1、等差数列讲义：选填经典题型一、单选题1数列，的通项公式可能是（ ）ABCD2在等比数列an中，“a2a1”是“an为递增数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要3下列关于等差数列和等比数列的叙述正确的是（ ）A若非常数列为等差数列，则也可能是等差数列B若非常数列为等比数列，则不可能是等差数列C若数列的前n项和，则数列可能是等差数列D若等差数列的前n项和有最大值，则公差d可能大于零4已知数列中，则（ ）ABCD5已知. 将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）A当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列B当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列C当时，
2、存在满足已知条件的，四个数构成等比数列D当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列6已知正项数列的前n项和为，满足，则( )ABCD7在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11（ ）A58B88C143D1768设，是与的等差中项，则的最小值为（ ）ABCD9在数列中，=3n-19，则使数列的前项和最小时n=（ ）A4B5C6D710已知等差数列中，前5项的和满足，则公差取值范围为（ ）ABCD11设等差数列的前n项和为，满足，则（ ）AB的最大值为CD满足的最大自然数n的值为2312若是等差数列，首项，公差，且，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）A4027B4026
3、C4025D402413设等差数列的前项和为，且满足，则中最大项为（ ）ABCD14数列满足，则的前20项和为（ ）A210B220C230D24015数列的通项，其前项和为，则为（ ）ABCD16已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（ ）A19B45C55D10017在等差数列中，前项和为，则等于( )ABCD18已知数列的前n项之和，则的值为A61B65C67D6819等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于（）ABCD20已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1) 成等差数列，也可能成等比数列；(2) 成等差数列，但不可能成等比数列；(3) 可能
4、成等比数列，但不可能成等差数列；(4) 不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( )A(1)(3)B(1)(4)C(2)(3)D(2)(4)21已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ）A2007B2008C2009D201022若是等差数列，首项，则使前项和成立的最小正整数是（ ）ABCD23已知等差数列的前项和为，则取最大值时的的值为（ ）A4B5C4或5D5或624张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，
5、最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）A30尺B150尺C90尺D180尺二、填空题25已知数列中，前项和为若 ，则数列的前项和为_26设等差数列的前项和，若且，则_27设数列的前项和为，且满足，则_28在数列中，则数列的通项_29记数列的前项和为满足，且，则数列的前项和_.30设数列中前项的和，则_.31若，则_.32设数列的前项和为，已知，则等于_.33设是数列的前n项和，且，则使取得最大值时n的值为 _ .34已知数列的前项和为，则_.参考答案1D由，排除A，C，由，排除B.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列通项公式的判定与排除法的运用，属于基础题.2B是递增数列，则必有，必
6、要性满足，若，满足，但，数列不是递增数列，充分性不满足应是必要不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键3C对于A，设数列的公差为，则，由、不为定值可知不为定值，故不可能是等差数列，故A错误；对于B，若，则，此时为等差数列，故B错误；对于C，若，则，此时，数列是等差数列，故C正确；对于D，设数列的首项为，公差为，则，若，结合二次函数的图象与性质可知无最大值，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的判断，考查了等差数列前n项和的函数特性，合理举例、牢记知识点是解题关键，属于中档题.4C在等式两边取倒数得，所以，数列是首项为，公差为的
7、等差数列，则，.故选：C.【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查了等差数列定义的应用，考查计算能力，属于基础题.5D注意到时，且的值为，构成公差为的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.6D，当时，或（舍去）；当时，两式相减得：.，所以数列是首项，公差的等差数列，故选：D.点睛：本题主要考查数列通项与前n和之间的关系以及等差数列的通项和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7B等差数列前n项和公式，考点：数列前n项和公式8D是与的等差中项，即，所以 当且仅当即时取等号，的最小值为99C因为，所以数列
8、是首项，公差为的等差数列，所以，令，易知该函数图象开口朝上，对称轴为直线，由可得当时，取最小值.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列性质及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10C由题可知：，又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前和以及公差的范围，关键在于用表示，属基础题.11C设等差数列的公差为 由，可得，整理可得，由所，即，故A错误；根据，则数列为递减数列，即，则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；所以，即，解得，满足的最大自然数n的值为22，故D错误；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.12D因为
9、是等差数列，首项，公差，所以是递减数列，又因为，所以，所以，所以则使数列的前项和成立的最大自然数是4024.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13D，所以，所以，后面的项都小于零.由于，所以最大项为.考点：等差数列的性质，构造新数列的性质.【点晴】本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和公式，考查数列的单调性.根据等差数列的性质，将已知条件转化为，这就说明数列的首项是正数，且公差是复数，并且正负交替的项位于第和第项，所以构造的新数列中，前面项是正数，后面项是负数，所以最大项只有在前项中产生，然后比较分子分母的单调性可得最大值
10、为第八项.14A因为故 =即：同理可得：故可得令则，又，故故.故选：A.【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高.15A首先对进行化简得，又由关于的取值表：123456可得的周期为，则可得，设，则，故选A点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.16C由题意，正项等比数列的公比为q，且，可得，因为，即，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和等差数列的求和
11、公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.17A设首项为，公差为，即，则，故选A【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题18C当时，当时，故，据通项公式得故选C【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意的情况，是一道基础题19C，又当时，故选:C【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断是解题的关键.20D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，故(3)错误，(4)正确即填 (2)(4)考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义21B数列为等差数列,若所以与异号首项,则
12、公差 所以则,所以由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得 所以的最大值为,即故选:B【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.22D因为等差数列中，所以公差，因为，所以，因为，所以，根据等差数列的性质可知，时，；时，.故使前项和成立的最小正整数是.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23C设等差数列的公差为，则，得，解得，由二次函数的性质可得当或5时，取最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.24C已知等差数列选C.25因
13、为，所以.所以.又，所以是首项为，公差为的等差数列，则.所以.又也满足，所以.所以.所以数列的前项和为.【点睛】本题考查数列的综合问题，考查与的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强.已知与的关系式，有两种思路：一是由消掉得到关于通项的关系式；二是把代换成得到关于求和的关系式.26因为，所以，从而公差，又，所以，从而，解得，故填.27解：，可得时， ，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得故答案为：【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题。28由题意可得：，利用累加法，得：，于是：故答案为【点睛
14、】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.29由题可知：当时，得，即（）又，所以，则，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以，则，所以.故答案为：【点睛】本题考查根据证明等比数列，还考查等差数列的前项和公式，掌握，熟悉公式，属基础题.30由，取得：，即.当时，得：，即.，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，.，故答案为：.【点睛】本题考查由和的关系式求数列的通项公式，解题根据是，但要注意此式中，不包含否则易出错31原式可化为（），因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.故答案为：.【点睛】本题主要由数列的递推公式构造新数列，使之成等差数列或等比数列的问题，构造是关键，属
15、于中档题.321010因为，因为 所以，由此可得，所以，周期为4，所以.故答案为：1010【点睛】本题考查数列的递推公式和数列的周期性，考查求数列前项的和的问题，考查学生的推理能力和计算能力，属于中档题.333a1=1，an+1=SnSn+1，Sn+1Sn=SnSn+1，=1+（n1）=n，Sn=，则使等号不成立经过验证：则使取得最大值时n的值为3故答案为：3点睛：本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。342020由，当为正奇数时有：，则.故答案为: 2020.【点睛】本题考查了根据递推关系式用并项求和法求前项和，解题关键是根据递推关系找到数列的特征，考查了分析能力和推理能力.
