1、第三章第三章 随机向量及其分布随机向量及其分布第一节第一节 二维随机向量及联合分布二维随机向量及联合分布第二节第二节 边缘分布与条件分布边缘分布与条件分布第三节第三节 两个变量的独立与函数分布两个变量的独立与函数分布第一节第一节 二维随机向量及联合分布二维随机向量及联合分布一一.随机向量的定义随机向量的定义 随机向量主要用来描述用一维随机变量不能随机向量主要用来描述用一维随机变量不能完全刻划的随机现象。完全刻划的随机现象。例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与点数这两个离散随机属性点数这两个离散随机属性；导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随导弹的落
2、点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量机变量组成的二维随机向量；以及更一般的多维随机向量以及更一般的多维随机向量。1.二维随机向量二维随机向量 如果如果 X、Y 都是定义在同一个样本空间中的都是定义在同一个样本空间中的随机变量随机变量，则它们构成的，则它们构成的向量向量(X,Y)就称为一个就称为一个二维随机向量。二维随机向量。2.n 维随机向量维随机向量 定义在同一样本空间中的随机变量定义在同一样本空间中的随机变量 X1,X2,Xn 构成的构成的向量向量(X1,X2,Xn)称为一个称为一个 n 维随机向量。维随机向量。随机向量随机向量(X,Y)的概率性质除了与每一个分量的概率
3、性质除了与每一个分量有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。二二.联合分布函数联合分布函数定义定义3.1.1 设设(X,Y)是二维随机向量，对于任意是二维随机向量，对于任意 的两个实数的两个实数 x、y，二元函数二元函数 F(x,y)=P X x,Y y 称为随机向量称为随机向量(X,Y)的分布函数，或者也称的分布函数，或者也称 随机变量随机变量 X、Y 的联合分布函数的联合分布函数1.联合分布函数的定义联合分布函数的定义 联合分布函数是对随机向量性质的完整刻划，联合分布函数是对随机向量性质的完整刻划，本质上是本质上是两个随机事件交事件的概率两个随机
4、事件交事件的概率。+o x1 x2 xyy2y12.利用联合分布函数计算概率利用联合分布函数计算概率 P x1 X x2,y1 Y y2 =F(x2,y2)+F(x1,y1)F(x1,y2)F(x2,y1)思考思考1 X x,Y y 的对立事件是否的对立事件是否 X x,Y y？思考思考2 从从 F(x,y)能不能计算出能不能计算出 P x1 X x2？例例3.1.1 已知已知(X,Y)的联合分布函数是的联合分布函数是：x y,当当 0 x,y 1 x，当当 0 x 1，y 1 y，当当 0 y 1，x 1 1，当当 x 1，y 1 0，其它其它F(x,y)=问问 X、Y 至少有一个不大于至少
5、有一个不大于 0.4 的概率。的概率。解解.分析，分析，要计算要计算 p=P (X 0.4)(Y 0.4)，利用加法公式，利用加法公式，p=P X 0.4 +P Y 0.4 P X 0.4Y 0.4 =F(0.4,+)+F(+,0.4)F(0.4,0.4)=0.4+0.4 0.40.4 =0.64 .二二.离散型二维随机向量离散型二维随机向量 如果二维随机向量如果二维随机向量(X,Y)所有可能的取值是所有可能的取值是有限对或者无穷多对数，则称有限对或者无穷多对数，则称(X,Y)是一个离散是一个离散型二维随机向量。型二维随机向量。P X=xi,Y=yj =pi j ，i、j 1 1.离散随机向量
6、的联合分布律离散随机向量的联合分布律 联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率，联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率，X=xi，i 1 与与 Y=yj，j 1 分别都是对分别都是对 样本空间的划分。样本空间的划分。2.二维联合分布律的表格形式二维联合分布律的表格形式 y1 yj x1 p11 p1j xj pi1 pij X Y3.联合分布律的两个性质联合分布律的两个性质(1)对任意的对任意的 i、j，都有都有 pi j 0,(2)i 0j 0 pi j =1随机事件随机事件随机变量随机变量随机向量随机向量 离散情况以抛掷骰子为例，离散情况以抛掷骰子为例，古典概率讨论事件：古典概率讨论
