1、控制工程理论任永强任永强 Tel：13966750178Email:QQ:342474609合肥工业大学机械与汽车工程学院合肥工业大学机械与汽车工程学院第三章第三章 时域瞬态响应分析时域瞬态响应分析时域分析概述时域分析概述一阶系统的瞬态响应分析一阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析二阶系统系统性能指标二阶系统系统性能指标高阶系统的瞬态响应分析高阶系统的瞬态响应分析第三章第三章 时域瞬态响应分析时域瞬态响应分析时域分析概述时域分析概述时域分析根据控制系统在一定输入作用下的输入量时域表达式，来分析系统的稳定性，瞬态过程性能和稳态误差。瞬态响应：在某一输入信号的作用下，系
2、统输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。特点特点:(1)(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；(2)(2)可以提供系统时间响应的全部信息；可以提供系统时间响应的全部信息；(3)(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。时域分析概述时域分析概述n 典型输入信号典型输入信号 脉冲信号脉冲信号(突变过程突变过程)加速度信号加速度信号(飞船飞船)阶跃信号阶跃信号（工业过程工业过程）斜波信号斜波信号（天线、雷达天线、雷达）正弦信号正弦信号(通信通
3、信)其中其中单位阶跃信号单位阶跃信号是是最为基本、最为基本、最常见且最易产生的信号最常见且最易产生的信号；被选为衡量系统控制性能的好坏的基准输入，并据此定被选为衡量系统控制性能的好坏的基准输入，并据此定义时域的性能指标。义时域的性能指标。t0()t 1t0()u ttt0()f tt0212()f tt t0()f tSin t 时域分析概述时域分析概述n 时域性能指标时域性能指标稳：稳：(基本要求基本要求 )系统受脉冲扰动后能回到原来系统受脉冲扰动后能回到原来 的平衡位置的平衡位置;快快:(动态要求动态要求 )过渡过程要平稳，迅速过渡过程要平稳，迅速;准准:(稳态要求稳态要求)稳态输出与理想
4、输出间的误差要小。稳态输出与理想输出间的误差要小。延迟时间延迟时间 t d:阶跃响应第一次达到终值的阶跃响应第一次达到终值的5050所需的时间所需的时间上升时间上升时间 t r:阶跃响应首次上升到稳态值阶跃响应首次上升到稳态值 所需的时间。对于所需的时间。对于 响应无振荡的系统是响应无振荡的系统是阶跃响应阶跃响应从稳态值的从稳态值的10%10%上上 升到升到90%90%所需的时间。所需的时间。峰值时间峰值时间 t p:阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间调节时间调节时间 t s:阶跃响应达阶跃响应达到到并保持在终值并保持在终值 5 5误差带内所需误差
5、带内所需 的最短时间的最短时间超超 调调 量量 MP:峰值超出终值的百分比峰值超出终值的百分比MP一阶系统的瞬态响应分析一阶系统的瞬态响应分析n 单位脉冲响应单位脉冲响应()()r tt 1()R S 11()()()C SG SR STS n 数学模型：数学模型：微分方程微分方程:传递函数传递函数:1C sKG sR sTS ()()()方框图：方框图：dc tTc tK r tdt ()()()R(S)C(S)1KT S 1/()t Tc teT c(t)t0T1n 单位阶跃响应单位阶跃响应()()r tu t 1()R SS 111()()()C SG SR STSS 1/()t Tc
6、te 一阶系统的瞬态响应分析一阶系统的瞬态响应分析11TSTS 一阶系统没有超调，系统的一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间动态性能指标为调节时间:ts=3T(2%)ts=4T(5%)c(t)t01T 2T3T4T0.980.6320.860.95n 单位斜坡响应单位斜坡响应()r tt 21()R SS 2111()()()C SG SR STSS 1/()()t Tt Tc ttTT etTe 一阶系统的瞬态响应分析一阶系统的瞬态响应分析2211TTSSTS h(t)t0c(t)r(t)T系统的误差：系统的误差：t ess=lim e(t)=T11/()()()()()t Tt
7、Te tr tc tttTeTe 可知可知:系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T(1-e-t/T)c(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=(t)n三种响应比较三种响应比较一阶系统的瞬态响应分析一阶系统的瞬态响应分析11()()()()xxdc tc tL C sL S C Sdt R(S)C(S)r(t)c(t)系统系统G(S)()()()X sL x tSR S ()()()()()()xC sG SX SS G S R SS C S ()()dy tr tt ()(
8、)()/Y sL y tR SS 11()()()/()dyyc tL C sL C SSc tt ()()()()()/()/yC sG S Y SG S R SSC SS ()()dr tx tdt 例例:一阶系统的结构如图，已知一阶系统的结构如图，已知 Kk=100,KH=0.1,试求系统的调节时间试求系统的调节时间t ts s (5%),5%),如果要求如果要求t ts s=0.1s=0.1s，求反馈系数。求反馈系数。解：解：闭环传递函数闭环传递函数-KH KksC(s)R(s)E(s)(s)=C(s)R(s)=1+s KkKH s Kk 10=0.1s+1100=s+10得得:t s
