1、 2020 年高考模拟训练年高考模拟训练 数学试题数学试题 202006 考生注意：考生注意： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1已知全集 U 为
2、实数集，集合| 13Axx ，|ln(1)Bx yx，则集合AB为 A|13xx B3x x C1x x D11xx 2若复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 1 2zi，则复数 1 2 z z A1 B1 C 34 55 i D 34 55 i 3已知直线 1: sin 10lxy ，直线 2: 3 cos10lxy ，若 12 ll，则sin2 A 2 3 B 3 5 C 3 5 D 3 5 4泰山有“五岳之首” “天下第一山”之称登泰山的线路有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路， 天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三
3、人走的线 路均不同，且均没走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路 事实上，甲，乙，丙三人的陈述都只对了一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是 A甲走桃花峪登山线路 B乙走红门盘道徒步线路 C丙走桃花峪登山线路 D甲走天烛峰登山线路 5已知直线20xya与圆 22 :2O xy相交于 A、B 两点（O 为坐标原点） ，则“5a ”是 “0OA OB”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6如下图所示，点
4、 F 是抛物线 2 8yx的焦点，点 A，B 分别在抛物线 2 8yx及圆 22 (2)16xy的 实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB的周长取值范围是 A2,6 B6,8 C8,12 D10,14 7 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示 其浮雕临摹了国画、 漆绘和墓室壁画， 体现了古人的智慧与工艺 它 的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体 （假设内壁表面光滑， 忽略杯壁厚度） ， 如图 2 所示 已 知球的半径为 R，酒杯内壁表面积为 2 14 3 R设酒杯上部分（圆柱）的体积为 1 V，下部分（半球）的体 积为 2 V，则 1 2 V V A2 B 3 2 C1
5、 D 3 4 8已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F、 2 F，A 为左顶点，过点 A 且斜率为 3 3 的 直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若 12 0MF MF，则该双曲线的离心率是 A2 B 21 3 C 13 3 D 5 3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9
6、某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期 间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是 A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月 C2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 10如图，正方体 1111 ABCDA BC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点 E、F，且 1 2 EF ，则下列结 论中正确的是 A线段 11 B D上存在点 E
7、、F 使得/AEBF B/ /EF平面 ABCD CAEF的面积与BEF的面积相等 D三棱锥 A-BEF 的体积为定值 11已知函数 sin coscos sinf xxx，其中 x表示不超过实数 x 的最大整数，关于 f x有下述 四个结论正确的是： A f x的一个周期是2； B f x是非奇非偶函数； C f x在(0, )单调递减； D f x的最大值大于2 12 若存在实常数 k 和 b， 使得函数 F x和 G x对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： F xkxb 和 G xkxb恒成立，则称此直线ykxb为 F x和 G x的“隔离直线” ，已知函数 2 ( )()f xxx
