1、顺德区乐从中学顺德区乐从中学 何健文何健文20152015届高三文科数学第一轮复习届高三文科数学第一轮复习一、等体积法（换底法）一、等体积法（换底法）等体积法是针对当所给几何体的体积不能直等体积法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量接套用公式或涉及的某一量(底面积或高底面积或高)不易不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积。的体积。【例 1】在边长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P 分别是棱 A1B1、A1D1、A1A 上的点
2、，且满足 A1M=12A1B1，A1N=2ND1，A1P=34A1A，如图，试求三棱锥 A1MNP 的体积分析：分析：对于三棱锥，四个面都可以作对于三棱锥，四个面都可以作为底面，选取三个点所在的面为底面，选取三个点所在的面作为底面，剩余的一个点作为作为底面，剩余的一个点作为顶点。至于如何选取，关键在顶点。至于如何选取，关键在于选取的底面积和高易求出。于选取的底面积和高易求出。分析:若用公式 V=13Sh 直接计算三棱锥 A1MNP 的体积，则需要求出MNP 的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥 A1MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥 PA1MN 的体积，显然就容易解答
3、了解析:MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMA变式变式1、如图如图,正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1,E,F分别为线段分别为线段AA1,B1C上的点上的点,求三棱锥求三棱锥D1-EDF的体积的体积.611213131111hSVVDEDDEDFEDFDHOACEBFD变式变式2、在棱长为在棱长为2的斜三棱柱的斜三棱柱ABC-DEF中，已知中，已知BFAE，BFCEO，AB=AE,连结连结AO.()求证：求证：AO平面平面FEBC；()求三棱锥求三棱锥B-DEF的体积的体积.B DEFD BEFA BEFVVVABCDFE
4、变式变式3、如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD与直角梯形与直角梯形ADEF所在平面互相垂直所在平面互相垂直,ADE=900,AF/DE，DE=DA=2AF=2.求求四面体四面体BDEF的体积的体积.43ABSDEF31BDEFB EFDVVABCD1A1B1C1DE变式变式4、如图，在边长为如图，在边长为a的正方体的正方体 中，点中，点E为为AB上的任意一点，求三棱锥上的任意一点，求三棱锥 的的体积。体积。1111DCBAABCD11DEBA DASEBA 1131aa 22131361a解法分析：解法分析：V =11DEBA 11EBAD VABCDE1A1B1C1D图图511?DAB
5、EB EADVV 对于给出的一个不规则的几何体，不能对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过直接套用公式，常常需要通过“割割”或或“补补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。突破口。二二、割补法、割补法BCAB如何求三棱锥的体积？如何求三棱锥的体积？V三棱锥=-V三棱柱1 3 ABCABCABCACACB 答：答：由于由于 和和 的面积相等，且三棱锥的面积相等，且三棱锥 和三棱锥和三棱锥 具有相等的高，所以具有相等的高，所以BAA,BAB,BAAC,B
6、ABC,BABCBAACVV,又由于又由于 和和 的面积相等，且三棱锥的面积相等，且三棱锥 和三棱锥和三棱锥 具有相等的高，所以具有相等的高，所以CBBCCBCBBACCBA CCBACBBAVV【例例2】如右图，在多面体如右图，在多面体ABCDEF中，已知中，已知ABCD是边长为是边长为1的正方形，且的正方形，且 ADE、BCF均为正三角均为正三角形，形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为.思考：E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD DG GH H(分割法分割法2)P PE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法3）Q QE
7、EG GF FP PA AB BC CD DH H（补形法）（补形法）E EF FA AB BC CD D(分割法分割法1)E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法1 1）多面体分割成一个三棱锥和一个多面体分割成一个三棱锥和一个四棱锥，但是，三棱锥四棱锥，但是，三棱锥E-ADFE-ADF的的体积不易求得，所以，不考虑这体积不易求得，所以，不考虑这种方法。种方法。注：注：将几何体分割时，尽量分割成体积容易求得的小几何体。.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS,23HCBHG