9、=3T=30.1=0.3 若要求若要求:t s=0.1 s则则:(s)=1+s 100KH s 100=0.01s+1KH 1 KH t s=30.01/KH=0.1 KH=0.3一阶系统的瞬态响应分析一阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析微分方程微分方程:传递函数传递函数:方框图：方框图：1nT n 数学模型：数学模型：222()()()()2d c tdc tTTc tr tdtdt 222221212()()()nnnC sG sR sT STSS 阻尼比阻尼比无阻尼自由振荡频率无阻尼自由振荡频率n n -R(s)C(s)s(s+22 2 n n)闭环形式闭环
10、形式:R(S)C(S)2222nnnSS 显然显然求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。二阶系统的动态性能指标。二阶系统实例二阶系统实例:弹簧弹簧-质量质量-阻尼系统阻尼系统弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数cf(t)y(t)22222122()()()/(,)nnnnYsG sF sm ScSkkmckkSSmmSSckKkmm k 2()()()()d y tdy tmcKy tf tdtdt 二阶系统二阶系统实例实例:电枢控制直流电机电枢控制直流电机()ie t()me tTfiJ()ai t0()t DaaRLt(
11、)2aaa2aTeT id(t)d(t)R J+(L DR)dtdtK eR(D K K(t)t)（+）2222222iaaaaTeaTeanTaaaTeaTennaaaaaTeTnaTeaaaTeTWE(s)R JS(L DR)SR DK KR DK K/R JKL DRR DK KR DK KSSSSR JR JL DRR DK KK(K,)R DK KR JR J R DKK K (s s)（+）（+）+（+）二阶系统二阶系统实例实例:RLC:RLC电电路路L+-CRi()ru t()cu t输入量输入量输出量输出量2()()()()cccrd utdutLCRCututdtdt 222
12、2211112()()()RCLL CcrnnnnUsGsUsL C SR C SL CRSSSSLL C 1 1（=）n 单位阶跃响应单位阶跃响应二阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析2221 222412()nnnnnS 、2220nnSS显然显然值不同，两个根的性质不同，有可能为实根、值不同，两个根的性质不同，有可能为实根、复根或重根，相应的单位阶跃响应的形式也不相同。复根或重根，相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。下面分别讨论。根的分布：根的分布：1110 0 0 1(过阻尼过阻尼)(两不相等负实根)21 21nnS 、2232221212112()()()nnnnc
13、cC SSSSS SSSSSSSSS12231()S tS tc tc ec e 系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1 1。c(t)t011 )1)(1(22122TsTsssnn特征方程还可为特征方程还可为:当当 时时，121 21,nns 极点为：极点为：)1(121nT221(1)nT 式中式中2122212121()111()2(1)(1)()()nnnT TC sR sSST sT sssTT 这里这里，21TT 2121TTn因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为：)1(1)1(111)1)
14、(1(1)(2212112121TsTTTTsTTTsssTsTsC212121211)(TtTteTTTeTTTtc二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l=1(临界阻尼临界阻尼)(两相等负实根)1 2nS 、2222221112()()()nnnnnnnnC SSSSS SSSS 11()()ntnc tet 系统输出无振荡和超调，系统输出无振荡和超调，=1时系统的响应速度比时系统的响应速度比1 时快，时快，输出响应最终趋于稳态值输出响应最终趋于稳态值1 1。1=1 c(t)t0二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l=0(无阻尼无阻
15、尼)(两共轭虚根)1 2nSj 、22222222112()()nnnnnnSC SSSSS SSS 1()nc tcost 系统输出为无阻尼等幅振荡，震荡周期为系统输出为无阻尼等幅振荡，震荡周期为wn。c(t)t01=0 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l01(欠阻尼欠阻尼)(两不相等负实根)21 21nnSj 、222222112()()nnnnndC SS SSSS 211()nnttddc tecostesint 令令：阻尼振荡频率阻尼振荡频率21dn222222211()()()nnnndndndSSSSSSS 22221()()nndnddndSSSS 22111()n