8、R， 1 ( )(0)g xx x ，( )2elnh xx（e为自然对数的底数） ，则 A m xf xg x在 3 1 (,0) 2 x 内单调递增； B f x和)(g x之间存在“隔离直线” ，且 b 的最小值为-4； C f x和)(g x之间存在“隔离直线” ，且 k 的取值范围是-4，1； D f x和 h x之间存在唯一的“隔离直线”2 eeyx 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知向量1,0a ，),2(b，2abab，则实数_ 14已知 102 01210 (1)(1)(1)(1)xaaxaxax，则
9、8 a _ 15函数( )sin()0,| 2 f xx 的部分图象如图所示，则_；将函数 f x的 图像沿 x 轴向右平移(0) 2 bb 个单位后，得到一个偶函数的图像，则b_ （第一个空 2 分，第二个空 3 分） 16 设集合 123 ,2,0,2 ,1,2,3 i Am m mmi ， 则集合 A 中满足条件：“ 123 25mmm” 的元素个数为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在 234 2aaa， 2 22 n Sa， 42 5SS这三个条件
10、中任选一个，补充在下面问题中，并解 答 已知等比数列 n a的公比0q ， 前n项和为 n S， 若_， 数列 n b满足 1 1 3 ba，1 n nn a bb （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求数列 1n n n a b b 的前 n 项和 n T，并证明 1 3 n T 18 （12 分） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设17a ，sinsinco2172sABbAb （1）求tanA； （2）若 D 是 AC 边上的中点， 2 ABD ，求sinDBC 19 （12 分） 已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，
11、PAD是正三角形，CD平面 PAD， E、F、G、O 分别是 PC、PD、BC、AD 的中点 （1）求证：PO 平面 ABCD； （2）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小； （3）线段 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 6 若存在，求线段 PM 的长度；若 不存在，说明理由 20 （12 分） 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右两个焦点为 1 F， 2 F，抛物线 2 2: 4(0)Cymx m与椭 圆 1 C有公共焦点 2 1,0F且两曲线 1 C、 2 C在第一象限的交点 P 的横坐标为 2 3 （1）求椭圆
12、 1 C和抛物线 2 C的方程； （2）直线: l ykx与抛物线 2 C的交点为 Q，O（O 为坐标原点） ，与椭圆 1 C的交点为 M，N（N 在线 段 OQ 上） ，且| |MONQ问满足条件的直线l有几条，说明理由 21 （12 分） 为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验试验方案如下：每一轮 选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结 果得出后， 再安排下一轮试验 4 轮试验后， 就停止试验 甲、 乙两种药的治愈率分别是 2 5 和 3 4 (,) 5 5 （1）若 3 5 ，求 2 轮试验后乙药治愈的白鼠比
13、甲药治愈的白鼠多 1 只的概率； （2）已知 A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为 3 千元和(101)千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和 A 公司各承担该轮 试验耗材总费用的 50%；若甲药治愈，乙药未治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 75%，其余由科 研机构承担若甲药未治愈，乙药治愈， 则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 25%， 其余由科研机构承担以 A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求 A 公司 4 轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？ 22 （12 分） 已知函数 lnsinf xxax
14、x，其中,(0x； （1）判断函数 f x是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； （2）讨论在, 2 上函数 f x的零点个数 2020 年高考模拟训练年高考模拟训练 数学试题参考答案数学试题参考答案 202006 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 14 DCDD 58 ACAB 1答案：D 解析： |13111ABxxx xxx ，故选 D 2答案：C 解析： 2 2zi ，所以 1 2 2
