1、前言 本章在标准框架下讨论H控制问题的求解。H控制理论可分为频域方法和时域方法。本章开始介绍时域方法。时域状态空间方法包括Riccati方法和LMI(Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式)方法。本章将重点介绍理论上成熟的Riccati方法（包括状态反馈求解方法和输出反馈求解方法），并对近年非常流行的LMI方法进行必要的讨论。本章内容 一、问题的提出 二、H标准控制问题 三、Riccati方程和H范数 四、状态反馈H控制 五、输出反馈H控制 六、参数不确定系统的鲁棒H控制 七、可靠H控制一、问题的提出根据LQ最优调节器的性质，LQ（LQG）状态反馈系统的幅值稳定裕度为
2、0.5，而相角稳定裕度大于等于+-60o.LQG控制系统具有一定的相对稳定性，但LQG控制系统甚至LQ最优调节器对被控对象的模型摄动（模型误差）的鲁棒稳定性在某些场合很差。如果被控对象不是由一个确定的模型来描述的，而仅知道其模型属于某个已知的模型集合；外部信号（包括干扰信号、传感器噪声和指令信号等）不是具有已知特性（如统计特性或能量谱）的信号，也仅知道其属于某个已知的信号集合。在以上两种情况下，控制系统的设计如果采用传统的H2性能指标，在某些场合不能满足实际的需要。例 0022023,12,0,(6.1)101,1 1.021,0,(6.2)1522 524sSISOP sssx tAx tb
3、u txxy tCx tABCJytrutdt rJuKx tKqqqq 考虑被控对象，其传递函数为其状态空间最小（能控、能观测）实现为，其中取二次型性能指标为可求得使性能指标 达极小得状态反馈控制律为其中1,4.(6.1)(6.2)qrLQo根据最优调节器的性质，由和构成的状态反馈闭环系统具有大于0.5的稳定幅值裕度，大于等于60 的相角稳定裕度.0,.10.1101(4.1.2).oP sP ssP ssssP jP jsbbb 下面考虑如下形式的模型摄动：其中为摄动后的实际的被控对象传递函数，为模型误差，其中 为一实数亦即对于，有上述摄动的状态空间实现表现为 矩阵的摄动由摄动后的被控对象
4、的状态空间实现和式的闭环反馈控制律，构成一个闭环系统可以求得该闭环系统具有两个闭环极点，这121220,1 20.50rpqpppp 两个闭环极点当控制能量较小 时，可见，当时，和 均为实数，且越小，越大,也就是说，被控对象的微小模型摄动会使该闭环系统具有很大的不稳定的正实极点.H控制理论发展控制理论发展 1981年，Zames提出以控制系统的某些信号间的传递函数（矩阵）的H范数作为优化性能指标的设计思想 1982年，Doyle针对H性能指标发展了“结构奇异值”来检验鲁棒性，极大程度地促进了以范数为性能指标的控制理论的发展 Youla等人提出的控制器参数化，使Zames的H性能指标以及 Doy
5、le的结构奇异值理论揭开了反馈控制理论的新篇章 H控制理论蓬勃发展：从频域到时域、定常系统到时变系统、线性系统到非线性系统、连续系统到离散系统、确定性系统到不确定系统、无时滞系统到时滞系统、单目标控制到多目标控制 目前线性系统的H控制理论已经基本成熟，形成了一套完整的频域设计理论和方法，而时域状态空间的Riccati方法和LMI方法，由于具有能揭示系统的内部结构、易于计算机辅助设计等优点而倍受重视二、H标准控制问题 问题的定义 工程实际中，许多控制问题可归结为H标准控制问题 干扰抑制问题 跟踪问题 鲁棒稳定问题问题的定义GKwzyu121111222122,.nmqrpGxAxBwB uzC
6、xD wD uyC xD wD uxR zRyR wR uR广义被控对象 的状态空间实现为:其中相应的传递函数矩阵为 1211122122111122212211122122111122221,zwABBGsGsG sGsGsCDDCDDGsGszwwG sGsGsyuuuK s ywzTsLFT G KGG K IG KG 即我们有：于是，图中从 到 的闭环传递函数阵为图1 定义定义1（H最优控制问题最优控制问题）定义定义2（H次优控制问题次优控制问题）注：注：0minzwzwKKTsHTs求一正则实有理控制器，使闭环系统内稳定且使传递函数阵的极小，即 0zwKTs求一正则实有理的，使闭环系
7、统内稳定，且使其中01.HH如果以上两种控制问题有解，我们可以通过逐渐减小 去逼近，即由次优控制问题的解去逼近最优问题的解2.不失一般性，常取=13.H 问题难以求解。本章主要讨论次优控制问题的各种解法，并将其称为标准控制问题干扰抑制问题干扰抑制问题G0Kdru+y 22,1.Dd dW s v vHvW svW sd其中是稳定的实有理函数，称为权函数，用来反映在期望的频段上对干扰的抑制能力。上式表示一个能量有限的干扰信号 通过权函数形成系统的干扰输入 222sup,1K sJyvHv设计控制器，使闭环系统内稳定，且使极小 10222222222sup,1sup,1sup,1yvyvyvyvy
