1、江苏省连云港市2013-2014学年第二学期期末考试高二理科数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1（5分）曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是_2（5分）已知下列=（1，x，3），=（2，4，y），且，那么x+y的值为_3（5分）复数z=（i为虚数单位）是实数，则实数a=_4（5分）（2013昌平区二模）二项式的展开式中x3的系数为_5（5分）若离散型随机变量XB（6，p），且E（X）=2，则p=_6（5分）矩阵的特征值为_7（5分）如图，在某个城市中，M，N两地之间有南北街道5条、东西街道4条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从M走到N，则不同的走法共有_种8（5分
2、）设凸n边形（n4）的对角线条数为f（n），则f（n+1）f（n）=_9（5分）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin（+）=2，则极点O到直线l的距离为_10（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_11（5分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的三个数中任意两数之差都不在这张卡片上，现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则第一张卡片上的另一个数字是_12（5分）如图所示，已知点P是正方体ABCDA1B1
3、C1D1的棱A1D1上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为，则cos的最小值是_13（5分）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”，那么从2000年到2999年中“七巧年”共有_个14（5分）班级53名同学报名参加科技、文化、生活三个学习社团，规定每人必须参加一个社团，且最多参加两个社团，在所有可能的报名方案中，设参加社团完全相同的人数的最大值为n，则n的最小值为_二、解答题（本大题共6小题，计90分）15（14分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，若圆C
4、的极坐标方程为=2cos，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与圆C交于A，B两点（1）求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）求AB的长16（14分）如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA1B1C1（1）求矩阵T；（2）设双曲线F：x2y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程17（14分）某同学参加高二学业水平测试的4门必修科目考试已知该同学每门学科考试成绩达到“A”等级的概率均为，且每门考试成绩的结果互不影响（1）求该同学至少得到两个“A”的概率；（2）已知在高考成绩计分时，每有一科达到“A”，则高考成绩加1分，如果4门学科均达到“A”，则高考
5、成绩额外再加1分现用随机变量Y表示该同学学业水平测试的总加分，求Y的概率分别列和数学期望18（16分）观察下列各不等式：1+，1+，1+，1+，（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n（n2）有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到是结论19（16分）如图，已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为，P为棱SC的中点（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；（2）求两面角BSCD大小的余弦值；（3）在正方形ABCD内是否有一点Q，使得PQ平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由20（16分）在（1+x+x2）n=D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n的展开式中，把D
6、，D，D，D叫做三项式系数（1）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；（2）类比二项式系数性质C=C+C（1mn，mN，nN），给出一个关于三项式系数D（1m2n1，mN，nN）的相似性质，并予以证明；（3）求DCDC+DCDC+DC的值 参考答案1、（2，0）2、-43、-34、805、6、3或-17、358、n-19、210、11、812、13、2114、915、解：（1）由=2cos，得2=2cos，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x，即（x1）2+y2=1（5分）直线l的普通方程为2xy2=0（10分）（2）因为直线l过圆心C（2，2），所以AB=2（14分）16、解
7、：（1）设T=，由=，解得 （3分）由=，解得所以T= （7分）（2）设曲线F上任意一点P（x，y）在矩阵T对应的变换作用下变为P（x，y），则=，即，所以（9分）因为x2y2=1，所以（2xy）2（2yx）2=9，即x2y2=3，（12分）故曲线F的方程为x2y2=3（14分）17、解：（1）设4门考试成绩得到“A”的次数为X，依题意，随机变量XB（4，），则P（X2）=1P（X=0）P（X=1）=1=，故该同学至少得到两个“A”的概率为（6分）（2）随机变量Y的可能值为0，1，2，3，5，（7分）P（Y=0）=0=，P（Y=1）=，P（Y=2）=，P（Y=3）=，P（Y=5）=随机变量Y的
8、概率分布如下表所示Y01235P（12分）从而E（Y）=0+1+2+3+5=（14分）18、解：（1）观察1+，1+，1+，1+，各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为1+且n2（6分）（2）以下用数学归纳法证明这个不等式当n=2时，由题设可知，不等式显然成立假设当n=k时，不等式成立，即 1+ （8分）那么，当n=k+1时，有 1+=所以当n=k+1时，不等式也成立（14分）根据和，可知不等式对任何nN+且n2都成立（16分）19、解：（1）设正方形ABCD的中心为O，如图建立空间直角坐标系，则A（1，1，0），B（1，1，0），C（1，1，0），D（1，1，0），S（0，0，），P是S
9、C的中点，P（，）（2分），设平面SBC的法向量=（x1，y1，z1），则，即，取=（0，1），cos=，（4分）故直线AP与平面SBC所成角的正弦值为（6分）（2）设平面SDC的法向量=（x2，y2，z2），则，即，取=（，0，1），cos，=，（9分）又二面角BSCD为钝角二面角，故二面角BSCD大小的余弦值为（11分）（3）设Q（x，y，0），则，（12分）若PQ平面SDC，则，解得，（15分）但1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q（16分）20、解：（1）因为（1+x+x2）2=x4+2x3+3x2+2x+1，所以（2）类比二项式系数性质（1mn，mN，nN），三项式系
10、数有如下性质：，（1m2n1）因为（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（1+x+x2）n，所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n）上式左边xm+1的系数为，而上式右边xm+1的系数为，由（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（1+x+x2）n为恒等式，得：，（1m2n1）；（3）（1+x+x2）2014=Dx0Dx1+Dx2Dx3+Dx2014，（x1）2014=Cx2014Cx2013+Cx2012+C（1+x+x2）2014（x1）2014中x2014系数为DCDC+DCDC+DC，又（1+x+x2）2014（x1）2014=（x31）2014而二项式（x31）2014 的通项，因为2014不是3的倍数，所以（x31）2014 的展开式中没有x2014项，由代数式恒成立，得DCDC+DCDC+DC=0