15、(2)( 2)34 2555 ziii i zi ，选 C 3答案：D 解析：因为 12 ll，所以sin3cos0，所以tan3， 所以 222 2sincos2tan3 sin22sincos sincos1tan5 故选 D 4答案：D 若丙：甲走天烛峰登山线路正确，则乙走红门盘道徒步线路错误乙走桃花峪登山线路正确；丙走红门 盘道徒步线路正确； 5答案：A 解析：易知Rt AOB斜边上的高为 1， 则由点到直线距离公式得 22 | 1 1( 2) a ，解得5a ， 所以“5a ”是“0OA OB的充分不必要条件，故选 A 6答案：C 解析：抛物线的准线:2l x ，焦点2,0F， 由抛
16、物线定义可得|2 A AFx， 圆 22 (2)16xy的圆心为2,0，半径为 A 所以FAB的周长 246| ABAB xxxxFAABBF， 由抛物线 2 8yx及圆 22 (2)16xy可得交点的横坐标为 2， 所以2,6 B x ，故选 C 7答案：A 解析：酒杯内壁表面积为 2 14 3 R得圆柱侧面积 2 8 3 R， 所以圆柱高为 4 3 R，则 1 2 2 V V 8答案：B 解析：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 设点( ,) b M mm a ，因为 12 0MF MF 所以 12 1 | 2 OMFF， 222 () b
17、m mc a 上， 故,M a b，又,0Aa， 所以直线 AM 的斜率 3 23 b k a ，所以 2 2 4 3 b a ， 故该双曲线的离心率 2 2 21 1 3 b e a 故选 B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9ABD； 10BD； 11ABD； 12ABD 9 【答案】ABD 【解析】观察折线图，掌握折线
18、图所表达的正确信息，逐一判断各选项 【详解】由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得： 在 A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故 A 正确； 在 B 中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故 B 正确； 在 C 中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故 C 错误； 在 D 中， 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月， 波动性更小， 变化比较平稳， 故 D 正确 故选：ABD 10 【答案】BD 【解析】如图所示，AB 与 11 B D为异面直线故 AE 与 BF 也为异面直线，A
19、错误； 11/ / B DBD，故/ /EF平面 ABCD，故 B 正确； 连结 BD 交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 A-BEF 的高， 111 1 224 BEF S ， 三棱锥 A-BEF 的体积为 1122 34224 为定值，D 正确； 很显然，点 A 和点 B 到的 EF 距离是不相等的，C 错误故选：BD 11 【答案】ABD 【解析】 2sin cosco()s sinf xxxf x，A 正确 sin1 1,0 1,0, 2 cos1, 2 1sin1, 2( ) 3 cos1sin1, 2 3 cos1,2 2 cos1,0 2 x x x x f x x x x ，
20、是非奇非偶函数，B 正确， 对于 C，(0,) 2 x 时， 1f x ，不增不减，所以 C 错误 对于 D，0,) 2 x ， 2 ( )sin1 1sin111.72 42 f x ；D 正确 12 【答案】ABD 【解析】 2 1 ( )( )( )m xf xg xx x ， 3 1 (,0) 2 x 2 1 ( )20m xx x ， m xf xg x， 在 3 1 (,0) 2 x 内单调递增，故正确； ，设 f x， g x的隔离直线为ykxb 则 2 1 xkxb kxb x 对任意),(0x 恒成立， 即有 2 2 0 10 xkxx kxbx 对任意),(0x 恒成立 由
21、 2 10kxbx 对任意),(0x 恒成立得0k 若0k 则有0b符合题意； 若0k 则有 2 0xkxb对任意),(0x 恒成立， 又 2 1 0040 2 bk k x 对 ， 0b，则有0 2 b x k 对 ， 2 0 ， 2 40bk， 即有 2 4kb 且 2 4bk ， 42 1664kbk ，40k ， 同理 42 1664bkb ，可得40b ， 所以40k ，40b ，故正确，错误； 函数 f x和 h x的图象在xe处有公共点， 因此存在 f x和 h x的隔离直线，那么该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率为 k，则隔离直线方程为()yek xe， 即ykxk ee，
