1、第三章第三章 函数函数 3.2.1 3.2.1 函数的单调性函数的单调性3.2 3.2 函数的性质函数的性质 观察某地某日气温时段图（图在46页），回答下列问题。（1）时，气温最低为 ，时，气温最高为 （2）随着时间的增加，在时间段 0时到6时的时间段内，气温 不断地 ；6时到14时 这个时间段内，气温不断 地 62.21412.5上升上升下降下降2.2,12.5值域为下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.121312.39:3012,13值域为xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1)()
2、1f xx 1 12(2)()f xx 1.从左至右图象从左至右图象 2.在区间在区间(-,+)上，随上，随着着x的增大，的增大，f(x)的值随的值随着着 2.(0,+)上上从左至右图象从左至右图象，当当x x增大增大时时f(x)f(x)随着随着 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上从左至右图象从左至右图象 当当x x增大增大时时f(x)f(x)随着随着 减小减小思考思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量自变量x的值增大时的值增大时,函数值函数值 是如何变化的？是如何变化的？()f x新课探究新课探究上升上升增大增大xyo-1-1xOy
3、1 11 12 24 4-1-1-2-2(1)()1f xx 1 12(2)()f xx1 1 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图象在该区间内逐渐上升；图象在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图象在该区间内逐渐下降。图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性思考思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？对某区间内对某区间内 任意任意 x1，x2
4、，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间(0,+)逐渐上升逐渐上升在在区间区间(0,+)内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f(x1)f(x2)1 2221方案1：在区间（0,)上取自变量1，2,12,f(1)f(2)f(x)在(0,+)上,图象逐渐 上升 y方案2:在在(0,+)内取任意的内取任意的x1，x2 且且x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)对某区间内对某区间内 任意任意 x1，x2，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间(0,+)逐渐上升逐渐上升在在区间区间(0,+)内内随着随着
5、x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f(x1)f(x2)1 2221方案1：在区间（0,)上取自变量1，2,12,f(1)f(2)f(x)在(0,+)上,图象逐渐 上升 y方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在在(0,+)内取任意的内取任意的x1，x2 且且x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)对某区间内对某区间内 任意任意 x1，x2，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间(0,+)逐渐上升逐渐上升在在区间区间(0,+)内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f(x1
6、)f(x2)1 2221y(0,+)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D,对对D内内某个区间某个区间(a,b),(a,b),定义定义如果对于如果对于(a,b)(a,b)上的上的任意任意 两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，(a,b)称为称为 f(x)的的增区间增区间.那么就说那么就说 f(x)在该区间上在该区间上 是单调是单调增函数增函数，那么就说在那么就说在f(x)这个区间上这个区间上减减函数函数，Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(
7、x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D 如果对于属于定义域内如果对于属于定义域内某个区间某个区间(a,b)上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D 如果对于属于定义域内如果对于属于定义域内某个区间某个区间(a,b)上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是这个区间上是增函数增函数，增区间增区间当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，当当x1单调区间单调区间如果函数如果函数 y y=f f(x x)在区间在区间(a,b)是单调增函数或单调减函数，是
