1、函数及其图象易错点1：求函数自变量取值范围时注意：二次根式中被开方数为非负数；分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零.易错题：使函数y有意义的自变量x的取值范围是_.错解：x2正解：x2且x1赏析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x2且x1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解.易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数ykx+b（k0）中的k、b；二次函数yax2+bx+c（a0）中的a、b、c.易错题：在一次函数y（2k）x1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_.
2、错解：k0正解：k2赏析：错误的原因是以为k是一次项的系数，由k0得到错解.本题中一次项系数应是2k，由2k0得到正解.易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.易错题：将直线y3x4向左平移2个单位长度后，其解析式为_.错解：y3x6正解：y3x10赏析：本题可设平移后函数解析式为ykx+b，由平移中平行的关系可得k3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k3，再由直线y3x4过点（0，4），将此点向左平移2个单位长度得到点（2，4），再把点（2，4）及k3代入所设解析式从而求得正解.易错
3、点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系.易错题：已知一次函数y1kxb与反比例函数y2（m0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是1和3，当y1y2时，自变量x的取值范围是（ ）A.x1或0x3B.1x0或0x3C.1x0或x3D.0x3错解：D正解：A赏析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图：以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：
4、A点左侧：x1；点A与原点O之间：1x0；原点O与B点之间：0x3；B点右侧：x3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1y2可得，自变量x的取值范围是x1或0x3.易错点5：二次函数yax2+bx+c(a0)的位置与a，b，c的关系.易错题：已知二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图，则下列说法：c0；该抛物线的对称轴是直线x1；当x1时，y2a；am2bma0（m1）.其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4错解：B正解：C赏析：本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形，没有理解最值的意义，从而对、判断错误.正确的解法是：由图象得抛物线与y轴交点为原
5、点O，把（0,0）代入得c0，正确；由抛物线与x轴交点为（2,0）和（0,0）可得对称轴是直线x1，正确；当x1时，代入解析式得ya+b+c，又由对称轴是直线x1，得1，b2a，又c0，代入得y3a，错误；当xm时，代入得yam2+bm+c,当x1时，代入得yab+c,又x1时，函数有最小值，ab+cam2+bm+c,abam2+bm，又b2a，a2aam2+bm，am2bma0，正确.故选项C正确.易错点6：利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息；利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.易错题：科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时
6、间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/42014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为_.错解：20正解：1赏析：错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解，而没有认真审题，没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是：先设lat2+bt+c，再任选三点代入求得解析式lt22t+49,可化为顶点式l(t1)250，当t1时，l最大值50，故填1.易错点7：实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.易错题：经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x(辆/千米)的函数，当
7、桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当20x220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量车流速度车流密度.求大桥上车流量y的最大值.错解：（1）设vkxb，把点（220，0）和（20，80）代入得，解得，vx88.当x100时，v1008848.答：
8、大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.（2）由（1）得，当20x220时，vx88，由题意，得，解得70x120.答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.（3）由题意，得当0x20时，yvx80x，k800，y随x的增大而增大，当x20时，车流量y最大为80201600.答：车流量y的最大值为1600辆/小时.正解：（1）设vkxb，把点（220，0）和（20，80）代入得，解得，vx88.当x100时，v1008848.答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.（2）由（1）得，当20x220时，vx88，由题意，得，
9、解得70x120.答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.（3）当0x20时，车流量y1vx80x，k800，y随x的增大而增大，当x20时，车流量y1最大为80201600.当20x220时，车流量y2vx（x88）x(x110)24840，当x110时，车流量y2取得最大值为4840.48401600，车流量y的最大值为4840辆/小时.答：车流量y的最大值为1600辆/小时.赏析：本题在第（3）小题求最值时出错，原因是没有分两种情况分别求出车流量的最大值，再从两种情况的结果比较中得出车流量的最大值.实际上，从题目的条件分析可得车流速度与车流密度的关系式有两个
10、：当0x20时，v80；当20x220时，vx88.由此可得，车流量与车流密度也相应地有两个关系式，进而分类求解.易错练1.已知点P（2m，m1）在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）2.将一次函数yx的图象向下平移1个单位长度，平移后，若y0，则x的取值范围是（ ）A. x2 B. x2 C. x2 D.x23.已知点A（1，y1）和点B（1，y2）都在双曲线y上，且y1y2，则a的取值范围是_.4.如图，抛物线抛物线yax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x1，且点M（2,0）在该抛物线上，则_.5.如图，在ABC中，ACBC，有一动点P从点A出发，沿ACBA匀速运动.则CP
11、的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）6.如图，PAB的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y图象的两个分支上，且PBx轴于点C，PAy轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点E、F.已知B（1,3）.（1）k_；（2）试说明AEBF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标.7.用长8m的铝合金制成如图形状的矩形窗户框，试问怎样制作窗户框，使得其采光面积最大，最大采光面积是多少？参考答案3.a 解析：由点A、B的横坐标可知，点A、B在三、一或二、四象限，又y1y2，则A在第三象限，B在第一象限，双曲线在一、三象限，12a0，解得a.4.1 解析：抛物线对称轴是
12、直线x1，且点M（2,0）在该抛物线上，由抛物线的对称性可得，点（3,0）也在抛物线上，将（3,0）代入解析式，得9a3bc0，9a3b c，1.5.D 解析：如图，过点C作CDAB于点D. s与t之间的函数关系属于分段函数：点P在AC上时，s随t的增大而减小；点P在BC上时，s随t的增大而增大；点P在BD上时，s随t的增大而减小；点P在AD上时，s随t的增大而增大.故选D.（2）反比例函数解析式为y，可设A点坐标为（a，），PBx轴于点C，PAy轴于点D，D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1,0），PB3，PC，PA1a，PD1，,又CPDBPA,PCDPBA，PCDPBA，CDBA，BCDE，ADFC，四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，BECD，AFCD，BEAF，AFEFBEEF，即AEBF；（3）四边形ABCD的面积SPABSPCD，（3）（1a）1（），整理得2a23a0，解得a10（a0，舍去），a2，P点坐标为（1，2）.