22、 由( )0kxexfk ex恒成立， 若0k ，则 2 0(0)xex不恒成立 若0k ，由 2 0(0)xkxk eex恒成立， 令 2 ( )u xxkxk ee，0x ， 2 ( )u xxkxk ee在(0,)xe单调递增， ()0ueek ek ee，故0k 不恒成立 所以0k ，可得 2 0xkxk ee， 当0x 恒成立，0 2 k x 对 ， 则 2 3 (2)0ke ，只有2ke 此时直线方程为2yexe， 下面证明( )2h xexe 令( )22n( )2lG xexeh xexexe， 2() ( ) e xe G x x ， 当xe时， 0G x； 当0xe时， 0
23、G x； 当xe时， 0G x； 当xe时， G x取到极小值，极小值是 0，也是最小值， ( )2( )0G xexeh x，则( )2h xexe， 函数 f x和 h x存在唯一的隔离直线2yexe，故正确， 故答案为 ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13答案： 1 2 14答案：180 15答案： 4 ； 3 8 16答案：18 13答案： 1 2 解析：由1,0a ，),2(b， 则22,0,22, 2()()ab (1, )2ab， 所以 2222 |2|(2)( 2)84ab ， 22 |52ab， 由2a
24、bab， 所以 22 8452， 解得 1 2 ，故答案为 1 2 14答案：180 解析： 101010 (1)( 1)( 2)(1)xxx ， 10210 01210 (1)(1)(1)(1)xaaxaxax， 82 810 ( 2)180aC 0，故答案为 180 15答案 4 ； 3 8 解析：由函数图像得sin(2) 4 yx ，沿 x 轴向右平移 b 个单位后得到函数为偶函数， 必有2 42 bk kZ，1k ， 3 8 b 16答案 18 解析：对于 123 25mmm分以下几种情况： 123 2mmm，即此时集合 A 的元素含有一个 2，或2，两个 0，2 或2从三个位置选一个
25、 有 3 种选法，剩下的位置都填 0，这种情况有3 26种； 123 4mmm，即此时集合 A 含有两个 2，或2，一个 0；或者一个 2，一个2，一个 0； 当是两个 2 或2，一个 0 时，从三个位置任选一个填 0，剩下的两个位置都填 2 或2，这种情况有 3 26种； 当是一个 2，一个2，一个 0 时，对这三个数全排列即得到3 2 16 种； 集合 A 中满足条件“ 123 25mmm”的元素个数为66618 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分） 解析： （
26、1）若选择，由此得 2 20qq， 解得2q 或1q （舍去，0q ） 又1 n nn a bb， 1 1 3 b ，则解得 1 2a 2n n a ，则 11 121 n n n b a 注：选其他两个条件公比皆为 2，结果一样其中选也能解得 1 2a （2） 1 11 21 (21)(21)2121 n nnn nnnn a b b 2231 111111 ()()() 212121212121 n nn T 1 111 3213 n 18 （12 分） 解： （1）17a ，sinsinco2172sABbAb， 2 sinsin2 cosbA aBbA， 由正弦定理得2sinsinsi
27、nsin2sincosBAABBA 又sin0B，sin2cosAA，tan2A （2）在ABD中，由（1）知tan2A， 可设2BDx，ABx， 则5ADDCx， 2 cos5 5 ADB BDABDC， 2 5 cos 5 BDC 在BCD中，由余弦定理得 222 ( 17)(2 )( 5 )225cosxxxxBCD， 解得1x ， 由 ABDBCD SS，得 11 2217sin 22 xxxDBC， 解得 17 sin 17 DBC 19 （12 分） 解析： （1）证明：因为PAD是正三角形，O 是 AD 的中点， 所以POAD 又因为CD平面 PAD，POC 平面 PAD， 所以
28、POCD ADCDD，AD，CD平面 ABCD， 所以PO 面 ABCD （2）如图，以 O 点为原点分别以 OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系 则0,0,0O，2,0,0A，2,4,0B，2,4,0C ，2,0,0D ， 0,4,0G，(0,0,2 3)P，( 1,2, 3)E ，( 1,0, 3)F ， (0, 2,0)EF ，(1,2,3)EG ， 设平面 EFG 的法向量为( , , )mx y z， 20 230 y xyz 令1z ，则( 3,0,1)m ， 又平面 ABCD 的法向量(0,0,1)n ， 设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面