7、事件：出现出现1点点，出现出现6点点随机变量讨论抽象的：随机变量讨论抽象的：X=1，X=6随机向量讨论同时掷两枚骰子：随机向量讨论同时掷两枚骰子：X=1，Y=1，X=6，Y=6 连续情形同理，考虑从连续情形同理，考虑从(0,1)区间随机取数区间随机取数例例3.1.2 从从 1，2，3，4 中随机地取一个数中随机地取一个数 X，再从再从 1，X 中随机地取一个数中随机地取一个数 Y，计算计算 X、Y 的联合的联合 分布律。分布律。解解.分析，首先确定分析，首先确定 X、Y 的取值范围。的取值范围。X 可能取可能取 1，2，3，4；Y 可能的取值可能的取值 仍然是仍然是 1，2，3，4，并且具有关
8、系，并且具有关系 Y X。最重要的是，这里必须使用条件概率最重要的是，这里必须使用条件概率 P X=i =？P Y=j|X=i =？根据概率的乘法公式，根据概率的乘法公式，X、Y 的联合分布律为的联合分布律为 P X=i，Y=j =P X=i P Y=j|X=i =1/4i，1 j i 4。X Y 1 2 3 41 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 三三.连续型二维随机向量连续型二维随机向量 如果存在一个非负可积的函数如果存在一个非负可积的函数 p(x,y)，使得对使得对任意的实数任意的实数 x、y，
9、(X,Y)的联合分布函数满足：的联合分布函数满足：则称则称(X,Y)是连续型二维随机向量。是连续型二维随机向量。p(x,y)称为随机向量称为随机向量(X,Y)的密度函数，的密度函数，或者是随机变量或者是随机变量 X、Y 的联合密度函数。的联合密度函数。1.联合密度函数的定义联合密度函数的定义yxF x yp u v dudv(,)(,)(1)p(x,y)0 ；2.联合密度函数的基本性质联合密度函数的基本性质3.联合密度函数与联合分布函数的关系联合密度函数与联合分布函数的关系如果联合密度函数在点如果联合密度函数在点(x,y)连续，则有连续，则有 p(x,y)=p u v dudvF(2)(,)(
10、,)1 2 F(x,y)x y思考思考4 假如假如 X 有密度函数有密度函数 pX(x)，Y 有密度函数有密度函数pY(y)，构造出的二元函数构造出的二元函数 p(x,y)=pX(x)pY(y)是否是是否是一个联合密度函数？一个联合密度函数？4.关于关于连续随机向量连续随机向量概率的计算概率的计算假设假设 G 是平面上的任意一个区域，则是平面上的任意一个区域，则比较：比较：连续随机变量连续随机变量概率的计算概率的计算假设假设(a,b)是直线上的任意一个区间，则是直线上的任意一个区间，则GX YGp x y dxdyP(,)(,)baXa bp x dxP(,)()o x yG p(x,y)例例
11、3.1.3 X、Y 具有联合密度函数具有联合密度函数(1)求联合分布函数求联合分布函数 F(x,y)；(2)计算概率计算概率 P Y X 。解解.分析，分析，联合分布函数是联合密度函数的不定积分；联合分布函数是联合密度函数的不定积分；概率概率 P Y X 是联合密度函数在区域是联合密度函数在区域 G=(x,y)|y x 上的二重积分。上的二重积分。2 e (2x+y),当当 x 0,y 0p(x,y)=0，其它其它(1)对任意的对任意的 x 0、y 0，yxF x yp u v dudv(,)(,)yyxxu vvuyxvxyedudveedu dveedvee(2)0 0002202 2(1
12、)(1)(1)最后得到联合分布函数，最后得到联合分布函数，(1 e 2x)(1 e y),当当 x、y 0 F(x,y)=0，其它其它(2)由于由于区域区域 G=(x,y)|y x 表示直线表示直线 y=x 的的 下半部分，而联合密度函数只有在下半部分，而联合密度函数只有在 x，y 同时同时 都都 0才取值为才取值为 2 e (2x+y)。因此因此 P Y X 实际上是函数实际上是函数 2 e (2x+y)在图中在图中 G0 上的二重积分。上的二重积分。o xyG0 y=xP Y X xyy xyxyyedxdyeedx dyedy(2)020302213 1.教材教材 104 页页 第第 1
