1、 镇海中学镇海中学 20182018 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷高一年级数学试卷 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知点在第二象限，则角 的终边所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论. 【详解】由题意，点在第二象限， 则角 的终边所在的象限位于第四象限，故选 D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三
2、角 函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基 础题. 2.对于向量 ， ， 和实数 ，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量的垂直条件，数量积为 0，可判定 A；由向量的数乘的定义可判断 B；由向量的平方即 为向量的模的平方，可判断 C；向量的数量积不是满足消去律，可判断 D，即可得到答案. 【详解】对于 A 中，若，则或或，所以不正确； 对于 B 中，若，则或是正确的； 对于 C 中，若，则，不能得到或，所以不正确； 对于 D 中，若，则，不一定得到，可能是，所以不
3、正确，综上 可知，故选 B. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中 解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推 理能力，属于基础题. 3.已知向量，若，则实数 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的 坐标运算，即可求解. 【详解】由题意，因为，所以，整理得， 又由， 所以，解得，故选 C. 【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据 向量的运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，
4、着重考查了 推理与运算能力，属于基础题. 4.函数的图象关于直线对称，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到 ，即可求解. 【详解】由题意，函数， 又由函数的图象关于对称，所以， 即，解得，故选 D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用， 其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求 解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的 倍， 纵坐标不变， 然后将图象向右平移 个单位
5、， 所得图象恰与重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式， 即可得到答案. 【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移 个单位， 得到的图象， 进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变， 得到，故选 A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换 是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.已知函数，则是（ ） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇
6、函数 D. 最小正周期为 的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角函数的恒等变换化简函数为， 由此可得处函数的奇偶性和最小正周期， 得到答案. 【详解】由函数， 所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选 B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练 应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了 推理与运算能力，属于基础题. 7.若向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，求得，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系 式，化简为齐次式，即可求解. 【详解
7、】由题意，所以，解得， 又由向量， 则 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化 简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键， 属于基础题，着重考查了推理与运算能力. 8.已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒 等变换，即可求出结果. 【详解】由题意， ，是方程的两个实数根， 即，是方程的两个实数根， 所以， 则，故选 C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应
8、用，以及三角函数关系式的恒等变换 的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知单位向量的夹角为，若向量 满足，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，设，由，化简得，表示圆心为，半径为 1 的圆，结合图形可知，即可求解 的最大值. 【详解】由题意，设单位向量，且， 则， 由，所以， 化简得，表示圆心为，半径为 1 的圆，如图所示， 由图形可知， 的最大值为，故选 A. 【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算 的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得
9、出向量 表示的图形，结合图象求解是解答的关 键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10.有下列叙述， 函数的对称中心是； 若函数（，） 对于任意都有成立， 则； 函数在 上有且只有一个零点； 已知定义在 上的函数，当且仅当 （）时，成立. 则其中正确的叙述有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】 由正切函数的对称性可判断；由正弦函数的对称性可判断；由的导数判断单调性，结 合零点存在定理可判断；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断，即可得到答案. 【详解】由题意，中，函数的对称中心是，所以不正确； 中， 若函数对于任意都有成立，
10、 可得函数关于对 称，则，所以不正确； 中，函数的导数为，可得函数在 上为单调递增函数，又由 ，即在 有且只有一个零点，所以是正确的； 中，已知定义在 上的函数， 当时，即时，； 当时，即时，； 当和，时，成立， 即当时，成立，所以是正确的，故选 B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记 三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理 与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试. 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题。二、填空题。 11.的值为_；的值为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】
11、 【分析】 直接利用诱导公式，及两角和的正弦公式，化简求值，即可得到答案. 【详解】由题意， ； 又由. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和 两角和的正弦函数公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 12.已知扇形的周长为 ，当它的半径为_时，扇形面积最大，这个最大值为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 设扇形的半径与中心角分别为，可得，在利用扇形的面积为，利用基本不等 式即可求解. 【详解】设扇形的半径与中心角分别为，则，可得， 可得扇形的面积为， 当且仅当是取等号. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式
