1、线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在展开式中，的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.是mn矩阵，是m阶可逆矩阵，是m阶不可逆矩阵，且，则 （ ） (A) 的基础解系由n-m个向量组成 (B) 的基础解系由n-r个向量组成 (C) 的基础解系由n-m个向量组成 (D) 的基础解系由n-r个向量组成 3.设n阶矩阵有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则（ ） (A) (B) (C) (D) 不一定相似，但 4.设均为n阶矩阵，且，其中为n阶单位阵，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 5设，则 （ ）(A)
2、合同，且相似 (B)不合同，但相似(C)合同，但不相似 （D）既不合同，又不相似 二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1已知，则 。2设，若三阶矩阵满足则的第一行的行向量是 。3已知为n维单位列向量，为的转置，若 ，则 。4设分别是属于实对称矩阵的两个互异特征值的特征向量，则 。5设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，是齐次方程组的两个线性无关解，则 。6向量组的线性关系是 。7已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组的解，则 。8已知三维向量空间的基底为，则向量在此基底下的坐标是 。9设 。10二次型的秩为 。三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1试求行列式的第
3、四行元素的代数余子式之和.2.设, 求.3设n阶方阵满足，已知，求矩阵. 4设二次型中，二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求的值；（2）用配方法化该二次型为标准形.四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1当为何值时，方程组无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解.2已知向量组， ，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示. 3已知矩阵；判断能否对角化，若可对角化，求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1设是n阶矩阵的属
4、于特征值的特征向量.证明：也是的特征向量. 其中为n阶单位矩阵.2. 设n维向量组线性无关，向量组 线性相关，证明：必可由线性表示.线性代数（A卷）答案要点及评分标准一选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1A； 2B； 3C； 4D； 5C.二填空题（共10小题，每题2分，共计20分）16m； 2(2,0,1)； 3； 40； 50； 6线性无关； 7 1； 8 1,1,-1； 9 1； 10 2.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解： 4分 8分 2、解：方法一：2分 所以 8分（2）方法二：8分3、解：方法一：由, 得到，2分 5分所以，可逆，=. 8分方法二：由,
5、 得到， 2分用初等列变换求 6分所以， . 8分4、 解：二次型的矩阵 根据题意得到 4分=令 ，标准形为. 8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）1、解： 由克莱姆法则当时，方程组有唯一解； 2分当时有，所以方程组无解； 4分当时有，方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为 取，得到特解 令，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 方程组的全部解为 其中为任意常数 10分2、解：初等行变换矩阵到行最简梯矩阵为 6分可得向量组的秩为3，向量组的一个极大无关组为，且 10分3、解：的特征多项式为 3分得到矩阵的全部特征值为当时，由得一个基础解系正交化,单位化， 当时，由的一个基础解 将其单位化得 8分因此能对角化且正交阵，相应的对角阵为 10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明： 因为 有 根据特征值和特征向量的定义得也是的特征向量. 4分2、证明：由线性无关，得到线性无关，又 线性相关，则可以由线性表示，所以必可由线性表示. 4分