8、IGs K sdTs W s vyvHvTs W s vvHvTs W s vvHvTs W s 2yvDdyHTs W sHH可见，对于给定集合 中的任意，使 的范数极小的问题，便转化为使的范数极小的问题，从而，干扰抑制问题转化为图1所示的标准控制问题。图2 0000000023zyvyWvWGG uGrurzWvGruuKyWGGG sWGGHvwr 注意到图 干扰抑制系统中，于是有由此得广义被控对象的传递函数阵其标准控制的结构框图如图 所示，图中外部输入信号WKG0G0Gzyuvrw+图3跟踪问题跟踪问题PC2ruvC1Ww+图4 12121222,1P sC CuruC rC vCCv
9、rRr rWw wHw 被控对象，分别为前馈和反馈控制器。由于增加了设计的自由度，也称为二自由度系统。为控制信号，由图有参考输入 被跟踪信号并不是一个已知确定信号，而是属于某个能量有限信号的集合12222222222222-.sup,CCrvrvurvzuzzwHw设计的目标是：选择控制器和，使跟踪误差取极小。但追求这一目标所得的控制器会成为一非正则的控制器，控制信号的幅度成为无穷大，无法实现。若在目标函数中增加一个能量的惩罚项，便可保证控制器成为正则有理函数。因此，在跟踪问题中取作为目标函数，其中 为权因子。若令，则上述目标函数等于于是跟踪问题归结为目标函数1的极小化问题。121112122
10、122110,00,0rvHzurywuvrvWPzuIwruCCyrWuvvPGKGGGKCCGGWG 为将跟踪问题化归为标准控制问题，取为被控输出，为量测输出，为外部输入信号，为控制信号。可得广义被控对象和控制器方程为相应的 和 为：1221220,0PWGGGIPH 其标准控制的结构图如图5所示。WPC1C2IwrG+r-vuzrvy+uK图5鲁棒稳定问题鲁棒稳定问题 00,A PrP sP ssjr j，s 0P s K s P syr图6 0,P sr sK sP sA P rK s设、和控制器给定。若，该系统是稳定的，则称系统是鲁棒稳定的，且称为鲁棒稳定控制器。定义定义3 106G
11、 sIK s P sK sRH由定义知，图 所示系统鲁棒稳定的必要条件是标称闭环系统=0 是稳定的。此条件等价于传递函数矩阵 s G s图7 1067.1(6.3)G sRHsRHNyquistr sIK s P sK s图 所示的系统可以等价地表示为图因此，如果，且，则由小增益定理判据 可知，该系统鲁棒稳定的一个充分条件是：0006011GrGr s G sK sA PrP sA PrsPs这是因为如果上式成立，则即小增益定理成立。事实上，可以证明以下定理：设和，给定，且任意，的在 闭右半平面的极点个数与 的相同，则图 所示闭环系统鲁棒稳定的充分必要条件是当时，标称系统稳定，且(6定理.3)
12、式成立011001008,1zwzwrIGIPHKGwzTLFT G Kr IKPKrK IP KHTr IKPK若定义广义被控对象为，则鲁棒稳定问题化为图 所示的标准控制问题，即选择 使 稳定，且使从 到 的传函阵的范数满足wzuyKrI0PG图8三、Riccati方程和H范数 Hamiltonia矩阵与Riccati方程的解 H范数的计算 Riccati方程与H范数 Riccati不等式与H范数Hamiltonia矩阵与矩阵与Riccati方程的解方程的解220TTTnnn nn pq nTTTPAA PPBB PRiccatiHABBHC CAACBRRCCRCB考虑代数方程和相应矩阵，
13、、均为常阵，且 为列满秩，行满秩定义定义411*12200TnTnnnHJH JHJH JHIHHamiltoniaJJJJI 如果阵满足：则称 为矩阵，其中，称为逆反对称矩阵。0HamiltoniaRiccatiIPI HP 矩阵和方程的关系：,1,2,1,2,.iiHamiltoniaHHHinHinH若矩阵没有虚轴上的特征值，则矩阵具有性质：若则即 的特征值以虚轴、实轴为对称。引理引理12222111121112121222122,0:,0,06.40Re0,TTTnnHn nHHHnnHHHHHABBA BC AHC CAJHJordanHJJCJHWWWWWJWHWHWWWWJJJJ