8、单调增函数或单调减函数，那么就说函数那么就说函数 y y=f f(x x)在区间在区间(a,b)上具有单调性。上具有单调性。(a,b)称为称为f(x)的的(a,b)称为称为f(x)的的 减区间减区间函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质增函数增函数减函数减函数设函数设函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有意义内有意义对于任意的对于任意的x1，x2(a,b)当当x1x2时时 有f(x1)f(x2)成立把函数叫做区间(a,b)内的减函数减函数区间(a,b)叫做函数的减区间减区间 增函数增函数 减函数减函数 随着自变量的增加函数值不断增大图像呈上
9、升趋势 随着自变量的增加函数值不断减小图像呈下降趋势.判定函数的单调性有两种方法：判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的借助于函数的图像图像或根据单调性的或根据单调性的定义定义来判定来判定 （1 1）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个而言的，是一个局部性质局部性质;判断判断1 1：函数函数 f(x)=x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；,xyo2yx（2 2）x x 1 1,x x 2 2 取值的取值的任意任意性性判断判断2 2：定义在：定义在R上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(2)(2)f(1)(1)，则，则函数函数 f(x)在在（1，2）上是增函数
10、；上是增函数；yxO12f(1)f(2)12121()(2)_(1);(0)_(3);(4)_(1);2()(3)_(0);(2)_(1);()()()_;()(4)_ 4;()(0)_f xfffffff xfffff xf xf xxxf afaf afa练习：根据单调性定义填不等号。、是定义在-4,4上的增函数，则、是定义在R上的减函数，则3、是定义在R上的增函数，若，则若，则若，则1212_ 0;()()()_;()(9)_ 9;()(2)_ 2f xf xf xxxf afaf xfx4、是定义在0,+)上的减函数，若，则0若，则0若，则结论：利用函数单调性可以不用计算函数值，仅通过
11、自变量结论：利用函数单调性可以不用计算函数值，仅通过自变量大小比较函数值大小，反之也行。大小比较函数值大小，反之也行。.例例1 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示指出这个函数的单调性 说明说明:1.:1.区间端点处若有定义写开写闭均可区间端点处若有定义写开写闭均可.2.2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况 .1.1.已知函数已知函数图像如下图所示图像如下图所示（1）
12、根据图像说出函数的单调区间以及函数在）根据图像说出函数的单调区间以及函数在 各单调区间内的单调性；各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域）写出函数的定义域和值域 书本P56 A组1.1.1.已知函数已知函数图像如下图所示图像如下图所示（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在）根据图像说出函数的单调区间以及函数在 各单调区间内的单调性；各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域）写出函数的定义域和值域 书本P69 练习1 填空、用不等号填空（1）设函数 在区间（1，5）上为增函数 则 _ 0()yf x(3)(2)ff（2）设函数 在区间（-4，-1）上为减函数 则 _ 0
13、()yf x(3)(2)ff结论：利用函数单调性可以不用计算函数值，仅通过自变量结论：利用函数单调性可以不用计算函数值，仅通过自变量大小比较函数值大小，反之也行。大小比较函数值大小，反之也行。（3）设函数 在区间（-1，5）上为减函数 且 ，则 _ ()yf x(2)(2)f xfx5221xx 课堂小结课堂小结1 1.两个定义：增函数、减函数的定义两个定义：增函数、减函数的定义；(定义法定义法)证明函数单调性证明函数单调性图象法判断函数的单调性图象法判断函数的单调性：增增函数的图象从左到右函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右上升上升下降下降3.一个数学思想：数形结合一个
14、数学思想：数形结合2：两种方法：两种方法课课练P54-55 A组2,3,4 B组1;再见书本P56 A组1课课练P54-55 A组2,3,4 B组1;再见书本P69 练习1,23.2.1 函数的单调性（函数的单调性（2）3.3.1 函数的单调性（函数的单调性（2）一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)定义域内的某个区间上定义域内的某个区间上的任意两个自变量的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在该区间上是在该区间上是增函数增函数 1增函数增函数一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定
15、义域的某个区间上的定义域的某个区间上的任意两个自变量的任意两个自变量x1，x2，当，当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间上是在区间上是减函数减函数 2减函数减函数 3.3.单调性、单调区间单调性、单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数在某个区间上是增函数或是减函数或是减函数,那么就说函数那么就说函数y=f(x)在这一区间在这一区间具有具有单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.分析分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域例1：判断函数
