1、明目标、知重点1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题1三角形常用面积公式(1)三角形面积公式Sah.(2)三角形面积公式的推广Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)S(abc)r(r为三角形的内切圆半径)2三角形内的角的函数关系在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有(1)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，(2)sin cos ，cos sin .3余弦定理的推论在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2
2、C为钝角；c2a2b2C为锐角题型一利用正、余弦定理解三角形例1在ABC中，若ccos Bbcos C，且cos A，求sin B的值解由ccos Bbcos C，结合正弦定理得，sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，易知BC，故bc.因为cos A，所以由余弦定理得3a22b2，再由余弦定理得cos B，故sin B.反思与感悟正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值解(1)由题意知，b2accos A，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sin Bsin
3、 Bsin A.题型二正、余弦定理与三角变换的综合应用例2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 cos 2A.(1)求A的度数(2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2 cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2 A1，4(1cos A)4cos2 A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cos A.cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.则由解得或反思与感悟本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理
4、列出关于b、c的方程组跟踪训练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2c2b2ac.求2sin2sin 2B的值解由已知得，所以cos B，sin B，所以2sin2sin 2B2cos2sin 2B1cos B2sin Bcos B12.题型三正、余弦定理与平面向量的综合应用例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，a7，且21.求角C.解21，21.|cos Baccos B21.ac35，又a7，c5，cos B，sin B.由余弦定理b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理.sin Csin B.cb且B为锐角，C一定是锐角C45.反思
5、与感悟这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系跟踪训练3ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为 答案150解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cos B，又0B180，B150.题型四三角形的面积公式的应用思考1ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？答habsin Ccsin B，hbcsin A
6、asin C，hcasin Bbsin A.思考2将思考1中得到的结论代入三角形面积公式Sah，可以推导出怎样的三角形面积公式？答Sabsin C，Sbcsin A，Sacsin B.例4如图，在ABC中，BC5，AC4，cosCAD且ADBD，求ABC的面积解设CDx，则ADBD5x，在CAD中，由余弦定理可知cosCAD.解得x1.在CAD中，由正弦定理可知，sin C4，SABCACBCsin C45.所以三角形ABC的面积为.反思与感悟在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角
7、形的面积跟踪训练4ABC中，AB，AC1，B30，求ABC的面积解由正弦定理得，sin C.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，SABC1sin 30.1在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Bb，则角A等于()A. B.C. D.答案D解析在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A为锐角，A.2在ABC中，若acos2ccos2b，那么a，b，c的关系是()Aabc Bac2bCbc2a Dabc答案B解析cos2，cos2，代入条件等式，得acacos Cccos
8、 A3b，acac3b，整理，得ac2b.3已知三角形面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C. D4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由R2，得R1，Sabsin C，abc1.4在ABC中，AB3，AC2，BC，则 .答案解析由余弦定理得cos A.|cos A32.呈重点、现规律1判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)2对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化
9、简，从而得出结论3解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解一、基础过关1在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是()A1c3 B2c3C.c3 D2c3答案C解析由cos Ca2b25.c，又cab，c3.2在ABC中，AB，A45，C75，则BC等于()A3 B.C2 D3答案A解析AB，A45，C75.由正弦定理得：，解得BC3.3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为
10、()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得A，所以ABC为直角三角形4在ABC中，cos2，则ABC是()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos B，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形5在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，则b .答案2解析cos C，sin C，absin C4，b2.6已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是 答
11、案(，)解析x满足：，解得x.7在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b2a，BA60，求A的值解b2a，sin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得：sin Acos A，tan A，又0Ab，则B的值为()A. B. C. D.答案A解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，由正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.10在ABC中，ABC，AB，BC3，则sin BAC等于()A. B. C. D.
12、答案C解析在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC()23223cos 5.AC，由正弦定理得sinBAC.11在ABC中，若lg alg clg sin Alg ，并且A为锐角，则ABC为 三角形答案等腰直角解析lg alg clg sin Alg ，sin A，A为锐角，A45，sin Csin Asin 451，又0C180，C90.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解(1)由题设并由正弦定理，得acpb，所以ac.得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以p0，c0，ac3.