13、 题题；2.教材教材 104 页页 第第 2 题题；3.教材教材 104 页页 第第 3 题题；习题习题 3.1第二节第二节 边缘分布与条件分布边缘分布与条件分布 随机向量随机向量(X,Y)的两个分量的两个分量 X、Y 都是一维随机都是一维随机变量，它们变量，它们自身所具有的概率分布就称为是随机向量自身所具有的概率分布就称为是随机向量(X,Y)关于关于 X 与与Y 的的边缘分布。边缘分布。显然，边缘分布函数被联合分布函数唯一地确定显然，边缘分布函数被联合分布函数唯一地确定 FX(x)=F(x,+)，FY(y)=F(+,y)条件分布是条件概率在随机变量场合的推广条件分布是条件概率在随机变量场合的
14、推广1.离散随机向量的边缘分布律离散随机向量的边缘分布律 设设(X,Y)的联合分布律为：的联合分布律为：P X=xi,Y=yj =p i j ，i、j 1。1.1 X 的边缘分布律的边缘分布律 p i ，i 1 p i =P X=xi =j 1 pi j1.2 Y 的边缘分布律的边缘分布律 p j，j 1 p j =P Y=yj =i 1 pi j一一.随机向量的边缘分布随机向量的边缘分布例例3.2.1 (续例续例3.1.2)从从 1，2，3，4 中随机地中随机地 取一个数取一个数 X，再从再从1，X 中随机地取一个数中随机地取一个数 Y，计算计算 X、Y 各自的边缘分布律。各自的边缘分布律。
15、解解.已经求出已经求出 X、Y 的联合分布律是的联合分布律是:P X=i，Y=j =1/4i，1 j i 4。固定固定i，对对 j 从从1 到到 4 求和，将得到求和，将得到 X 的的 边缘分布律；固定边缘分布律；固定 j，对对 i 从从 1 到到 4 求和，求和，将得到将得到 Y 的边缘分布律。的边缘分布律。利用表格的形式分别把行、列相加，计算离散利用表格的形式分别把行、列相加，计算离散随机向量的边缘分布律更简单方便。随机向量的边缘分布律更简单方便。X Y 1 2 3 41 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16
16、1/16 pi =P X=xi p j=P Y=yj 1/41/41/41/425/48 13/48 7/48 3/4812.连续随机向量的边缘密度函数连续随机向量的边缘密度函数已知已知(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 p(x,y)，x，y +2.1 X 的边缘密度函数的边缘密度函数 pX(x)2.2 Y 的边缘密度函数的边缘密度函数 pY(y)Xpxp x y dy()(,)Ypyp x y dx()(,)练习练习3.2.3 如果如果(X,Y)服从单位圆内的均匀分布，即服从单位圆内的均匀分布，即 p(x,y)=1/，x2+y2 1 问问 X、Y 是否分别还服从均匀分布？是否分别还服
17、从均匀分布？练习练习3.2.2 如果如果(X,Y)服从一个矩形内的均匀分布，密度是服从一个矩形内的均匀分布，密度是 p(x,y)=1/ab，0 x a 、0 y b 问问 X、Y 是否分别还服从均匀分布？是否分别还服从均匀分布？二维均匀分布二维均匀分布例例3.2.4 (X,Y)N(1,2;12,22;)其中其中 x，y +，参数参数 1,2 +；1,2 0；1 1p x yxxyy221222112222121211(,)exp2(1)21()()()()2 二维正态分布二维正态分布 则则 X N(1,12)，Y N(2,22)。二维正态的两个边缘分布都不依赖于参数二维正态的两个边缘分布都不依
18、赖于参数 。例例3.2.5 在例题在例题 3.1.3 中，中，p(x,y)=2 e (2x+y),当当 x 0,y 0；已经计算出联合分布函数：已经计算出联合分布函数：F(x,y)=(1 e 2x)(1 e y),当当 x、y 0。则，边缘密度函数则，边缘密度函数 pX(x)、pY(y)分别是分别是 pX(x)=2 e 2x,当当 x 0；pY(y)=e y,当当y 0边缘分布函数边缘分布函数 FX(x)、FY(y)分别是分别是 FX(x)=1 e 2x,当当 x 0；FY(y)=1 e y,当当 y 0。二二.随机变量的条件分布随机变量的条件分布一般来说，两个随机变量之间有三种关系：一般来说
19、，两个随机变量之间有三种关系：.函数关系函数关系 Y=a+bX，Y=X2 等等；等等；.随机相依关系随机相依关系 身高身高 X 与体重与体重 Y 的关系；的关系；.独立关系独立关系 扑克牌的花色扑克牌的花色 X 与点数与点数 Y 的关系的关系条件分布主要用来研究随机变量的相依关系条件分布主要用来研究随机变量的相依关系1.离散随机向量的条件分布律离散随机向量的条件分布律 pi j、pi 与与 p j 分别是分别是(X,Y)的的联合分布律联合分布律以及两个边缘分布律，以及两个边缘分布律，i、j 1。1.1 如果对某个固定的如果对某个固定的 i，有有 pi 0，则定义则定义 p j|i=，对于所有的