8、DAG由题意得21分别过分别过A A、B B作作EFEF的垂线，垂的垂线，垂足分别为足分别为G G、H H，连结，连结DGDG、CHCH，容，容易求得易求得EGEG=HFHF=.=.(分割法分割法2)2)E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD DG GH HE EF FA AB BC CD DP PE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法3 3）：）：取取EFEF的中点的中点P P，则多面体，则多面体ABCDEFABCDEF分割成正四面体分割成正四面体ADEPADEP，PBCFPBCF和正四棱锥和正四棱锥P-ABCDP-ABCD32622122.622
9、2131122ABCDEFABCDPPBCFADEPVVVVQ QE EG GF FP PA AB BC CD DH HE EF FA AB BC CD D（补形法）：（补形法）：如图，过如图，过E E分别作分别作BABA、CDCD的延的延长线的垂线长线的垂线EGEG、EHEH，过，过F F分别作分别作ABAB、DCDC的延长线的垂线的延长线的垂线FPFP、FQFQ，连接，连接GHGH、PQPQ，则多面体，则多面体EFH-FPQEFH-FPQ为直三为直三棱柱棱柱AG=DH=BP=CQ=AG=DH=BP=CQ=，2123EG=EH=FP=FQ=E到平面AGHD的距离为22322122222222
10、1211222212131ABCDEFFPQEGHBCQPFAGHDEVVVVABCDEF1.1.多面体常常切割成柱体和锥体，特别是多面体常常切割成柱体和锥体，特别是三棱锥三棱锥,比如比如2.2.将大几将大几何体分割时，尽量分割成底面积何体分割时，尽量分割成底面积或高容易求得的小几何体。或高容易求得的小几何体。ABCDEFGHab bbaa1.1.将不规则的几何体补成规则的或体积易于计将不规则的几何体补成规则的或体积易于计算的几何体。算的几何体。2.2.常见的补形常见的补形（1 1）将被平面所截得几何体还原；）将被平面所截得几何体还原；（2 2）将三棱锥补成平行六面体，特别是长方体或正）将三棱
11、锥补成平行六面体，特别是长方体或正方体；方体；a.三条侧棱互相垂直，三条侧棱互相垂直，补成长方体补成长方体b.b.将三棱锥补成三棱柱或平将三棱锥补成三棱柱或平行六面体行六面体ABCPABPCc.c.将正四面体补成正方体将正四面体补成正方体O例题例题2、在棱长为在棱长为4的正方体中，求三棱锥的正方体中，求三棱锥AB1CD1的体积的体积ACDB1C1D1BA11A1D1C1BABCD变式训练变式训练1、已知长方体已知长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AB=4,BC=2，BB1=3，求三棱锥，求三棱锥B1-AD1C的体积的体积.BEADC1A1B1C1D变式训练变式训练2 2解：.,60,2,1
12、,求此三棱锥的体积中在三棱锥BACPACPABACABPAABCP练习：练习：.,:,.360cos21221,222222PBCPAPCPAPBPAPBPAABPBPAB面面故故同同理理即即中中在在 PABCPABC.,PAPBC三棱锥的高为则为底面选平面D.32213131,21322 PAPDBCPDSVBDPBPDPBC又又（等体积法）（等体积法）思考思考这个三棱锥还可以用这个三棱锥还可以用“割补法割补法”做吗？做吗？“割割”或或“补补”一个几何体得到常见的几何体呢？一个几何体得到常见的几何体呢？法二法二:(分割分割法）法）取取ABAB、ACAC的中点的中点M M、N N，连接连接PM
13、PM、PNPN、MNMN，则，则P-AMNP-AMN是一个棱长为是一个棱长为1 1的正四面体。的正四面体。明显地，明显地，V VP-ABCP-ABC=4V=4VP-AMNP-AMN故故V VP-P-ABCABC=32112243MNPABCPABCOQ法三：法三：明显地，明显地，P-ABCP-ABC是棱长为是棱长为2 2的的正四面体，正四面体，所以，所以，V VP-ABCP-ABC=1/2V=1/2VQ-ABCQ-ABC（补形法）（补形法）延长延长APAP至点至点Q Q，连接，连接BQBQ、CQCQ，322122213求体积的求体积的常用方法常用方法所给的是非规范所给的是非规范(或条件比较分散的规或条件比较分散的规范的范的)几何体时几何体时,通过对图象的割补或体通过对图象的割补或体积变换积变换,化为与已知条件直接联系的规化为与已知条件直接联系的规范几何体范几何体,并作体积的加、减法。并作体积的加、减法。小结小结当按所给图象的方位不便计算时当按所给图象的方位不便计算时,可选可选择条件较集中的面作底面择条件较集中的面作底面,以便计算底以便计算底面积和高面积和高.所给的是规范几何体所给的是规范几何体,且已知条件比较且已知条件比较集中时集中时,就按所给图象的方位用公式直就按所给图象的方位用公式直接计算体积接计算体积.换底法换底法直接法直接法割补法割补法
