1、板块二.直线与平面所成的角典例分析【例1】 （07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）ABCD【难度】4【解析】 已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选A【例2】 （07全国2理7）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面所成角的正弦等于（ ）A B C D【难度】4【解析】 A已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，取的中点，连接，是与侧面所成的角，选A【例3】 （2008福建卷6）如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）
2、AB C D 【难度】4【解析】 由已知条件有，连结交于，连，依题得，又，则平面，就是与平面所成的角，易知，故，故选D【例4】 （2009浙江）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 （ ）A B C D【难度】4【解析】 C；取的中点，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有，【例5】 （06四川卷理13）在三棱锥中，三条棱、两两互相垂直，且，是边的中点，则与平面所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示）【难度】6【解析】 在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，设，则，O点在底面的射影为底面ABC的中心，=，又，与平面所成角的正切是，所以二面角大
3、小是.另：也可将锥体看作正方体的一角，则可直接求得，【例6】 （2008全国）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）A B CD【难度】6【解析】 B；如图，为的中心，过作底边，垂足为，则，与底面所成角的正弦值，设三棱柱的底面边长为，则，故又，故，从而，故，故所求的正弦值【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为，且与底面成角，求此三棱柱的体积【难度】6【解析】 如图，即为与底面所成角，为在中，【例8】 （08四川卷15）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_【难度】6【解析】 答案：;由题意可知，底
4、面正方形的对角线长为，则底面正方形变长为，由勾股定理可知正四棱柱侧棱长为，因此有正四棱柱体积为【例9】 如图，在棱长为的正方体中，求与平面所成的角；求与平面所成的角的余弦值【难度】6【解析】 连结与交于，底面，且底面为正方形，又，平面斜线在平面内的射影为为与平面所成的角在中，（法一）是正三角形，且棱锥是正三棱锥，则在底面的射影为底面的中心，过作面，垂足为，连，是与平面所成的角，得，故（法二）连与交于点，且面，又面，面面，且面面过作，交于点，则由面面垂直性质定理可知面是与平面所成的角，得，故【例10】 （2008上海）如图，在棱长为的正方体中，是的中点求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【难度】8【解析】 过作，交于，连接平面，是直线与平面所成的角由题意，得，故直线与平面所成角的大小是【例11】 如图，正方体的棱长为，求：与所成角；与平面所成角的正切值；【难度】8【解析】 与所成角就是平面， 从而有，又，面在中，作，平面平面平面，为与平面所成角在中，
