1、xyo1yxxyo1yx xyo2yx局部上升或下降局部上升或下降下降下降上升上升函数图象的上升下降反映了函数的一个基本性质函数图象的上升下降反映了函数的一个基本性质 单调性单调性问题问题1画出画出f(x)=x的图像，并观察其图像。的图像，并观察其图像。2、在区间、在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值的值随着随着 _.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降?_上升上升(-,)增大增大1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.问题问题2画出画出 的图像，并观察图像的图像，并观察图像.2f(x)=x
2、o5-5-552、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.(-,0(0,+)减小减小2f(x)=x增大增大Oxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOx)x(f11xy2xyxyoxyoy=xy=x2 2y=xy=x3 3y y随随x x的的增大增大而而增大增大0 0，+）上）上y y随随x x的的增大增大而而增大增大（-，00上上 y y随随x x的的增大增大而而减小减小)3()4(xyoxyo
3、)(xfy mn)(xfy mn m m，n n 上，函数上，函数 y y随随x x的的增大增大而而减小减小在在 m m，n n 上，函数上，函数 y y随随x x的的增大增大而而增大增大单调单调递增递增性性单调单调递减递减性性通俗定义xyo)(xfy mnf（x1）x1x2f（x2）y y 随随 x x 的的增大增大而而增大增大即是即是：当当x1 x2时，有时，有f（x1）f（x2）函数单调性的概念：函数单调性的概念：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当
4、x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在在区间区间D上是上是增函数增函数,如图如图1.1 1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于，如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数,如图如图2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图1yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图2 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质
5、，是函数的性质，是函数的局部性质局部性质.2、必须是对于区间、必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)，则函，则函数数f(x)分别是增函数或减函数分别是增函数或减函数.在某区间上，在某区间上，减函数减函数图象下降。图象下降。增函数增函数图象上升图象上升xyoxyo 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.函数的单调性定义
6、函数的单调性定义例例1 1、下图为函数、下图为函数 ,的图像，的图像，指出它的单调区间。指出它的单调区间。4,7x y=f x123-2-3-2-1123456 7xo-4-1y-1.5-1.5-1.5，33，55，66-4-4，-1.5-1.5，33，55，66，77解：单调增区间为解：单调增区间为单调减区间为单调减区间为例例1 下图是定义在区间下图是定义在区间-4,5上的函数上的函数y=f(x)，根，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？间上，它是增函数还是减函数？1 2 345-1-2-3-4-2-323o解：函
7、数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-4，-2)，-2，-1)，-1，1)，1，3)，3，5,其中其中y=f(x)在区间在区间-4，-2)，-1，1)，3，5上是增函数，在区间上是增函数，在区间-2，-1)，1，3)上是减函数上是减函数.yxoyY=2x+1xoY=(x-1)2-112-1yxy=x3oyOxx1y 增区间增区间为为(,)增区间增区间为为增区间增区间为为(,)1,)减区间减区间为为(,1减区间减区间为为(,0),(0,)例例2:写出函数的单调区间写出函数的单调区间（1）函数的）函数的单调性单调性也叫函数的也叫函数的增减性增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它
8、是个）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念局部概念。这个区间是定义域的。这个区间是定义域的子集子集。（3）单调区间：针对自变量）单调区间：针对自变量 x 而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则若函数在此区间上是增函数，则区间区间为单调递为单调递增增区间区间若函数在此区间上是减函数，则若函数在此区间上是减函数，则区间区间为单调递为单调递减减区间区间例例:证明：函数证明：函数 f(x)=3x+2 在在 R上上 是单调增函数。是单调增函数。证明：设证明：设 x 1，x 2是是R上的任意两个值，且上的任意两个值，且x 1 x 2，则则 f(x 1)f(x 2)=（3x 1+2）（）（3
9、 x 2 +2）=3（x 1 x 2 ）x 1 x 2 ，x 1 x 2 0f(x 1)f(x 2)0即即f(x 1)f(x 2)所以所以,函数函数 f(x)=3x+2 在在 R上是单调增函数。上是单调增函数。取值取值作差作差定号定号结论结论1.任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2.作差作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5.下结论下结论 证明函数证明函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性.1yxx1,证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且
10、1,12,x x12xx则则12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x，且，且12xx12120,10 xxx x 1212()()0,()()f xf xf xf x所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数.1yxx1,取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论返回1.任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2.作差作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；
11、的正负）；5.下结论下结论例例.试用函数的单调性定义证明试用函数的单调性定义证明 f(x)=的单调性。的单调性。x证明：函数的定义域为证明：函数的定义域为 0，+），在此区间上任取），在此区间上任取两个值两个值x1,x2，且，且x1x2，则得到，则得到f(x1),f(x2)2121-)(-)(xxxfxf2121212121-)(-(xxxxxxxxxx)()(0)(-)(0,0 x-,),0,212121212121xfxfxfxfxxxxxxx?所以，函数在【所以，函数在【0，+）上是增函数）上是增函数。取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论例例 5 5 求证：函数求证：函数 在区间在区
12、间 上是单上是单调增函数调增函数1f(x)=-1x0+，则，则证明：在区间（证明：在区间（0，+）上任取两个值）上任取两个值 且且 12x,x12x x12121212x-x11f(x)-f(x)=-+=xxx x又因为又因为 ，所以说，所以说12x-x 012f(x)-f(x)0,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2).0,+证明：证明：（1）在在区间区间(0，+)上，设上，设x1,x2是是(0，+)上上任意两个实数，且任意两个实数，且x1x2，则，则（2）在区间（）在区间（-，0）上，同理可得到函数）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在在（-，0）上是减
13、）上是减函数。函数。综上所述，函数综上所述，函数f(x)=1/x 在在（-，0）,(0，+)上是减函数上是减函数.课堂小结课堂小结 2、函数单调性的定义；、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征、单调函数的图象特征；(1).任取任取x1，x2D，且，且x10k 0k 0a 0增函数增函数ba 增函数增函数ba 减函数减函数ba ba 减函数减函数 教材习题答案教材习题答案 1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大
14、值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产由此可见，并非是工人越多，生产效率即越高效率即越高.2.增区间为：增区间为：8,12,13,18;减区间为减区间为12,13,18,20.4.证明：任取证明：任取 且且 ，因为，因为12x,xR,12x 0即即12f(x)f(x)所以所以f(x)=-2x+1在在R上是减函数上是减函数.5.最小值最小值.12.y=x2,5x函函数数的的最最大大值值为为最最小小值值为为 3.f(x)-,2,2,+f x已已知知函函数数在在 上上单单调调递递增增 在在 上上单单调调递递减减则则有有值值为为最大最大f(2)0.50.224.y=x+4x+2-3,5函函数数在在区区间间上上的的最最小小值值为为-2