29、角为， 所以 |1 cos |2 m n m n ； 所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 3 ； （3）假设线段 PA 上存在点 M，使得直线 CM 与平面 EFC 所成角为 6 设PMPA，0,1， GMGPPMGPPA， 所以2 , 4,2 3(1)GM ， 所以sin|cos 6 GM ， 2 3 2 467 m ， 整理得 2 2320，无解， 所以，不存在这样的点 M 20解析： （1）公共焦点 2 1,0F，故椭圆的焦点坐标为()1,0 所以1m ，所以抛物线 2 C的方程 2 4yx， 由点 P 在抛物线上，所以 2 2 6 ( ,) 33 P 又点 P 又在椭圆
30、 1 C上， 所以 2222 22 622 6 2(1)()(1)()4 3333 a ， 所以2a ， 又1c ，故3b ， 从而椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xy （2）联立直线与椭圆方程得， 22 , 1, 43 ykx xy 得 222 3412xk x， 解得 2 3 2 34 M x k ， 2 3 2 34 N x k 联立直线与抛物线得 2 4 ykx yx ，得 22 4k xx， 解得0 O x ， 2 4 Q x k ， 由| |MONQ，故 N 为线段 OQ 的中点， 即 00 2 N xx x ，得 22 34 4 34kk 化简得 42 3430kk，解得
31、2 213 3 k （负值含去） ， 故满足题意的 k 值有 2 个，从而存在过原点 O 的两条直线 l 满足题意 21 （12 分） 解析： （1）记事件 A 为“2 轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只” ， 事件 B 为“2 轮试验后，乙药治愈 1 只白鼠，甲药治愈 0 只白鼠” ， 事件 C 为“2 轮试验后，乙药治愈 2 只白鼠，甲药治愈 1 只白鼠” ， 则 1 2 3233108 ( )()() 5555625 P BC， 21 22 3323108 ( )()() 5555625 CP CC， 108108216 ( )( )( ) 625625625 P AP
32、BP C （2）一次实验耗材总费用为(102)千元 设随机变量 X 为每轮试验 A 公司需要支付的试验耗材费用的取值， 则 1 (102) 4 X， 1 (102) 2 ， 3 (102) 4 13 (102) 45 P X， 12231 (102)(1)(1) 25555 P X， 32 (102)(1) 45 P X X 1 (102) 4 1 (102) 2 3 (102) 4 P 3 5 31 55 2 (1) 5 3131123 ()(102)()(102)(1)(102) 5455254 E X 2 5116 225 令 2 5116 ( ) 225 f x ， 3 4 , 5 5
33、 易知 f x在区间 3 4 , 5 5 上单调递增， min 318 ( )( ) 55 fxf（千元） 则 A 公司 4 轮试验结束后支付实验耗材最少费用为 1872 414.4 55 （千元） ， 即 14400 元 22 （12 分） 解： （i） 1 ( )cosfxax x ， 设 1 ( )cosg xa x ， 2 1 ( )sin0g xx x 因此 fx在,(0x上单调递减， min 1 ( )( )1fxfa ， 又当0x 时， fx 若 0f，即 1 1a ， 则 0 (0, x，使得 0 0fx， 当 0 0,xx时， 0fx， f x单调递增， 当 0 (),xx时
34、， 0f x ， f x单调递减， f x在 0 x处取得极大值，不存在极小值； 若0( )f，即 1 1a ，( )0fx， f x在(0, 上单调递增，故 f x不存在极值； （2）由第一问结论可知 （i）当 1 1a 时， min 11 ( )()ln(1)1ln0 222222 f xf ， 即 1 1a 时函数没有零点， （）若 1 1a ，当 0 0,xx时， 0fx ， f x单调递增， 当 0 (),xx时， 0fx， f x单调递减， 0 0fx，即 0 0 c 1 osax x 设 1 c( )osh x x x ， 2 1 si)0n(h x x x 所以 a 关于 0
35、x单调递增； 若 0 (0, 2 x ，此时 2 (,a ， 若() ( )0 2 ff 得 2 (1ln) 2 a 或 ln a 所以 2 (1ln) 2 a 时无零点， 若() ( )0 2 ff ，得 2ln (1ln) 2 a ， 所以 22 (1ln) 2 a 时有一个零点， 当 2 (1ln) 2 a 时，()0,( )0 2 ff ，有一个零点； 因此， 2 (1ln) 2 a 时无零点， 22 (1ln) 2 a 时有一个零点， 若 0 , ( 2 x ，此时 21 (,1a ， ()ln10 222 fa ，( )lnfa 所以 max0000 ( )lnsinf xf xxx ax 0000 lnsincos1xxxx， 设 lnsincos1m xxxxx，sin 1 ( )0m xx x x 所以 max ( )()ln0 22 f xm ， 若( )0f，即 ln a ，即 ln1 1a 时无零点； 若( )0f，即 ln a ，即 2ln a 时有一个零点； 综上所述， 2ln ,(1ln)(,) 2 a 时无零点， 2ln (1ln), 2 a 时有一个零点