16、tddecostsint 212111()()ntdesinttg S1S201-2n-n1-2n-njc(t)t011 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应n 不同不同值时系统的单位阶跃响应总结值时系统的单位阶跃响应总结基本结论基本结论:在在 0011 1 则系统响则系统响应迟缓，调节时间变长，快速性变差；若应迟缓，调节时间变长，快速性变差；若过小，虽然响应过小，虽然响应的起始速度较快，的起始速度较快，tr 和和tp 小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间慢，调节时间 ts 亦长。亦长。c(t)t01=0 1 =1 1 单位阶跃响应单位阶跃响应极点位
17、置极点位置特征根特征根阻尼系数阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼,0njs2,1欠阻尼,1o22,11nnjs临界阻尼，1)(2,1重根ns过阻尼，1122,1nns二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标n性能指标分析性能指标分析二阶系统的性能指标主要针对在欠阻尼状态下的二阶系统的单位阶跃响应进行讨论和计算的。tc(t)01trtpMptsess主要性能指标有：主要性能指标有：1.上升时间 tr2.峰值时间 tp3.超 调 量 Mp4.调节时间 ts5.稳态误差 ess1.1.上升时间上升时间t tr r即即根据定
18、义有根据定义有则则二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标2111()sin()n rtrd rec tt 22011001sin()(,)n rnrtd rtete 2110012sin()(,)d rd rd rttgtnnt （）（）21rdnt tc(t)01tr当当 一定时，一定时，越小，越小，越小；越小；当当 一定时，一定时，越大，越大，越越小。小。rtrtnn2.2.峰值时间峰值时间 tp即即二阶系统的单位阶跃响应为二阶系统的单位阶跃响应为则则二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标211()sin()n rtd rec tt 0()pttdc tdt 21()d ptgt 2121pd
19、dntT 当当 一定时，一定时，越小，越小，越小；越小；当当 一定时，一定时，越大，越大，越小。越小。ptptnn根据定义有：根据定义有：2110()sin()cos()nppnptt tnd ptd pddc tetdtet ()dptgttg012(.)dptkk，tc(t)01tp3.3.超调量超调量 Mp即即超调量根据定义为超调量根据定义为则则二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标100()()%(/)pppdc tMctc 2221211111()sin()sin()n ptpdpec tte s si in n（）=211()pc te 21100%pMe 增大，减小。通常为了获得良
20、好的平稳性和快速性，阻尼比 取在0.4-0.8 之间,相应的超调量约为 25%-2.5%。pMpM 与与 的关系曲线的关系曲线pMtc(t)01tpMP4.4.调节时间调节时间 ts即即根据定义调节时间为根据定义调节时间为可得：可得：二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标210 050 02sin()(.or=.nstdset ）1sin()d st 21nste 211ln()1snt (5%)or 3(2%)4 ssnntt tc(t)01ts误差带误差带在设计系统时,通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率 来决定。n调节时间与系统极点的实部成反比。系统极点距虚轴距离越远，
21、调节时间越短。在 之间，调节时间和超调量(25%1.5%)都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。8.04.0707.0215.5.稳态误差ess稳态误差根据定义为二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标lim()lim()()ssttee tr tc t 21limsin()ntdtet tc(t)01ess=0n性能指标分析总结性能指标分析总结1 1）平稳性：主要由）平稳性：主要由决定决定2 2）快速性：由）快速性：由和和n n决定决定3 3）准确性：由）准确性：由和和n n决定决定21100%pMe 221211rpdddnnttT (5%)or 3(2%)4 ssnntt 二阶
22、系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应l=0=0(无阻尼无阻尼)22222212()()()()nnnnndC SG SR SSSS ()()r tt 1()R S n二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应ttcnnsin)(l 01 01 1 (过阻尼过阻尼)22(1)(1)2()21nnttnc tee 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应l=0=0(无阻尼无阻尼)222212()()()nnnC SG SR SSSS ()r tt 21()R SS n二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应1()sinnnc ttt l 01 01(欠阻尼欠阻尼)221()sin(2
