1、新课标高中数学必修2 知识点总结经典第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱ABCDEABCD E几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱
2、锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥PABC D E几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台 ABCDABCD几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5、圆锥定义：以
3、直角三角形的一条直角边为旋转轴 , 旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴1.2 空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照
4、射下形成的投影叫做平行投影。2、三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（ 1） . 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（ 2） . 平行于 y 轴的线长度变半，平行于（ 3） . 画法要写好。x ， z 轴的线长度不变；用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（ 2）特殊几何体表面积公式（ c 为底面周长， h 为高， h 为斜高， l 为母线）S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rhS正棱
5、锥侧面积1 chS圆锥侧面积rl12S正棱台侧面积(c1c2 )h S圆台侧面积(rR) l2r 2rl Rl R2S圆柱表 2r rlS圆锥表r rlS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱Shr2h锥1V圆锥1r 2 hVSh31 (S31V台1 (SSS S)hV圆台S S S)h( r 2rR R2 )h33343（4）球体的表面积和体积公式：V球 =3R；S球面=4R2第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证1 、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内lABAl , BllA, B公理 1 的作用：判断直线是否在平面内2、公理 2：过不在一条
6、直线上的三点，有且只有一个平面。若 A，B，C 不共线，则A， B， C 确定平面CAB推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面Al若 Al ，则点 A 和 l 确定平面推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面Al若 mn A ，则 m, n 确定平面m推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面m若 mn ，则 m, n 确定平面n公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。PLP, Pl 且Pl公理 3 作用：（ 1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。4、公理
7、 4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行. ab, c ba c5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。aa a , b b 且1与2 方向相同1 21bba1a a aa , bb 且1与2方向相反1218022b b 方向相同则方向相反则1 21+2180作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系：平行、相交、异面。a b,a b A,a, b异面（1）没有任何公共点的两条直线平行a（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交Abaaa(1)(
8、2)Aaaa (3)A8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）aba /a / b证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；aaabb平行线的传递性： a b,c b a c 面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；a a b
9、ba垂直于同一平面的两直线平行；abb直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）10、面面平行：（即两平面无任何公共点）（ 1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a ,ba b A a , b（ 2）两平面平行的性质：性质：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；a a bb性质：平行于同一平面的两平面平行；性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；A,CACBDB, DABCD性质：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；a或aaa11、线面垂直：定义：如果
10、一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。l m l nlmnAm, n性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。aabbl性质：垂直于同一直线的两平面平行l12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。l判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。l（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。mll证明两直线垂直和主要方法：l m利用勾股定理证明两相交直线垂
11、直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）P如图：POOA是PA在平面上的射影又直 线 a, 且aa PA斜OAAa即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。影 O线空间角及空间距离的计算1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，如图：直线a与 b异面， b/b，直线 a与直线 b 的夹角为两异面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90a b2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的
12、角。如图：PA 是平面的一条斜线， A 为斜足， O为垂足， OA叫斜线 PA 在平面上射影，PAO 为线面角。3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的如图：在二面角- l -中， O棱上一点， OA，OB，且OA l ,OBl ,则为二面角- l - 的平面角。AOB用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、
13、“三计算”）5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图： O为 P 在平面上的射影，线段 OP的长度为点P 到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC中有： VS ABCVA SBC VB SAC VC SAB第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
14、率。直线的斜率常用k 表示。即 k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当0 ,90 时， k0 ；当90 ,180 时， k0 ；当90时， k 不存在。ky2y1 (x1 x2 )过两点的直线的斜率公式：x2x1注意： (1) 当 x1x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k 与 P1、P2 的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2 直线的方程点斜式： yy1k (xx1 ) 直线斜率 k ，且过点 x1, y1注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是 y=
15、y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式： ykxb ，直线斜率为 k ，直线在 y 轴上的截距为 byy1xx1两点式： y2y1x2x1 （ x1 x2 , y1y2 ）直线两点x1, y1 ， x2 , y2xy 1截矩式： ab其中直线 l 与 x 轴交于点(a,0) , 与 y 轴交于点 (0, b) , 即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。一般式： Ax ByC0 （A，B不全为 0）注意：1 各式的适用范围2特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： yb （b 为常数）；
16、平行于 y 轴的直线： xa （a 为常数）；（ 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A0 xB0 yC00（ A0 ,B0 是不全为0 的常数）的直线系：A0 x B0 y C0 （C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k 的直线系： y y0kx x0，直线过定点x0 , y0；（）过两条直线 l1 : A1xB1 yC10 ， l2: A2 x B2 yC 20 的交点的直线系方程为A1x B1 yC1A2 xB2 yC20 （ 为参数），其中直线l 2 不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 l1 : yk1x b1 ， l 2 : y k 2 xb
17、2 时，l1 / l2k1 k2 ,b1b2 ； l 1l 2k1 k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。3.3 直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点l1 : A1x B1 y C10 l 2 : A2 x B2 y C 20 相交A1 xB1 y C10交点坐标即方程组A2 xB2 yC20的一组解。方程组无解l1/ l 2 ；方程组有无数解l1 与 l 2 重合2、两点间距离公式：设A( x1 , y1)，（B x2, y2）是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|( x2x1 )2( y2y1 ) 2Ax0By0 CP x0 , y0 到直线 l1: Ax
18、 Byd3、点到直线距离公式：一点C 0的距离A 2B 24、两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。第四章圆与方程4.1 圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程xa 2yb 2r 2，圆心 a,b ，半径为 r ；（2）一般方程 x 2y2DxEyF0当 D 2E 2DE1224 F0 时，方程表示圆，此时圆心为2,2 ，半径为 r2DE4 F当 D 2E 24F0 时，表示一个点；当 D 2E 24F0 时，方程不表示任何图形。（ 3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设
19、后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b，r ；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。4.2 直线、圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：AaBbC（1）设直线 l : Ax ByC0222C a, b 到 l 的距离为d22，圆 C : x ay br ，圆心AB，则有d rl与 C相离 ； drl与 C相切 ； d rl 与 C相交（2）设直线 l : AxByC0 ，圆 C : x a 2yb 2r 2，先将方程联立消元，得到一个一元二
20、次方程之后，令其中的判别式为，则有0l与 C 相交0l与 C相离 ；0l与 C相切 ；注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r 2去解直线与圆相切的问题，其中x0 , y0表示切点坐标， r 表示半径。(3) 过圆上一点的切线方程：xx 0yy0 r 2圆 x2+y2=r2 ，圆上一点为 (x0 ， y0) ，则过此点的切线方程为圆 (x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0) ，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r22、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 C1 : x a12y b1
21、222R 2r 2 ， C 2 : x a2y b2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 d R r 时两圆外离，此时有公切线四条；当 d R r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 Rrd R r 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 dRr 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 dRr 时，两圆内含；当 d 0 时，为同心圆。4.3 空间直角坐标系D , A, B,C,（1）定义：如图， OBCD是单位正方体 . 以 A 为原点，分别以 OD,OA,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴 .y 轴
22、 .z 轴 。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1） O叫做坐标原点2） x 轴， y 轴， z 轴叫做坐标轴 .3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组( x, y, z) 来表示，有序实数组( x, y, z) 叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M ( x, y, z) （x 叫做点 M的横坐标， y 叫做点 M的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：d( x 2 x1 ) 2( y2 y1 )2( z2 z1 ) 2