20、对于所有的 j 1 是是 Y 关于随机事件关于随机事件(X=xi)的条件分布的条件分布 pi j pi 1.2 如果对某个固定的如果对某个固定的 j，有有 p j 0，则定义则定义 p i|j=，对于所有的对于所有的 i 1 是是 X 关于随机事件关于随机事件(Y=yj)的条件分布的条件分布 pi j p jX Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 1例例3.2.6 在例题在例题3.1.2
21、与与3.2.1 中讨论的随机取数问题中讨论的随机取数问题 联合分布律是联合分布律是 P X=i,Y=j =1/4i，1 j i 4 显然对于每个固定的显然对于每个固定的 i(1 i 4)，Y 关于关于(X=i)的的条件分布是条件分布是 p j|i=1/i，这里这里1 j i 例如，例如，X 关于关于(Y=1)的条件分布的条件分布 1 2 3 4 12/25 6/25 4/25 3/25X Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/4
22、8 13/48 7/48 3/48 1思考思考1 如何解释这个条件分布？如何解释这个条件分布？例例3.2.7 假定每张彩票一元，中奖概率是假定每张彩票一元，中奖概率是 p(0 p 1)，某人每次只买一张，不停的独立重复购买直到中奖某人每次只买一张，不停的独立重复购买直到中奖 两次为止。两次为止。X 表示他第一次中奖时的消费，表示他第一次中奖时的消费，Y 表示表示 所有的花费，求所有的花费，求 X、Y 的联合分布律与条件分布律。的联合分布律与条件分布律。解解.分析，分析，X、Y 的关系显然是的关系显然是 1 X Y 。要求出联合分布，即对任意两个正整数要求出联合分布，即对任意两个正整数 1 m
23、n，需要计算交事件需要计算交事件 X=m,Y=n 的的概率；概率；其次，根据联合分布律得到边缘分布律后，由条件其次，根据联合分布律得到边缘分布律后，由条件 分布律的定义即可求出两个条件分布律。分布律的定义即可求出两个条件分布律。而交事件而交事件 X=m，Y=n 的含义是：的含义是：这个人买的第这个人买的第m 张与第张与第 n 张彩票中奖，而其它都张彩票中奖，而其它都没有中奖。并且购买过程是一个独立重复试验，每次没有中奖。并且购买过程是一个独立重复试验，每次买到的彩票是否中奖不相互影响。买到的彩票是否中奖不相互影响。第第 m 次购买次购买 第第 n 次购买次购买 q q p q p记记 q =1
24、 p，则则 X、Y 的联合分布律为：的联合分布律为：P X=m,Y=n =p2 qn 2，1 m n。因此因此 X 的边缘分布律，即在买第的边缘分布律，即在买第 m 张彩票张彩票时才第一次中奖的概率，时才第一次中奖的概率，(m 1)P(X=m)=n m P X=m,Y=n =n m p2 qn 2 =p2 qm 1 =p qm 1；11 q 同理同理 Y 的边缘分布律，即在买第的边缘分布律，即在买第 n 张彩票张彩票时才第二次中奖的概率，时才第二次中奖的概率，(n 2)P(Y=n)=m n P X=m,Y=n =m n p2 qn 2 =(n 1)p2 qn 2。再再注意到联合分布律注意到联合
25、分布律 P X=m,Y=n =p2 qn 2，1 m n 对任意固定的对任意固定的 n 2，X 关于关于(Y=n)的的条件分布，条件分布，即在已经知道第即在已经知道第 n 张彩票张彩票是第二次中奖的条件下，前是第二次中奖的条件下，前 n 1 张彩票里究竟哪一张中奖的概率张彩票里究竟哪一张中奖的概率 P X=m|Y=n =，1 m n 1；1n 1 对任意固定的对任意固定的 m 1，Y关于关于(X=m)的的条件分布，条件分布，即已经知道第即已经知道第 m 张彩票张彩票是第一次中奖的条件下，以后是第一次中奖的条件下，以后 购买的购买的彩票里究竟哪一张是再次中奖的概率彩票里究竟哪一张是再次中奖的概率