23、)(1/)ntdndc ttetarctg l =1=1(临界阻尼临界阻尼)221()(1)2ntnnnc ttt e 系统误差为系统误差为:2lim()sstnee t/t s()c tsse21()()()sin(2)ntdnde tr tc tet 系统稳态误差为系统稳态误差为:例例3:3:给图示机械系统施加给图示机械系统施加f=8.9N的阶跃力，质量块的位移的阶跃力，质量块的位移曲线曲线y(t)y(t)如图所示。试确定系统的参数如图所示。试确定系统的参数m,km,k和和c c的值？的值？m()y t()f tck()/y tm0.031230.00290/t s4二阶系统的性能指标二阶
24、系统的性能指标解解:（1）建立系统的数学模型）建立系统的数学模型()()()()mytcy tky tf t微分方程：微分方程：传递函数传递函数:二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标222221112()()()nnnkY smG sckF smscskkk SSssmm 218.9()kmY sckksssmm0.00299.6%0.03pM 2,2nnkcmm在阶跃力作用下响应的拉氏变换为在阶跃力作用下响应的拉氏变换为:由响应曲线可知由响应曲线可知:稳态值为稳态值为 0.03 0.03 m m超调量为超调量为峰值时间为峰值时间为 2pts根据根据21100%pMe 0.621pnt 21.
25、961npradst(2)(2)求求k k利用终值定理：利用终值定理：0lim()lim()tsy tsY s2229777.31.96nkmkg0218 9.limsmscksssmm 8.90.03mk8.9297/0.03NkN mm(3)(3)求求m m和和c c 2181.8./ncmN s m二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标一般高阶系统可以分解成若干惯性环节和振荡环节的叠加。一般高阶系统可以分解成若干惯性环节和振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些惯性环节和振荡环节的响应函数叠其瞬态响应即是由这些惯性环节和振荡环节的响应函数叠加而成。加而成。高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应n
26、高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应 122112()()()miiqrjkkkjkKszC sG SR SSSpSS 0222111qrjkkkjjkkkkdcb ScSSpS R(S)C(S)系统系统G(S)1111011122110112().()()().mmmimmiqnnrnnkkkjkjKszb SbSbSbC sG sR sa SaSa Sasssp 设设则单位阶跃响应为：则单位阶跃响应为：1222111()()(cossin)kktkkkkkkkkkkkkkcbv tL V Sebtt 设设 2202110111()cossinjkkqrttkkkkjkkkkkjkkkpbc
27、bc td eebtta 则则所以所以高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应 222222222222222221111111()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkb ScVSSbScbSSbScbSS 极点为实数的函数项对应衰减指数项，极点为共轭复数的函数项对应衰减正弦函数项.显然当系统稳定时，所有极点都在s的左半平面,极点离虚轴越近(实部的绝对值越小),所对应分量就衰减得越慢,对动态性能的影响就越大,极点离虚轴越远(实部的绝对值越大),所对应分量就衰减得越快,对动态性能的影响就越小.在高阶系统中,如果存在一对离虚轴最近的共轭复数极点，且
28、其周围没有零点，其他闭环极点与虚轴的距离比这对共轭复数极点与虚轴的距离大5倍以上。这样一对共轭复数极点就称为闭环主导极点。高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应n增加非主导极点对阻尼系数有何影响？增加非主导极点对阻尼系数有何影响？230()(25)(6)19.1%3.89PsG sSSSMts 25()2520.8%3.74PsG sSSMts 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应j0n附加闭环零点对欠阻尼二阶系统的影响附加闭环零点对欠阻尼二阶系统的影响j0j0j0系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度）对强度）,如果在某一
29、极点附近存在零点，则其对应的瞬态分如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。量可以忽略。122112()()()()mjjkknrspkikkkikKSzcSpSSpSS 零点的增加将使系统响应过程加快，超调量增大，系统对零点的增加将使系统响应过程加快，超调量增大，系统对输入作用的反应灵敏了。输入作用的反应灵敏了。11()1()()dc tc tc tzdt 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应j0j0j0j0高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应n偶极子偶极子(彼此接近的零、极
