1、 1 湖南省长沙市 2015-2016学年高一数学 12月月考试题（含解析） 一、选择题 1. 已知集合 A 1,0,1， B x| 1 x1，则 A B ( ) A. 0 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,0,1 【答案】 B 【解析】试题分析：由题意可得 故 B正确 考点：集合的运算 【易错点睛】本题主要考查集合的运算，属容易题已知集合 中的元素 的满足的条件为，所以 ，所以此题选项为 C，否则极易错选 D选项 2. lg lg 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】 C 【解析】 ;故选 C. 3. 下图中，能表示函数 y f(x)的图像的是 ( ) A. B. C. D
2、. 【答案】 D 【解析】 由函数的定义 (对于非空数集中的任一个数 ,都有唯一的值 相对应 ),得选项 D符合要求 ;故选 D. 4. 下列函数是偶函数的是： （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 易知 为奇函数 , 为偶函数 , , 为非奇非偶2 函数 ;故选 B. 5. 函数 f(x) x 的零点个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 A 【解析】 令 ，即 ，显然该方程无解，即函数 的零点个数为0；故选 A. 6. 设 是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若 , ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【
3、答案】 C 【解析】 若 , ，则 或 ，即选项 A错误；若 ，则 或 ，即选项 B错误；若 ，则 平行或垂直或相交，即选项 D错误；故选 C. 7. 已知点 A(2， 3)， B( 3， 2)， 直线 l过点 P(1,1)且与线段 AB有交点，设直线 l的斜率为 k，则 k的取值范围是 ( ) A. ( ， 4 B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意，得 ，由图象，得 或 ；故选 A. 8. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( ). 3 A. B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 由三视图可知该几何体是一个直三棱锥，其中高为 1，底面
4、是直角边为 1,2的直角三角形，则该几何体的体积为 ；故选 B. 9. 函数 的图像大致是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ，所以该函数的图象如选项 C所示；故选 C. 10. 如图，正方体 的棱线长为 1，线段 上有两个动点 ，且，则下列结论中 错误 的是 （ ） 4 A. B. C. 三棱锥 的体积为定值 D. 异面直线 所成的角为定值 【答案】 D 考点：棱柱的结构特征 二、填空题 11. 函数 的定义域为 _，值域为 _. 【答案】 (1). (2). 【解析】 若函数函数 有意义，则 ，即 ，即函数 的定义域为；因为 ，所以 ，即该函数的值域为. 12.
5、 当 a为任意实数时，直线 ax y 1 3a 0恒过定点 _ 5 【答案】 (3,1) 【解析】 将 化为 ，即该直线恒过点 . 13. 一条光线从点 射出，与 x轴相较于点 ，经 x轴反射，则反射光线所在的直线方程为 _ 【答案】 【解析】 由光学知识可得反射光线所在的直线过点 和 关于 轴的对称点，其直线方程为 ，即 . 14. 如图，二面角 l 的大小是 60 ，线段 AB? ， B l， AB与 l所成的角为 30 ，则 AB与平面 所成的角的正弦值是 _. 【答案】 【解析】 过点 A作 面 ， ，连接 ，易知 ，则 是二面角的平面角，即 ， 是 与所成的角，即 ， 是 与平面 所
6、成的角，在 中，设 ，则 ， ， ，即 与平面 所成的角的正弦值为 . 15. 已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4个顶点，这些几何体是 (写出所6 有正确结论的编号 )_. 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； 每个面都是等腰三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体 . 【答案】 【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体，其棱长分别为 ， 各表面和对角面都为矩形，即 正确， 是有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体，即 正确， 是