26、 P Y=n|X=m =p qn m 1，n m+1。思考思考2 这两个条件分布律说明了什么？这两个条件分布律说明了什么？2.2 如果对某个固定实数如果对某个固定实数 y 有有 pY(y)0，则定义则定义 pX|Y(x|y)=，对于所有实数对于所有实数 x 是是 X 关于随机事件关于随机事件(Y=y)的条件密度函数的条件密度函数2.连续随机向量的条件密度函数连续随机向量的条件密度函数 p(x,y)、pX(x)与与 pY(y)分别是分别是(X,Y)的的联合密度函数以及两个边缘密度函数，联合密度函数以及两个边缘密度函数，p(x,y)pY(y)2.1 如果对某个固定实数如果对某个固定实数 x 有有
27、pX(x)0，则定义则定义 pY|X(y|x)=，对于所有实数对于所有实数 y 是是 Y 关于随机事件关于随机事件(X=x)的条件密度函数的条件密度函数 p(x,y)pX(x)例例3.2.8 (X,Y)服从单位圆内的均匀分布，服从单位圆内的均匀分布，p(x,y)=1/，x2+y2 1 在条件在条件(X=x)下，下，Y 是否服从均匀分布？是否服从均匀分布？解解.在练习在练习3.2.4 中，中，已经知道已经知道 X、Y 的边缘的边缘 分布都不是均匀分布。分布都不是均匀分布。xXpxxx22()1,11 因此对于因此对于|x|1，在已知条件在已知条件(X=x)下，下，Y 将服从均匀分布：将服从均匀分
28、布：Y Xpy xxyxx22|21(|),112 1-.Y 关于关于(X=x)的条件分布仍然是正态分布的条件分布仍然是正态分布 N(2+(x 1),22(1 2)，例例3.2.9 已经计算出已经计算出二维正态分布二维正态分布 (X,Y)N(1,2;12,22;)有有 X N(1,12)，Y N(2,22)。2 1.X 关于关于(Y=y)的条件分布仍然是正态分布的条件分布仍然是正态分布 N(1+(y 2),12(1 2)。1 2三三.联合分布、边缘分布与条件分布的关系联合分布、边缘分布与条件分布的关系 与概率乘法公式相比较：与概率乘法公式相比较：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A
29、|B)1.对于离散随机向量对于离散随机向量 pi j =pi p j|i =p jp i|j对于连续随机向量对于连续随机向量 p(x,y)=pX(x)pY|X(y|x)=pY(y)pX|Y(x|y)联合分布与边缘分布的关系如同联合分布与边缘分布的关系如同“整体整体”与与“部部分分”的关系：整体能够决定部分；但是各个部分的的关系：整体能够决定部分；但是各个部分的简单叠加并不一定能构成一个有机的整体。简单叠加并不一定能构成一个有机的整体。2.联合分布能够唯一地决定边缘分布，联合分布能够唯一地决定边缘分布，反之一般情况下从边缘分布得不出联合分布。反之一般情况下从边缘分布得不出联合分布。当当分量相互独
30、立时，边缘分布就可以决定联合分布分量相互独立时，边缘分布就可以决定联合分布3.边缘分布与条件分布本身也是一个分布边缘分布与条件分布本身也是一个分布混合偏导混合偏导二重积分二重积分一阶偏导一阶偏导一重积分一重积分定积分定积分极限极限？FX(x)或或 FY(y)pX(x)或或 pY(y)F(x,y)p(x,y)1.教材教材 104 页页 第第 4 题题；3.教材教材 104 页页 第第 7 题题；2.教材教材 104 页页 第第 5 题题；习题习题 3.2 5.教材教材 106 页页 第第 12 题题.4.教材教材 105 页页 第第 11 题题；第三节第三节 两个变量的独立与函数分布两个变量的独
31、立与函数分布 如果随机变量如果随机变量 X、Y 满足：对所有的实数满足：对所有的实数 x、y，联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积：F(x,y)=FX(x)FY(y)则称则称 随机变量随机变量 X、Y 是相互独立的是相互独立的.(independent,缩写为：缩写为：ind)定义定义3.3.1 两个随机变量的相互独立两个随机变量的相互独立随机变量的独立就是事件独立性的推广随机变量的独立就是事件独立性的推广一一.如何判断随机变量的独立如何判断随机变量的独立 按照独立性的定义按照独立性的定义联合分布函数等于边缘分布函数的乘积。即，联合分布函数等于边缘分布函数的
32、乘积。即，F(x,y)=FX(x)FY(y)例例3.3.1 讨论例讨论例3.1.3中中X、Y的独立性的独立性 (1 e 2x)(1 e y),当当 x、y 0 F(x,y)=0，其它其它注意注意 要判断两个离散随机变量不独立，只需要找到要判断两个离散随机变量不独立，只需要找到 某一对整数某一对整数 i0、j0，使得：使得：pi j pi p j 0 0 0 0 按照随机变量的类型按照随机变量的类型联合分布律等于边缘分布律的乘积联合分布律等于边缘分布律的乘积.即，即，pi j =pi p j 对全部对全部 i、j 成立成立 两个离散随机变量的独立两个离散随机变量的独立例例3.3.2(续续)从从