14、若系统能稳定，能检测，则矩阵没有虚轴上的特征值，且 的形为、即存在 的非奇异特征向量阵使有其中是由的对角元素1122-1JordanWW乘以构成的形矩阵。且和非奇异。引理引理2定理定理2121110Re0,00TTTTTPAA PPBB PCRiccatiPPW WABB PA BC AC ACP代数矩阵方程存在唯一解，且使的充分必要条件是能稳定，能检测。若还有能观测，则有定理定理2的证明的证明 2211111121211111121,26.46.561.6TTTnnHHA BC AABBHWC CAWWWHJWWWWHWW JW若能稳定，能检测，则由引理 可知，矩阵没有虚轴上的特征值，并存在
15、，使式成立。其中可逆，由式 6.4，可得记，则上式充分性解的存在为性。可写 11211111212111111211111111121112111211121111121112111111211121112111216.56.76.76.76.7,THTTHTHTTHTTAWBB WW JaC CWA WW JbaWW WbWW WAW WBB W WW J WC CA W WW J WW WAAW WW WBBW W由式，得将右乘，左乘，式右乘则有上两式相减，得：111121110-0TTTTC CPW WPAA P PBB PC C因此，是方程的解。定理定理2的证明（续）的证明（续）定理定
16、理2的证明（续）的证明（续）11*11*1111*11*112121111211106.6006.82TTHHHJH JHJH JHH JJHWWJ W JWW JW JJW JWW WW WPW W 由，有将上式左乘，右乘，并考虑到式，则有因为没有虚轴上的特征值，所以要使上式成立，必有即有即解的对称性。解是对称的。11111211111116.7Re0Re03TTHTTHTaWABBW WABB PW J WJABB PABBABB PP将右乘，则有因为，所以为稳定阵，即为稳定阵。定理定理2的证明（续）的证明（续）*22*0,.2Re6.9,4TTTTTTTTTTTTTTTRiccatiPA
17、A PPBB PC CABB PPP ABB PCCPBB PABB PABB PPPCCPBB PPC CPBB PCB PA BC AC *将方程改写为如下形式设向量 满足用左乘、右乘上式，则有由此有因为能稳定，能检测，所负定性。以解的非00Re0.0.TB PP、，而从而必有定理定理2的证明（续）的证明（续）12111122221211212212000Re0,Re0.06.100,1,2,5,6TTTTTTTTTTTTTTTTijPPPAA PPBB PC CPAA PPBB PC CP AA PP BB PC CABB PABB PABB PPPPPABB PABB PABB Pi
18、jn设 和 均为方程的解，则有且均有将以上两式相减，再整解的唯理，得：因为所性。以方程一1212.100.PPPP必有唯一解，且解，即解的唯一性得证.定理定理2的证明（续）的证明（续）11000,000Re0,Re0.TTTTTTTTTTTTTPAA P PBB P C CPIITTP IP IA BB PBBIIABBT HTP IP IC CAA BB PA BB PA BB PPRiccatiHim若方程存在解，则若取非奇异变换阵式中上式表明，若 为上述方程的解，必则要性。12.3,6.90,0,Re0,0.,0TTTTTABBiltoniaHC CAA BC AA BC ACB PA
19、BB PPA BC AP矩阵没有虚轴上的特征值。如此，根据文献18的引理，系统能稳定，能检测。若系统能稳定，能观测，则由式可知，而因此同时，能稳定，能检测也是的必要条件最后，。证毕。006.116.12,0306.120TTTTTTn nTTABB PRiccatiPAA PPBB PC CPRiccatiAMHamiltoniaHQAA M QRMMQQA PPAPMPQMMQH 一般，我们称使稳定的方程的解为。对于更一般的矩阵方程和相应的矩阵，其中，或，对 没有正稳定解定理：定或负定的限制，则有如下的定理：若式的矩阵 没,6.11Re0.TA MPPAMP有虚轴上的特征值，且能稳定，则方程
20、存在唯一对称解，且 此定理的证明类似于定理2，见文献 18。22222212122216.13.6.136.1306.50143TTRiccatiAQMnnQMRiccatiPMQPQQQPPPP AAPP M PPAAPPM PQQP最后，考虑如下形式的方程其中、和是给定的维矩阵，且对称，正定对称方程的正定解 关于系数矩阵和有如下单调性定理：设 是方程的正定理：定对称解，是满足的对称阵，则存在正定对称阵，满足和定理设 是方：程的正定对112120TMMMPPPP AAPP M PQ称解，是满足的正定对称阵，则存在正定对称阵满足和H范数的计算范数的计算 p,suG sG sRHG sRLG s