7、每个面都是等腰三角形的四面体，即 正确， 是每个面都是直角三角形的四面体，即 正确；故填 . 三、解答题： 16. 已知函数 ， () 证明 在 上 是增函数； () 求 在 上的最大值及最小值 【答案】 (1)详见解析 ;(2) ,2. 【解析】 试题分析： ( )利用函数的单调性的定义进行证明 ； ( )利用前一步所证的函数的单调性确定其最值 试题解析： ( ) 设 ，且 ,则 ， 7 ，即 在 上是增函数 . ( ) 由 ( )可知 在 上是增函数 当 时， 当 时， 综上所述， 在 上的最大值为 ，最小值为 . 17. 设集合 ， . （ 1）若 ，求实数 的值 （ 2）若 ，求实数
8、的取值范围 【答案】 (1) ;(2) . 【解析】 (1)因为 A=1,2,并且 ,所以 ,所以, 从而求出 a的值，然后再一一验证是否满足 . (2)因为 ,所以可得 ,然后再讨论 和 两种情况，从方程的角度研究就是当 时 无实数根 ; 时，有一个实数根和有两个实根两种情况 . （ 1）有题可知： 将 2带入集合 B中得： 解得： 当 时，集合 符合题意； 当 时，集合 ，符合题意 综上所述： 18. 已知三角形三个顶点是 ， ， ， （ 1）求 边上的中线所在直线方程； （ 2）求 边上的高 所在直线方程 【答案】 (1) x+7y+5=0.(2) . 8 【解析】试题分析：本题第（ 1
9、）问，由中点公式得到中点 ，再求出 边上的中线所在直线的斜率 ，然后由直线的点斜式方程求出 边上的中线所在直线方程；第（ 2）问，先由 和 两点求出直线 BC 的斜率，由于 边与高 垂直，则由两直线垂直的结论 求出高 所在直线的斜率，再结合点 ，由直线的点斜式方程求出高 所在直线方程。 解： 的中点 边上的中线所在的直线方程为 ，即 , 边上的高所在的直线的方程为 即 考点：直线的方程 点评：本题考查直线方程的求法 ，是基础题解题时要认真审题，注意两点式方程和点斜式方程的灵活运用 19. 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 BC， A1AC 60 ， A1A AC BC 1，
10、 A1B . (1)求证：平面 A1BC 平面 ACC1A1； (2)如果 D为 AB中点，求证： BC1 平面 A1CD. 【答案】 (1)详见解析 ;(2)详见解析 . 【解析】 试题分析： (1)先利用等边三角形和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明 ;(2)先利用平行四边形和三角形的中位线证得线线平行，再利 用线面平行的判定定理进行证明 . 试题解析： (1)因为 A1AC 60 ， A1A AC 1， 9 所以 A1AC为等边三角形 .所以 A1C 1. 因为 BC 1， A1B ，所以 A1C2 BC2 A1B2. 所以 A1CB 90 ，即
11、A1C BC. 因为 BC A1A， BC A1C， AA1 A1C A1， 所以 BC 平面 ACC1A1. 因为 BC?平面 A1BC，所以平面 A1BC 平面 ACC1A1. (2)连接 AC1交 A1C于点 O，连接 OD. 因为 ACC1A1为平行四边形， 所以 O为 AC1的中点 .因为 D为 AB 的中点，所以 OD BC1. 因为 OD?平面 A1CD， BC1?平面 A1CD，所以 BC1 平面 A1CD. 20. 如图，棱锥 的底面 是矩形， 平面 ，. （ 1）求证： BD 平面 PAC； （ 2）求二面角 P CD B的大小； （ 3）求点 C到平面 PBD的距离 .
12、【答案】 (1)详见解析 ;(2) 450 (3) . 【解析】试题分析：方法一： 证：在 RtBAD 中， AD=2， BD= ， AB=2 ， ABCD为正方形，因此 BDAC. 10 PA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， BDPA . 又 PAAC=A BD 平面 PAC. 解：（ 2）由 PA 面 ABCD，知 AD为 PD在平面 ABCD的射影，又 CDAD ， CDPD ， 知 PDA 为二面角 P CD B的平面角 . 又 PA=AD ， PDA=45 0. 二面角 P CD B余弦值为 。 （ 3） PA=AB=AD=2 ， PB=PD=BD= ，设 C到面 PBD的距离为 d， 由 ，有 ，即，得 方法二：证：（ 1）建立如图所示的直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）、 D（ 0， 2， 0）、 P（ 0， 0， 2） .?2 分 在 RtBAD 中， AD=2， BD= ， AB=2.B （ 2， 0， 0）、 C（ 2， 2， 0）， ，即 BDAP ， BDAC ，又 APAC=A ， BD 平面PAC. ?4 分 解：（ 2）由（ 1）得 .