16、y=4x-2的单调性 用定义证明函数单调性的四步骤用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设量）设量:设任意设任意1212,.x xxx（）且（2）作差）作差（3）变形）变形 作差作差 常通过常通过“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 )()(21xfxf 判断判断 的符号的符号12()()f xf x（4）结论）结论:并作出单调性的结论并作出单调性的结论).()(21xfxf即即123()0,xx12()()0,f xf x12,xx,021 xx 练习练习1.1.判断下列函数的单调性：判断下列函数的单调性：
17、解：设任意解：设任意1212,x xRxx且函数函数 在在R上是减函数上是减函数123()xx()31f xx则则1212()()(31)(31)f xf xxx ()31f xx课课练P55 B组2.xyxy1.当k0时，图像从左至右是 的，函数是单调 函数；2.当k0时，图像从左至右是 的，函数是单调 函数由一次函数由一次函数y=kx+b(k0)0)的图像分析其单调性的图像分析其单调性kyx上升上升 增增下降下降 减减请结合图象，说说二次函数的单请结合图象，说说二次函数的单调区间调区间.例例2：书本书本P57 B组组2.2()10f xx在（-，）上的单调性并证明。判断判断值域：？值域：？
18、1,）在 上是减函数在 上是增函数在 上是增函数在 上是减函数-2ba，,2ba在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,-2ba，,2ba二次函数y=ax2+bx+c(a0)请结合图象类比一次函数单调性，说说二次函数的单调区间请结合图象类比一次函数单调性，说说二次函数的单调区间.思考探究思考探究 2()22(,4f xxaxa思考：若函数在区间上是减函数，那么实数 的取值范围是C.4 .4 .4 .4 A aB aC aD a 翻译为：在对称轴左边翻译为：在对称轴左边 2()4(2f xxmxm 若函数的增区间为，），那么实数 的
19、取值范围是D.2 .4 .2 .4 A mB mC mD m在对称轴右边在对称轴右边练习：课课练练习：课课练P54 1(4)在 上是减函数在 上是增函数在 上是增函数在 上是减函数-2ba，,2ba在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,-2ba，,2ba二次函数y=ax2+bx+c(a0)请结合图象类比一次函数单调性，说说二次函数的单调区间请结合图象类比一次函数单调性，说说二次函数的单调区间.1.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而 ，函数在(-,0)上是单调 函数，在(0,+)上是单调 函数；2.当k0时，在各象限中y值
20、分别随x值的增大而 ，函数在(-,0)上是单调 函数，在(0,+)上是单调 函数。由反比例函数由反比例函数 (k0)的图像分析其单调性的图像分析其单调性kyx减小减小 减减减减增大增大增增增增？画出函数画出函数 图象，写出定义域并写出单调区间图象，写出定义域并写出单调区间：x1yxy1yx的单调减区间是_(,0)(0,),讨论：讨论：根据函数单调性的定义根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?定义域为函数xy1),0()0,(拓展探究拓展探究x1y2x2()f x1()f x1x 在在(0 0,+)上上任取任取 x1、x2 当当x11()f xxyOx
21、-11-11 取自变量取自变量1 1 1 1，而而 f(1)1)f(1)(1)不不能说能说 在在(-,0 0)(0 0,+)上是上是减减函数函数 要写成要写成(-,0 0)，(0 0,+)的形式。的形式。1yx逗号逗号隔开隔开3(),0f xx练习1：判断在（-）上的单调性。3()f xxyOx2x2()f x1()f x1x求值域 在在(-，0)上上任取任取 x1、x2 当当x13()f xxyOx2x2()f x1()f x1x3(),0f xx练习：判断在（-）上的单调性并证明。书本P69-70 练习2,3,4练习2.函数函数 的的a=,a=,开口开口顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴单调增
22、区间单调增区间 ，单调减区间，单调减区间值域为值域为 22xy0 2（，）),0 2(1)yx242yxx练习3.函数函数 的的a=,a=,开口开口顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴单调增区间单调增区间 ，单调减区间，单调减区间值域为值域为 练习4.函数函数 的的a=,a=,开口开口顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴单调增区间单调增区间 ，单调减区间，单调减区间值域为值域为 0 x 2（，10（，）1x 1)，1（，0,)(2,2)2x 2,)2（，2（，0，（1向下1向上1向上练习2.函数函数 的的a=,a=,开口开口顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴单调增区间单调增区间 ，单调减区间，单调减区间值域为