30、点彼此接近的零、极点)的影响的影响22202042024()()G SSSS 21202423()()()()G SSSS 22223 3124 52423.().()()()()SG SSSS 623()()()GSSS 偶极子：偶极子：若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响互相抵消。的影响互相抵消。n 二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善 二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善 调整典型二阶系统的两个特征参数和和n n,可以改善系统性能，但这种改善功能有限。例如为了减小阶跃响应的超调量，应增大阻尼比,但是却降低了响应的初始快速性，即上升
31、时间、峰值时间延长了；当系统为了增大阻尼比必须以减小自然频率n,为代价时，系统的快速性降低，稳态误差也会增大。所以，要改善系统的性能必须研究其它控制方法。比例微分控制和速度反馈控制是两种常用的改善系统性能的方法。（1）比例调节）比例调节)(sR11()s Ts )(sCPK()E s22222111112()()()/PPPPnPPnnKKS TSG sTSSKKS TSKTSS TKTSS 分析：分析：闭环传递函数为闭环传递函数为21211222PPnnnnPnPKKTTTKTK T 10二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善 误差传递函数误差传递函数：211111()()()()()ePPE
32、 SS TSSR STSSKKS TS 010()()()lim()sssr tu tR SeS E S 2011()()lim()sssPr ttR SeS E SSK stssPnrpPeKttM 显然，单纯依靠KP不可能使二阶系统既有满意的瞬态性能，又有满意的稳态性能实际中T为结构参数，一般不可调,KP为比例系数可调。stssnrpPeTttM 2(2)nns s n 速度反馈控制的二阶系速度反馈控制的二阶系 统统二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善)(sR)(sC()E stk S22()nnS S 22()(2)nknntG ss sk 222()()11()2()2knBkn tn
33、nG sG sG ssks 等效阻尼比增大为：12ttnk 所以，速度反馈可以增大系统的阻尼比,从而可以改善系统的动态性能，但不改变无阻尼振荡频率。例例 原原控制系统如图控制系统如图(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如所示，引入速度反馈后的控制系统如图图(b)所示，已知在图所示，已知在图(b)中，系统单位阶跃响应的超调量中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间，峰值时间tp=1.14s，试确定参数，试确定参数K和和Kt，并计，并计算系统在算系统在(a)(a)和和(b)(b)的单位阶跃响应的单位阶跃响应h(t)h(t)。(a)(b)KsKKsKsGsRsCtB)1()()()(
34、2KntnKK12%4.16%1001exp2pM5.014.112npt216.012102KKKntnsradn16.3)6074.2sin(154.11)1sin(111)(58.122tetethtntn1010)()()(22ssKssKsRsCsGB158.016.310sradn%60%10021eMpstnp01.112)9.8012.3sin(016.11)(5.0tetht二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善（3）误差的比例）误差的比例-微分控制（微分控制（PD控制）控制）s+-)(sR)(sC)2(2nnss分析分析:闭环传递函数为闭环传递函数为2222221212112
35、()()()()()()()()()nnnnnnnnC SG sR SSs sSSSSs s 22222211222()()()nnnnnnnnSSzSSSzzzS n比例比例-微分控制微分控制(带零点的二阶系统带零点的二阶系统)不改变自由振荡频率不改变自由振荡频率n,但却增大了阻尼比但却增大了阻尼比,将使超调量和调节时间变小将使超调量和调节时间变小.适当选择微适当选择微分时间常数分时间常数 的数值，可以使控制系统既有较好的平稳性，的数值，可以使控制系统既有较好的平稳性，又有满意的快速性。又有满意的快速性。21()()r ttR SS 二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善 2222221()(
36、2)(2)nnnnnnC ss sszss 1()C S1()SC SZ111()()C SSC Sz 11()1()()dc tc tc tzdt 21221()1()11(1,)nntec tsintgt 12()11()cos()1ntnc tesinttzz d d d dt t21()1()()cos()1ntnec tzsinttz 21()cos()1ntnzesintlzltl 二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善 S1S20n-zl n eRmI21cos()sincos()1ntesinttzl 211()(1)ntnesinlttzzg 21100()%plMez 2211()()rnpntt 3 ln4 ln(5%)(2%)ssnnllzztt
