：A假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得解得：二次函数的解析式为：当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=70此时符合假设条件，故本选项符合题意；C 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得解得：当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲
15、、丙的结论可得二次函数解析式为当x=-1时，解得y=70，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意故选B【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键15如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）ABC3D4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，
16、BFDECMOD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2由勾股定理得：DE=设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE，即，解得：BF+CM=故选A16二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解【详解】由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2抛物线的对称轴是：x=-=；a、b异号，且b=-a；当x=0时y=c=-2
17、cabc0，故正确；根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t和3是关于的方程的两个根；故正确；b=-a，c=-2二次函数解析式：当时，与其对应的函数值，a；当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，m=n=2a-2，m+n=4a-4；故错误故选：C【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键17在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数
18、的图像性质，逐一进行判断【详解】解：A.由一次函数图像可知a0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴应在y轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a0，而由二次函数图像开口方向可知a0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴在y轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a0，而由二次函数图像开口方向可知a0，故此选项错误；故选：C【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型18在平面直角坐标系中，点的坐标为，将抛物线沿坐标轴平移一次，使其经过点，则平移的最短距离为（ ）AB1C5D【答案】B
19、【解析】【分析】先求出平移后P点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项【详解】解：=，当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=，平移的最短距离为，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键19平移抛物线y（x1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A向左平移1个单位B向上平移3个单位C向右平移3个单位D向下平移3个单位【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转
20、化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y（x1）（x+3）=-（x+1）2+4A、向左平移1个单位后的解析式为：y-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图
21、像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.20在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案【详解】解：由方程组得ax2a，a0x21，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除BA：二次函数开口向上，说明a0，对称轴在y轴右侧，则b0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a0，对称轴在y轴右侧，则b0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错故选C【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上