21、GGsj 根据第二章的内容，无论系统的传函阵还是其的计算均可按下式进行：实际上，当为标量函数时，可按上式计算，而当是矩阵函数时，按上式计算是很麻烦的。为此，我 们寻找计算的其他途径。2,6.140166.5TTTG sRHG sA B C DAHamiltoniaABBHCCA设严格正则传函阵，其状态空间实现为其中 为稳定阵。令，定义矩阵有如下定理则：6.615G sG sH对如上定义的，的充分必要条件是由式定义的矩阵没有虚轴上的定理：特征值。定理定理6的证明的证明 -1-1111,0,6.1606.151.,00TTTTTGG BBBIGs G sHBIHGsGsGsPBHBAj IBBBr
22、ank Hj IrankC CAj I 不失一般性，可取若，可将 改写为改写为。根据线性系统运算规则，我们有：其中 如式取，而定义为由线性系统能控性的判据，我们有：000002,0TTTTTIIBIAj IBBBranknRC CAj IAAj IAj I最后一个等式成立是因为 为稳定阵，即和均满秩。定理定理6的证明（续）的证明（续）026.1516.1610,TTBPBHranknHj IHIGs G sHG sIGjG jIGs G sH同理，由能观性的判据，有因此，式的矩阵在虚轴上没有不能控和不能观特征值，即式在虚轴上不出现极、零点对消。故在虚轴上具有零点的充分必要条件为在虚轴上具有特征
23、值。设，则由最大奇异值的性质，有故在必要性。虚轴上无零点，因此，在虚轴上无特征值。充分性。000000 sup11,1TTG sG jRG jGjG jIGjG jjH00如果，则由奇异值的连续性，存在，使得这就意味着具有特征值，而为奇异阵反证。即是 的。特征值。证毕证毕 12623111,1G sHabG sG sbG saStepStabStepSabtppeG se-1-1-1定理 提供了一个近似计算严格正则传函阵的范数的搜：索过程。具体算法如下：取根据定理6，检验是否有若，则令若，则令若则返回若，则计算结束，最后得：,0G sRLG sA B C DADG sH对于正则的传函阵，即其状
24、态空间实现为，其中 为稳定阵，则的范数的计算可按如下定理进行：66.18TMMMMTTMMMAB BHamiltoniaHC CA根据定理，不等式等价于矩阵没有虚轴上的特征值。111122211226.170016.871TMMMTTTMMTTMMG sG sC sIABDID DCsIABAABID DD CBBID DCIDID DDCA2定设如式所定义，则存在，使的充分必要条件是：其中，且为理：稳定阵。Riccati方程与方程与H范数范数 116.1900TTTTG sC sIABAG sRiccA PPAPBBatiPAB PCBPC：设严格正则传递函数矩阵，且 为稳定阵，则的充要条件
25、是方程有非负定定解，且为理8稳定阵。121116.1902261,26.190Re0.TTRiccatiPABB PG sAAA BC ARiccatiPW WABB P设方程存在非负定解，且为稳定阵，则由定理、引理 和定理 可推得事实上，由已知条件 为稳定阵，即 没有位于右半平面的不能控和不能观特征值，因此能稳定，能检测，由定理，证方程存在非负定解明：充分性。必使要性。，且80,RiccatiPC A定理 中，为了得到方程的正定解，需要附加条件能观测。可以将定理8重述如下：1,16.190,0.1TG sC sIABAG sRiccatiPABB PC AP 设严格正则传递函数矩阵且 为稳定
26、阵，则的充分必要条件是方程有非负定解，且为稳定阵。如果还有能观测，则推论：1,06.2089G sC sIABD D对于一般的正则有理传递函数矩阵则定理 可推广为定理：111116.201106.2100.9TTTTTTTTTG sDAG sRiccatiP ABR D CABR D CPPBR B PCIDR DCPABRB PD CRID D：设由式给定，且 为稳定阵，则的充分必要条件是方程具有非负定解，且为稳定阵。其中定理Riccati不等式与不等式与H范数范数 11HKHG ssGG ssG ss回顾标准控制问题的定义，设计控制器，不但使闭环传递函数阵的范数满足设计要求，而且使闭环系统