33、1，2，3，4 中随机地取一个数中随机地取一个数 X，再从再从 1，X 中随机地取一个数中随机地取一个数 Y，判断判断 X、Y 是否独立？是否独立？解解.联合分布律以及边缘分布律是：联合分布律以及边缘分布律是：显然显然 X、Y 不独立。不独立。X Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 1例例3.3.3 在例在例3.2.7 中，某人独立重复买彩票直到中，某人独立重复买彩票直到 两次中奖为止。两
34、次中奖为止。X 是首次中奖时的付出，是首次中奖时的付出，Y 是第是第 二次中奖时二次中奖时(即全部的即全部的)的支出金额。的支出金额。问问 X、Y 是否是相互独立的？是否是相互独立的？解解.已经计算出联合分布律与边缘分布律分别是：已经计算出联合分布律与边缘分布律分别是：pm n=P X=m,Y=n =p2 qn 2，1 m n；pm =P (X=m)=p qm 1，m 1；p n =P (Y=n )=(n 1)p2 qn 2，n 2;因此因此 X、Y 不独立。不独立。补充补充 Y X 不仅与不仅与 X 独立，而且分布也相同独立，而且分布也相同两个连续随机变量的独立两个连续随机变量的独立联合密度
35、函数等于边缘密度函数的乘积联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。即，。即，p(x,y)=pX(x)pY(y)对全部对全部 x、y 成立成立 补充补充 连续随机变量连续随机变量 X、Y 相互独立，当且仅当：相互独立，当且仅当：对所有实数对所有实数 x、y，联合密度函数能够分解成：联合密度函数能够分解成：p(x,y)=g(x)h(y)的形式的形式。并且，边缘密度函数可以直接写出：并且，边缘密度函数可以直接写出：pX(x)=C1 g(x)，pY(y)=C2 h(y)这里这里C1、C2 是常数因子。是常数因子。例例3.3.4 在例在例 3.1.3 中中 X、Y 的联合密度是：的联合密度是：因此因此 X、
36、Y 相互独立。相互独立。2 e (2x+y),当当 x 0,y 0p(x,y)=0，其它其它例例3.3.5 在练习在练习3.2.3中，中，(X,Y)服从单位圆服从单位圆 内的均匀分布，即内的均匀分布，即 p(x,y)=1/，x2+y2 1 因此因此 X、Y 不不独立。独立。例例3.3.6 已知已知 X、Y 的联合密度是：的联合密度是：4xy,当当 0 x,y 1(1)p(x,y)=0，其它其它 8xy,当当 0 x y 1(2)p(x,y)=0，其它其它 因此因此 X、Y 相互独立相互独立X、Y 不独立不独立例例3.3.7 X、Y 服从服从二维正态分布二维正态分布 (X,Y)N(1,2;12,
37、22;)证明证明 X、Y 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是 =0。证明证明.(充分性充分性)已知参数已知参数 =0，因此因此 X、Y 相互独立；相互独立；(必要性必要性)已知已知X、Y 独立独立，特别取，特别取 x=1、y=2 ，根据根据 p(1,2)=pX(1)pY(2)因此可以证明因此可以证明 =0。补充补充 条件分布等于无条件分布也蕴涵了独立性条件分布等于无条件分布也蕴涵了独立性 p j|i=p j 或者是或者是 p i|j=pi ；pY|X(y|x)=pY(y)或者是或者是 pX|Y(x|y)=pX(x)思考思考1 随机事件随机事件 A、B 相互的独立。相互的独立。思考
38、思考2 如何定义若干个随机变量的相互独立？如何定义若干个随机变量的相互独立？二二.如何应用随机变量的独立如何应用随机变量的独立 两个随机变量的独立可以理解成：两个随机变量的独立可以理解成：与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的(1)大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：从各自的从各自的(边缘边缘)分布得到联合分布。分布得到联合分布。(2)可以证明，如果可以证明，如果 X,Y 相互独立，相互独立，g()与与 h()都是连续都是连续(或者单调或者单调)函数，那么函数，那么 g(X)与与h(Y)也是相互独立的