23、值域为 22xy0 2（，）),0 2(1)yx242yxx练习3.函数函数 的的a=,a=,开口开口顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴单调增区间单调增区间 ，单调减区间，单调减区间值域为值域为 练习4.函数函数 的的a=,a=,开口开口顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴单调增区间单调增区间 ，单调减区间，单调减区间值域为值域为 0 x 2（，10（，）1x 1)，1（，0,)(2,2)2x 2,)2（，2,）0，（1向下1向上1向上设量设量判断差符号判断差符号作差变形作差变形下结论下结论课堂小结课堂小结1 1.两个定义：增函数、减函数的定义两个定义：增函数、减函数的定义；(定义法定义法)证明函数单调
24、性，步骤证明函数单调性，步骤:图象法判断函数的单调性图象法判断函数的单调性：增增函数的图象从左到右函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右上升上升下降下降3.一个数学思想：数形结合一个数学思想：数形结合2：两种方法：两种方法(1)()1;f xx 2(2)();f xx 请大家思考请大家思考,是否每个函数都有最大值是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明最小值？举例说明.2(3)()21,0,3f xxxx 【1】求函数求函数y=x2-2x-1的值域和最值的值域和最值.(1)x0,2 (2)x(2,4 (3)x-2,-1 ymin=f(1)=-2,ymax=f(0)=f(2)
25、=-1.值域值域-2,-1ymax=f(4)=7.值域值域(-1,7ymax=f(-2)=7.值域值域2,7ymin=f(-1)=2,1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方或公式法配方或公式法）求函）求函数的顶点坐标，确定开口方向和对称轴。数的顶点坐标，确定开口方向和对称轴。2.结合结合区间确定区间确定图象，找最高点和最低点，图象，找最高点和最低点，求函数的最大求函数的最大(小小)值值 利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法在给定区间内求二次函数的最值，步骤如下：在给定区间内求二次函数的最值，步骤如下：（1）观察顶点是否出现在给定区间内，若是
26、，则其中一个）观察顶点是否出现在给定区间内，若是，则其中一个最值必在顶点处取得；最值必在顶点处取得；（2）比较给定区间内的两个端点到对称轴的距离。）比较给定区间内的两个端点到对称轴的距离。（3）判断开口方向，根据图像求最值。）判断开口方向，根据图像求最值。自测自测2、已知二次函数已知二次函数f(x)=x2-4x-4，则，则f(x)在在4，5上的上的 最小值为最小值为_，在，在0，3上的最小值为上的最小值为_，在在-2，-1上的最小值为上的最小值为_1、函数、函数y=-x2+x-2在区间在区间1，4上的最大值（上的最大值（）A-C-4-8121,x2已知二次函数y=x求下列区间内，当x为何值时，
27、y有最大值和最小值，分别为多少？(1)-2,1 (2)-4,-2 (3)0,3复合函数的单调性复合函数的单调性课课练 B组最后一题23yx法二：可看作函数_和函数_的复合函数，=-定义域为_，_它在上为_函数.,0)(0,(-+)2ux=3yu=-,0(-)增增增增,0)(0,在(-上减，在+)上增_它在上为_函数.减减0+(，)23(0,)yx判断函数在上的单调性=-+y=f(u),u=g(x)构成复合函数构成复合函数 fg(x)，它的单调性与两个函数的，它的单调性与两个函数的单调性密切相关单调性密切相关,其规律如下：其规律如下：函数函数 单调性单调性 u=g(x)y=f(u)y=fg(x)
28、注意定义域注意定义域,单调区间必在定义域内单调区间必在定义域内增增增增增增增增减减减减减减增增减减减减减减增增同増异减同増异减(0,在+)上21yx练习2：可看作函数_和函数_的复合函数，=+定义域为_,_在区间上为_函数；1,)2-+21ux=+yu=1,)2-+增增11yx练习1：可看作函数_和函数_的复合函数，=-定义域为_，_它在上为_函数.,1(-)(1,+)1ux=-1yu=,1(-),(1,+)减减增增增增增增减减.例例1 证明证明21()32+3f xxx 在（，）上为减函数。例、（例、（1）已知函数）已知函数y=f(x)在定义域在定义域R上是单调减上是单调减函数函数,且且f(
29、x+1)f(3-x),求实数求实数x 的取值范围。的取值范围。（2）函数函数y=f(x)是定义在是定义在(-1,1)上的减函数上的减函数,若若f(2-x)f(3-x),求实数求实数x的取值范围的取值范围利用函数单调性解不等式利用函数单调性解不等式 练习练习.函数函数f(x)是定义在是定义在(0,+)上的递减函数上的递减函数,且且f(x)f(2x-3),求求x的取值范围的取值范围.解解:函数函数f(x)在在(0,+)上为减函数上为减函数,0,230,23.xxxx x的取值范围是的取值范围是3(,3).20,3,23.xxx .332即x解之解之,得得1、二次函数解析式的三种表示形式：、二次函数
30、解析式的三种表示形式：一般式一般式_，顶点式顶点式_，已知顶点（，已知顶点（h,k）或对称轴）或对称轴x=h（零点式）两根式（零点式）两根式_，已知方程已知方程即已知图像与即已知图像与X轴两交点（轴两交点（x1，0）（）（x2，0）二次函数要点回顾二次函数要点回顾)0(2acbxaxy2()(0)ya xhk a)0)()(21axxxxay2120,axbxcx x 两根为,2bha 244acbkax1+x2=_，x1x2=_，acab二次函数的单调性二次函数的单调性2、二次函数、二次函数 的图像与性质：的图像与性质：)0(2acbxaxy图像图像顶点顶点坐标坐标对称轴对称轴定义域定义域值域值域单调性单调性增区间：增区间：增区间：增区间：减区间：减区间：减区间：减区间：)2,(ab),2(ab0a0a)2,(ab),2(ab),442abac44,(2abac实数集实数集R开口向上开口向上开口向下开口向下24(,)24bacbaa2bxa
