1、第四节第四节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、弧微分一、弧微分二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算（第十章（第十章 第一节）第一节）G 表示的几种表示的几种几何形体以及其上的积分几何形体以及其上的积分：D闭区间闭区间a,ba,bL(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲（有限曲 面片）面片）(空间有界空间有界 闭区域闭区域)(空间有限空间有限 曲线段曲线段)二重积分二重积分三重积分三重积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分几何形体上的积分几何形体上的积分 GfP dg ,;Dfx y d ,fx y z d
2、v ,;Lfx y ds ,fx y z ds 重积分重积分对弧长的（第一类）曲线积分对弧长的（第一类）曲线积分对面积的（第一类）曲面积分对面积的（第一类）曲面积分(,)f x y z dS (,)GLfP dgf x y ds 当当G为平面或空间有限光滑为平面或空间有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线曲线(L或或 )时，积分称为时，积分称为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 或或第一类曲线积分第一类曲线积分,即即 (,)GfP dgf x y z ds 或或(,)(,)Lf x y dsf x y z ds 或或当当L(或或 )为为简单闭曲线简单闭曲线时时,对弧长的积分记为对弧长的积分记为 计
3、算思路计算思路：(,)Lf x y ds 化为定积分来计算化为定积分来计算点在点在L上变化上变化?复习弧长微分概念复习弧长微分概念对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算21,dsy dx xoyab()yf x(1)(1)直角坐标情形直角坐标情形对对x取取有有,s 弧长微分公式弧长微分公式 22()()dsdxdy 21(),dydxdx xxx sx,x dyds以直代曲以直代曲一、弧长微分一、弧长微分,sds 过点过点M作切线，作切线，M(2)参数方程情形参数方程情形曲线弧为曲线弧为(),(),xtyt ().t 且在且在上具有连续导数上具有连续导数,(),t ().t 22()()
4、dsdxdy 222()()()ttdt 22()().dstt dt (),dxt dt ().dyt dt 弧长微分公式弧长微分公式(化为定积分化为定积分)（1 1）参数方程情形）参数方程情形(),:(),(),xtLtyt 其中其中(),()tt有有连连续续的的导导数数，且且22()()0;tt设曲线设曲线 ,在在 上上连连续续.fx yL二、对弧长二、对弧长曲线积分的计算曲线积分的计算1.1.平面曲线积分平面曲线积分(,)Lf x y ds (,),f x yftt(,)Lf x y ds 22(),()()()ftttt dt :(),()().L xtytt(化为对化为对t t 的
5、定积分的定积分)22()().dstt dt (,)x yL在在 上上变变化化，因此因此.其其中中计算公式计算公式(,)Lf x y ds 22(),()()(),ftttt dt 第一类曲线积分的计算公式第一类曲线积分的计算公式注注1:1:右右端端被被积积函函数数在在,上上连连续续，故右端的定积分存在故右端的定积分存在.(,)Lf x y ds 22(),()()(),ftttt dt 注注2:在第一型曲线积分的计算中在第一型曲线积分的计算中,?定积分的定积分的下限一定要小于上限下限一定要小于上限.22()()dstt dt0 0.0(,)Lf x y ds（2）直角坐标情形）直角坐标情形化
6、成参数方程化成参数方程,(),xxyy x (,)Lf x y ds 2,()1().baf x y xyx dx :(),L yy x.axb.axb222()()1()dsdxdyyx dx ds:(),L xx y cyd 若若?21()dsxy dy (,)Lf x y ds 2(),1().dcf x yyxy dy 例例1 1计算计算,LIxyds sin,txat 其中其中L的方程是的方程是cos,(0).sin,2xattyat cos,tyat 22()()ttdsxydt22(sin)(cos)atatdt.adt 解解axyOL先求参数形式的弧微分先求参数形式的弧微分LI