39、随机变量。也是相互独立的随机变量。例例3.3.8 在第一节随机向量与联合分布中的思考在第一节随机向量与联合分布中的思考4，假如假如 X 有密度函数有密度函数 pX(x)，Y 有密度函数有密度函数pY(y)，构造构造出的二元函数出的二元函数 p(x,y)=pX(x)pY(y)是否是一个联合密是否是一个联合密度函数？度函数？解解.这个二元函数满足联合密度函数的要求，这个二元函数满足联合密度函数的要求，因此肯定是一个随机向量的联合密度函数。因此肯定是一个随机向量的联合密度函数。实际上这个随机向量就是实际上这个随机向量就是(X,Y)，而且而且X 与与 Y 是相互独立的随机变量。是相互独立的随机变量。在
40、概率论中随机变量的相互独立性很多时候是在概率论中随机变量的相互独立性很多时候是用于构造随机向量。用于构造随机向量。例例3.3.9 例例1.4.2 讨论了两人约好讨论了两人约好7 点到点到 8 点见面，点见面，先到者等先到者等20 分钟就离开，求两人能够见面的概率。分钟就离开，求两人能够见面的概率。以以 x，y 分别表示分别表示两人到达的时间，两人到达的时间，他们能见面的充要条件他们能见面的充要条件是是|x y|1/3，即，即图图中两条直线间的部分中两条直线间的部分 A 11 o x yS 1/3 1/3 A x y =1/3 x y =1/3 p =1 =。A 的面积的面积 S 的面积的面积
41、4 5 9 9解解.以以 X、Y 分别表示甲、乙的到达时间，它们都是分别表示甲、乙的到达时间，它们都是 服从区间服从区间(0,1)上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量。并且根据题意，并且根据题意，X、Y 相互独立，联合密度函数是相互独立，联合密度函数是 p(x,y)=1，0 x,y 1两人能够见面的概率，也就是：两人能够见面的概率，也就是：p=P|X Y|1/3 x yxyp x y dxdy0,1|1/3(,)根据面积来计算根据面积来计算这个二重积分，就是这个二重积分，就是几何概率的做法，几何概率的做法，而且非常简单。而且非常简单。y xxyxyyxdxdydxdy01011/31/3
42、因此，他们两人能够见面的概率是：因此，他们两人能够见面的概率是：y xxyyyypdxdydx dydx dy011/31/32/31102/322 =2 +(y )=2(+)=。2 y29 22 1 4 59 2 9 9 12/3三三.两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 如果如果(X,Y)的联合分布是的联合分布是已知，对于给定的已知，对于给定的 一个二元函数一个二元函数 g(,)，如何去计算新的随机变量如何去计算新的随机变量Z=g(X,Y)的分布？的分布？例如，丈夫买了例如，丈夫买了 3 张彩票而妻子独立买了张彩票而妻子独立买了5 张，张，则一共买的则一共买的 8 张彩票里中奖张数
43、的分布？张彩票里中奖张数的分布？思考思考3 一般假定误差随机变量服从一般假定误差随机变量服从 N(0,2)，讨论讨论若干次测量的误差总和。若干次测量的误差总和。当当(X,Y)是离散随机向量时，是离散随机向量时，首先确定首先确定 Z=g(X,Y)所有可能的取值所有可能的取值 g(xi,yj)，相应的概率是相应的概率是 pi j；其次，把所有取相同值的其次，把所有取相同值的 g(xi,yj)对应的概率相加。对应的概率相加。例例3.3.10 X、Y 独立同分布于参数独立同分布于参数 p 的两点分布，的两点分布，(1)Z1=X+Y 服从二项分布服从二项分布 B(2,p)；(2)Z2=XY 服从参数服从
44、参数 p2 的两点分布；的两点分布；(3)Z3=X Y 的分布律是：的分布律是：Z3 1 0 1 pk pq p2+q2 pq 当当(X,Y)是连续随机向量时是连续随机向量时 根据联合密度函数根据联合密度函数 p(x,y)计算一个二重积分，得到计算一个二重积分，得到 Z=g(X,Y)的分布函数的分布函数 FZ(z)；把把 FZ(z)对对z 求导求导 则能够得出则能够得出 Z=g(X,Y)的密度函数的密度函数 pZ(z)。FZ(z)=P g(X,Y)z 计算两个随机变量函数分布的关键问题：计算两个随机变量函数分布的关键问题：这个二重积分能够被计算出来，或者是能够这个二重积分能够被计算出来，或者是
