1、极限分析法与土坡稳定河海大学岩土工程研究所卢廷浩关于极限分析理论 极限分析理论假定土体为弹性理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应用弹性理想塑性体或刚塑性体的普遍定理上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。正交流动规则正交流动规则 塑性应变率之间的关系（图）.1FppnnFtg 3131FFpp0cos2)sin1()sin1(31CF或0tgCFn屈服函数
2、屈服函数.ppntg 1 sin()1 sin42tg 两种表达同单剪中能量耗散率.ppnnD fnctg代入.pn.pDc得单元体能量耗散率单元体n总能量耗散率.intcospDD l hcl hclv .cospvh是A点的速度v在剪切面上的速度分量材料总能量耗散率 B C H 刚体 刚体 v t A 图75 竖直边坡平动机制 能量耗散率计算 薄变形层上的刚体滑动能量耗散率 以对数螺线为周界的变形锲体的能量耗散率 （推导）薄变形层上的刚体滑动能量耗散率.1100/rvrvrv.1100/rvrvrv O h 0 0R B)(R A 刚体 刚体 H tv C 图78 边坡转动机制 1)2ex
3、p(21)2exp(cos)exp(cos)exp(cos100000000int11tgctgrcvdtgcvdtgrtgcvdlcvDl以对数螺线为周界的变形锲体的能量耗散率ARAArrvrrvv./rvrvAAdrrvdrdrrvdvAARR.1)2exp(411)2exp(211)2exp(211011tgctgrcvrdrtgctgcrvtgrctgcvdvPQRSAArAAA整个契体，积分有的能量耗散率为相对于 1)2exp(431inttgctgrcvDAA散率为契体及边界总的能量耗intDintD上、下限定理静力容许的应力场静力容许的应力场 设有物体V，其表面A，面力 和体力
4、已知。若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条件，则称为静力容许应力场。在体积V内满足平衡方程，即 在边界上满足边界条件，即 在体积V内不违反屈服条件，即 由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定是极限状态时真实的应力场。iif上、下限定理机动容许的位移速率场机动容许的位移速率场 ui ui 在物体V上，若设定一组位移速率场，满足以下条件，为机动容许的位移速率场。在体积V内满足几何方程，即 则称)(21*,*,*ijjiijuu在边界Su上满足位移边界条件，或速度边界条件，并使外力做正功。由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的位移速率场必
5、定是机动容许的位移速率场；但机动容许的位移速率场不一定是极限状态时真实的位移速率场。上、下限定理虚功方程与虚功率方程虚功方程与虚功率方程 虚功原理表明：对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的虚功。同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变形功率。如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为：以上几个定理的证明可参考土力学有关书本，这里从略。根据虚功率方程可以证明极限分析中两个重要的定理，即上下限定理。dvdAuFdAuTijAvijViiii*0*dsvtgdvdvuFdA
6、uTtsnijAvijviiii)(*0*vtdvdvuFdAuTijAvijViiii*0*式中，S速度间断面；速度间断面两侧切向 速度的变化。上、下限定理上、下限定理下限定理下限定理：在所有与静力容许的应力场满足 相对应的荷载中，极限荷载最大。（证明）Fij（）0上、下限定理上、下限定理上限定理：在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小。（证明）下限定理证明下限定理证明 证：设 为真实的应力场，对应的表面力为Ti，为真实的位移速率场，由几何方程求得真实应变率为 ，真实速度场中可能存在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为 ；在Su上
7、给定速度为 ，在ST上给定表面力为 ，给定的体力为Fi。ij uiijvtiu iT下限定理证明下限定理证明由虚功率方程得 又设另一静力容许的应力场，对应的表面力为，由虚功率方程得 LtsLnijvijisiviidsvtgtdvdsuTdvuF)(00LsLtvijijsiiviidsvCdvdsuTdvuF下限定理证明下限定理证明上述两式相减得 0()iiisTT u dsLtsLnjivijijisiidsvtgCdvdsuTT)()()(00由Drucker公式得到ijijij)(00 由于Ctgn)(tnvtgC同时 0，即剪应力做正功率知0，得证。0()iiisTT u ds上限定
8、理证明上限定理证明 上限定理：在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。证：设 为物体达到极限状态的真实应力场，其对应的表面力为Ti，为真实位移速率场，由几何方程求得的应变率为 ，真实速度场中可能有速度间断面SL，其上的速度切向跃值为 ；体力为Fi。ij uiijvt上限定理证明上限定理证明 另设一机动容许的位移速率场 ，对应的应变率为 ，应变速度场可能有间断面，其上的切向速度为 。虚功率方程得*ui*ij*vt*)(LvtvSLnijijsiiiidsvtgdvdsuTdvuF()*ijijvij由于由于0 上限定理证明上限定理证明又tgnC，则有*)(*LtLtS
9、ndsvCdsvtgLvLStijijsiiiidsvCdsuTdvuFL*后两式代入第一式，有显然只有当*uuii时，上式等号成立。上限定理得到证明。Fij（）0事实上，不妨设Fi,Ti 就是真正的极限荷载，对应的静力许可应力场 满足左边是外功功率，右边是能量耗散率，这就证明满足外功功率能量耗散率塑性变形时的荷载最小。上、下限定理应用举例 地基极限承载力 下限解 上限解上、下限定理应用举例 垂直边坡临界高度 （无裂缝的垂直边坡）已知上限解外功功率 B C H 刚体 刚体 v t A 图75 竖直边坡平动机制)cos(tan212tvHw外内能消散率 ttvHCwcoscos内,ttc垂直边坡
10、临界高度根据内外ww)cos(sincos2tttCH根据求导 0/ddH2/4/tcr有得上限解)245tan(4ttCH垂直边坡临界高度根据 下限解 x 0 x H yy )(Hyx )(Hyyx y yy 图79 竖直边坡静力场 区域的莫尔圆 n 区域坡底处的莫尔圆 图710 静力场中的莫尔圆 有裂缝的垂直边坡 上限解 H 刚体 刚体 nH t B A 图77 不能抗拉的竖直边坡)cos()1(tan5.022tvnHw外ttvnHCwcos)1(cos内)cos(sincos)1(2tttnCH)245tan(4)1(ttCnH土坡稳定应用 O h 0 0R B)(R A 刚体 刚体 H tv C 图78 边坡转动机制 土坡稳定应用 外功率 总扇形面积外功率OBAC空区cos322021RdRAh),(cos310130)(330100hfRdeRAhh),(),(0330302302hhfRAfRA O h 0 0R B)(R A 刚体 刚体 H tv C 图78 边坡转动机制 土坡稳定应用)(32130321fffRAAAAintD000ffh滑契体净外功率滑面能量耗散率 如前，令A=D，求极值土坡稳定应用 求临界高度H 求Fs,可应用强度折减法谢 谢