7、xyds 22()().ttdsxydtadt20cossinat at adt 320sin(sin)atdt 23(sin)220ta 3.2a(0)2t 例例2 2计算计算 ,LIxy ds 其中其中L是以是以 (0,0),1,0,1,1OAB为顶点的为顶点的.LOAOBABLOAABBOI 三角形边界三角形边界.L是分段光滑弧段是分段光滑弧段,解解yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy在在OA上，上，0,01yx 22dsdxdydx 1012OAxy dsxdx 故故在在AB上，上，1,01xydsdy 10312ABxy dsy dy故故yx(1,1)B(0,0)(1,0)A
8、Oxy 10222OAxy dsxdx故故在在BO上，上，,01yxx2dsdx 1 32 222 2Lx y ds 因此因此yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy2.空间对弧长的曲线积分计算空间对弧长的曲线积分计算(),:(),().(),xtyttzt (,)f x y z ds 222()()().ttt dtds(参数情形参数情形)(),(),()fttt 曲线曲线平面情形的推广平面情形的推广例例3 3计算计算222,dsxyz 其中其中是螺线是螺线的第一圈的第一圈222()()()tttdsxyzdt cos,xat sin,yat zbt(02).t 222(sin)(cos
9、)()atatb dt22.ab dt解解22.dsab dt222dsxyz 22222 20dtabab t 2222220(cos)(sin)()ab dtatatbt 22222 20()abd btbab t 2221arctan()0abbtbaa 222arctan.abbaba 22(1arctan)dxaxxcaa 以圆弧的圆心为坐标原点以圆弧的圆心为坐标原点,L例例4 4 有一段铁丝成半圆形有一段铁丝成半圆形L，半径为半径为R，其上任一点的线密度的大小等于该点到其其上任一点的线密度的大小等于该点到其两端点连线的距离，两端点连线的距离，求其质量求其质量.L的对称轴为的对称轴为
10、y 轴轴.则则建立坐标系建立坐标系:,.LLMx y dsyds yxo解解R ,x y ,x yy 线密度为线密度为质量为质量为 L(半圆弧半圆弧)的参数方程为的参数方程为LMyds cos,sin,xRyR (0).20cosR 20sinRd 22.R 22()().dsxydtRd 小小 结结对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算-化为定积分化为定积分(,)Lf x y ds 1.把积分路径把积分路径L代入代入被积函数；被积函数；2.根据积分路径根据积分路径L的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出求出弧微分弧微分.3.定出定积分的上下限，定出定积分的上下限，下限小于上限下限小于
11、上限.(1)曲线弧为曲线弧为参数方程参数方程的计算的计算(2)曲线弧的方程为曲线弧的方程为显函数方程显函数方程的计算的计算:(),()().L xtytt(,)Lf x y ds 22(),()()()ftttt dt 22()().dstt dt 将显函数方程化为将显函数方程化为参数形式：参数形式：(,)Lf x y ds 2,()1().baf x y xyx dx :(),L yy x.axb21()dsyx dx 思考题思考题1.1.以下两式正确否？以下两式正确否？（1 1）区域）区域222:,D xya 则则22aa (错误错误)（2 2）曲线）曲线222:,L xya 则则22()
12、Lxy ds 32.a 4.a (正确正确)22()Dxy d 22aa 2a 2a 221,4x yxy 22281xy 2.若有不均匀的椭圆若有不均匀的椭圆形构件，形构件，,x y其上一点其上一点的线密度的线密度 则此椭圆形构件则此椭圆形构件的平均线密度是的平均线密度是 提示：平均线密度提示：平均线密度=质量质量M/曲线长曲线长L平均线密度平均线密度(,)LLx y dsds 2?22LLdsds 221,4LLx y dsdsxy 其其中中1212LLdsds22221:281:42LxyL xy 平均线密度平均线密度22),(LLLLdsdsdsdsyx 讨论题 由此给出对弧长的曲线积
13、分的由此给出对弧长的曲线积分的几何意义几何意义.已知一柱面的准线（平面曲线）和高，已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积答：柱面的侧面积(,)Lf x y ds（准线准线y=y(x)为底边，为底边，z=f(x,y)为为高高的面积）的面积）Oxyz),(yxfz y=y(x)(,)()0(,)Lf x y dsyy xzzf x y 表表示示柱柱面面介介于于平平面面与与之之间间部部分分的的面面积积.)(:xyyL 准准线线Oxyz),(yxfz )(xyy 柱面：柱面：平面上对弧长的曲线积分几何意义：平面上对弧长的曲线积分几何意义：作 业P.131 3.(1),(3),(4),(6)(8).