45、能够被转化为二次积分的形式。被转化为二次积分的形式。g x yzp x y dxdy(,)(,)1.两个离散随机变量和的分布律两个离散随机变量和的分布律 例例3.3.11 计算掷出的两个均匀骰子点数和的分布律。计算掷出的两个均匀骰子点数和的分布律。解解.分析，分析，以以 X、Y 分别表示这两个骰子掷出的点数，则分别表示这两个骰子掷出的点数，则 X、Y 相互独立，具有相同的分布：相互独立，具有相同的分布：P (X=i)=P (Y=i)=1/6,当当 1 i 6；需要计算随机变量需要计算随机变量 Z =X+Y 的分布律。的分布律。Z 所有可能的取值是所有可能的取值是 2，3，11，12。并且，。并
46、且，X Y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12由于由于 X、Y 的联合分布律是的联合分布律是 P X=i,Y=j =1/36，1 i,j 6 因此因此 X+Y，即这两个骰子点数和的分布律为即这两个骰子点数和的分布律为Z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12pk 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 136 36 36 36 36 36 36 36 36 36 362.连续随机变量和的密度公式连续随机变量和的密度公式
47、 假定已知假定已知 X、Y 具有联合密度函数具有联合密度函数 p(x,y)，则则 Z=X+Y 的概率密度函数是如下积分：的概率密度函数是如下积分：特别的，当特别的，当 X、Y 独立时，有公式：独立时，有公式：Zpzp x zx dxp zy y dy()(,)(,)ZXYXYpzpx pzx dxpzy py dy()()()()()例例3.3.12 X、Y 独立同分布于均匀分布独立同分布于均匀分布U(0,1)，是否是否 Z=X+Y 仍然服从均匀分布？仍然服从均匀分布？解解.根据独立性，根据独立性，X、Y 的联合密度函数是的联合密度函数是 pX(x)pY(y)=1，0 x,y 1 对于任意实数
48、对于任意实数 z，Z=X+Y 密度的表达式是：密度的表达式是：ZXYpzpx pzx dx()()()要要使得被积函数不等于使得被积函数不等于 0，因此必须有，因此必须有 0 x 1 与与 0 z x 1 同时成立，同时成立，即，即，0 x 1 与与 z 1 x z 同时成立同时成立 当当 z 0 或或 z 2 时，显然有时，显然有pZ(z)=0；当当 0 z 1 时，积分的区间是时，积分的区间是 0 x z，因此，因此，pZ(z)=z；当当 1 z 2 时，积分的区间是时，积分的区间是 z 1 x 1，因此，因此，pZ(z)=2 z；z，0 z 1，pZ(z)=2 z，1 z 2，0，其它其
49、它 o zpZ(z)11均匀分布的和不再服从均匀分布均匀分布的和不再服从均匀分布例例3.3.13 已知已知 X、Y 独立同分布于独立同分布于N(0,1)，则则 Z=X+Y 的密度函数是的密度函数是zzp zee2242 211()222 即，即，Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2)。一般地，如果一般地，如果 X、Y 相互独立，并且有相互独立，并且有 X N(1,2)，Y N(2,2)，则则 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(1+2,2 2)分布的分布的“可加性可加性”(1).正态分布对两个参数都具有可加性正态分布对两个参数都具有可加性 更一般的，有限个相互独立的正态更一般
50、的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。随机变量的线性组合仍然服从正态分布。如果如果 X、Y 相互独立，并且相互独立，并且 X N(1,12)，Y N(2,22)，则则 X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(1+2,12+22)。(2).二项分布对于参数二项分布对于参数 n 具有可加性具有可加性二项分布可以表示成两点分布随机变量的和二项分布可以表示成两点分布随机变量的和 如果如果 X1、X2、Xn 相互独立同分布于相互独立同分布于B(1,p)，则有则有 X=X1+X2+Xn B(n,p)。如果如果 X B(n,p)，则可以分解则可以分解 X=X1+X2+Xn。如果如果 X、