27、内稳定。上小节，仅是传递函数阵在 闭右半平面解且析的前提下，在给出闭了的充分必要条件。本小右半平面解析节将给出的充分必要条件。110061.220TTTG sC sIABAG sPRiccatiPAA PPBB PC C设严格正则有理传递函数阵，则 为稳定阵，且的充分必要条件是存在正定阵满足不等式定理：106.2206.230.6.2300010TTTTTTTTTTPQPAA PPBB PC CPAA PQQQPBB PC CLyapunovAIGs G sIC sIABAC CABCBBA 设存在满足，令则其中故由式和理论，得 为稳定定理的证明：充阵。易验证其分性。中，定理定理10的证明的证
28、明(续续)111226.24,.06.2506.25,TTTTTTTTTTTTATATBTB CCTIPTIIGs G sIC sIABPBAA PPAC CABCBB PBALA PPAC CQPBB PIGs G sNs N sIB PL PB 对式右端进行相似变换其中得其中，令，由式，经代数运算可得 116.26sjN sL PBL sIAB 其中定理定理10的证明的证明(续续)12111116.276.266.270,sup1.10,00,TTTTTTTTTTTIB PL PBIB PQ PBIGjG jG sG jAG sIBsIAC C sIABsjIBsIAC CsIABsjCC
29、I 根据矩阵求逆引理，得：由和得：故必要性。设 为稳定阵，且，则因此，存在充分小正数，使得其中定理定理10的证明的证明(续续)11806.280,6.28,00.TTTTTTTTMMMTMTTTCsIABRiccatiA PPAPBB PC CIMPBB PC CIMC CCPBCA PPAMACALyapunovPA PPAPBB PC CI 上式表明：因此，由定理 可知，方程有解。令，则式可以表示为因为 为稳定阵，且可验证能观测，故由稳定性理论得且证毕。9类似定理，对于一般的正则有理传递函数阵，上述定理可以推广为：11111.11006.2119TTTTTTTG sC sIABD AG s
30、DPRiccatiP ABR D CABR D CPPBR B PCIDR DCRID D设为稳定阵，且的充分必要条件是，且存在正定阵，满足不等中定其理：式10116.226.29126.22RiccatiRiccati关于定理和定理 中不等式和的求解，可将其转化为方程。定理给出了的这种转化的证明。11111006.212006.300.2TTTTTTPRiccatiPAA PPBB PC CRiccatiPAA PPBB PC CIP存在正定阵满足不等式的充分必要条件是存在充分小正数，使得方程有正定解定理：11106.306.306.2206.22.06.2206.3106.3106.325
31、,6.32TTTTTTTPPPRiccatiPRiccatiQPAA PPBB PC CZPZ C CQ ZZAAZBBRiccatiZC CQ 如果存在，使得有正定解，充分性。必要比较式和式可知，满足不等式设存在正定阵，满足不等式，令并且，令，则由式，得由定理方程的正定解 关于系数阵性。具 min111111min11006.336.30.TTTQZZZC CI ZZ AAZBBPZ有单调性，于是可知，对于充分小的正数，存在正定阵，使得其中表示最小特征值。故满足式证毕。定理定理12的证明的证明 211*06.3006.300,16.3143mmmRiccatisIABTsTjTjIGjG j
32、如果存在，使得方程有正定解，那么存在，使得方程对于任意有正定解，且其中定理：0116.30011000,6.35TTTTTRiccatiAG sIBsIAC CsIABsjCCI 设方程对于给定的具有正定解，则由定理12和定理10，为稳定阵，且 所以，同定理的证明类似，存在充分小的，使得其中定理定理13的证明的证明 112111sup16.3716.38,6.3806.351816.30mjABTjsIABTsACACsIAB因此，有或等价的，由于 稳定且能观测，对于满足的任意，式成立，即由定理推论，方程有正定解。证毕。定理定理13的证明（续）的证明（续）22220,0sup1.16.196.222106.392106.40HRiccatibG sabsabbG ssG sjaaG sabAaBbCRiccatiRiccatiR Pb PaPR Pb PaP 例：以如下标量函数说明范数与方程及不等式之间的关系。设显然，在 闭右半平面解析且所以，当且仅当记，则方程和不等式分别为：22122222216.390,06.40,aabPbaabPbRiccatiPPPRiccati实际上，式有正定解而不等式的正定解为如图所示。可见，方程和不等式分别是标量二次方程和二次不等式到矩阵变量情形的推广。R PP1P2P10