12、，以及基本不等式的性质的应用，其中解答 中利用扇形的弧长和面积公式，合理表示扇形的面积，利用基本不等式求解是解答的关键， 着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 13.已知，若，则实数 的值是_；若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_. 【答案】 (1). 或 (2). 【解析】 【分析】 由题意， 根据， 得到方程， 即可解答 得值， 再由 和 的夹角为锐角， 所以， 且不同向，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为，所以，解得或 ， 因为 和 的夹角为锐角，所以，且不同向， 所以，所以且， 所以 的取值范围为且. 【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用，以及向量的数量积的应用问
13、题，其中解答中熟 记向量平行是的坐标关系，以及向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力，属于基础题. 14.设 ， 是单位向量，且 ， 的夹角为，若，则_； 在 方向上的投影为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的定义求出与，并计算出平面向量 的模，再利用公式，即可 求解. 【详解】由平面向量的数量积的定义，可得， ， ，即， 所以 在 方向上的投影为. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟 记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推 理与运算能力，
14、属于中档试题. 15.已知为角 的终边上的一点，且，则实数 的值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由三角函数的定义，即可求解 得值，得到答案. 【详解】由三角函数的定义可知，解得， 又由，所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方 程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题. 16.若函数在内有两个不同的零点， 则实数 的取值范围是_. 【答案】或 【解析】 【分析】 由题意，令，把原函数转化为有 两个不同的零点， 进而转化为方程在上有唯一的实根或在上有两相等的 实根，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数令， 则原函
15、数转化为有两个不同的零点， 则转化为函数在(0,1)上有唯一的零点 即转化为方程在(0,1)上有唯一的实根或在(0,1)上有两相等的实根 转化为函数，与函数有唯一交点 得或 所以或 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令，把原函数转 化为有两个不同的零点， 进而转化为方程在(0,1)上有唯一的实 根或在(0,1)上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思 想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17.已知 为的外心，若（） ，则的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 法一：设圆的半径为 ，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标
16、运算，得到，进 而可求解其取值范围. 法二，由奔弛定理和向量的运算，得，进而得，利用三角函 数的性质，即可求解. 【详解】法一：设圆的半径为 ，如图所示建立平面直角坐标系，则 所以 易得， 所以 法二，由奔弛定理， 由已知转化为： 又，所以 变形为 于是 所以， 得. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数的图象 与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把转化为三角函数的运算，合理利用三 角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 三、解答题三、解答题. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 18
17、.已知，. （）求 与 的夹角 ； （）当 为何值时，与垂直？ 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由向量的数量积的运算，列出方程，求得，即可求解结果. （2）由，利用向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】 （1）由题意，根据向量的运算，得 ，解得：， . （2），. . 解得.时，与垂直. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的 运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19.已知函数. （）求函数的最小正周期； （）求函数在的单调递增区间. 【答案】 （1）函数的最小正周期是 （2） 【解析】 【
18、分析】 （1）利用三角函数恒等变换的公式，化简，利用周期的公式，即可求解函 数的最小正周期； （2）由，根据三角函数的性质，得到，即可得到函数的递增区间. 【详解】 （1）由题意，函数 ，则，即函数的最小正周期是 . （2），. ，. 所以函数在的单调递增区间是. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利 用三角恒等变换的公式， 化简的解析式， 再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键， 着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 20.设，且，. （）求的值； （）求的值. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）法一：根据两角和的正切函数的公
19、式，化简得，在根据余弦的倍角公式和三角 函数的基本关系式，即可求解； 法二：令，求得，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解； （2）由三角函数的基本关系式，求得，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得 ，的值，进而可求解. 【详解】 （1）法一：， 法二：令，则， . （2）， ，. . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其 中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式， 合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 21.已知 和 的夹角为 ，且满足，. （）求所有满足条件的 所组成
20、的集合 ； （）设函数，对于集合 中的任意一个， 在集合 中总存在着一个，使得成立，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由向量的数量积的公式，求得，进而根据题设条件，得到，即可求解 所组成的集合 A，得到答案； （2）根据三角恒等变换的公式，化简，令，得到函数 ，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1） 由题意， 根据向量的数量积的运算， 可得，； ，得， 故所求集合； （2）由题意，根据三角恒等变换的公式，得 ； 令， ，； 由题意，得，. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解 答中根据向量的数量积的运算公式
21、、合理化简，以及利用三角函数的图象与性质，转化为二 次函数的应用求解是解答的关键，着重考查了转化思想、换元思想，以及推理与计算能力， 属于中档试题. 22.已知实数，若向量 满足，且. （）若，求 ； （）若在上为增函数. （1）求实数 的取值范围； （2）若对满足题意的 恒成立，求 的取值范围. 【答案】 （）或 （） （1）（2） 【解析】 【分析】 （）设，根据向量的数量积的运算，求得，进而得到和 ，即可得到向量 的坐标； （） （1）根据向量的模的运算，求得，又由函数在上为增函数， 得到也是增函数，得到，即可求解 得取值范围； （2）由恒成立，转化为对恒成立，进而转化为对 恒成立，即可求解. 【详解】 （）设，由得， 又，所以，即， 得，又，所以，故或 （） （1）根据向量的模的公式， 得 化简得； 在上为增函数 在上为增函数，即， 解得，；， （2）对恒成立， 对恒成立 即对恒成立，； 解得. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解， 其中解答中根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式，合理运算、化简，转化为 与二次函数相关的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，换元思想，以及 分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
