1、控制工程理论任永强任永强 Tel：13966750178Email:QQ:342474609合肥工业大学机械与汽车工程学院合肥工业大学机械与汽车工程学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析稳定性的基本概念稳定性的基本概念系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件Routh稳定判据稳定判据Nyquist稳定判据稳定判据 Bode稳定判据稳定判据 系统的相对稳定性系统的相对稳定性稳定性的基本概念稳定性的基本概念 稳定是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实稳定是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界或内部一些因素的扰动，例际运行过程中，总会受到外界或内部一
2、些因素的扰动，例如负载波动、系统参数的变化等。因此如负载波动、系统参数的变化等。因此,如何分析系统的稳如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施是控制理论的基本任务之定性并提出保证系统稳定的措施是控制理论的基本任务之一。一。定义定义 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能恢复到初始平衡状态，则这种大，当扰动取消后，系统都能恢复到初始平衡状态，则这种系统称为系统称为大范围稳定大范围稳定的系统；的系统；如果只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统如果只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后
3、恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定小范围稳定的系统；的系统；大范围稳定大范围稳定小范围稳定小范围稳定不稳定不稳定稳定性的基本概念稳定性的基本概念理解理解注意注意对于线性系统而言：对于线性系统而言：1 1、若稳定、若稳定,它必然在大范围内和小范围内都稳定。只有非它必然在大范围内和小范围内都稳定。只有非 线性系统才可能存在小范围稳定而大范围不稳定情况。线性系统才可能存在小范围稳定而大范围不稳定情况。2 2、在有界输入作用下、在有界输入作用下,其输出响应也是有界的。其输出响应也
4、是有界的。3 3、稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的、稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的结构和参数，而与初始状态和外作用无关。结构和参数，而与初始状态和外作用无关。临界稳定临界稳定：若系统在若系统在扰动消失扰动消失后，输出后，输出与原始的与原始的平衡状态平衡状态间存在恒间存在恒定的偏差定的偏差或输出维或输出维持等幅振持等幅振荡，则系荡，则系统处于临统处于临界稳定状界稳定状态。态。系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件线性系统稳定性定义线性系统稳定性定义：线性控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离线性控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，在
5、干扰消失后系统又能够回到原来了原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的平衡状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则，该系统就是不稳定的。的，否则，该系统就是不稳定的。不稳定稳定R(S)C(S)系统系统G(S)()()r tt 设系统的传递函数为 122112()miiqrkkkjkjKszsssp 1111011110.()()().mmmmnnnnb SbSbSbC sG sR sa SaSa Sa 输入:()()r tt 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件则系统输出为 1221112()()()miiqrkkkjkjKsz
6、C sG ssssp 222111qrjkkkjjkkkkdb S cSpS 22211111()cossinjkkqrttkkkkkkkkkjkjkkpcbc tebttd e 则前一章分析可得 总结总结:如果系统的闭环极点均位于左半如果系统的闭环极点均位于左半s平平面，则瞬态响应的暂态分量将随时间而面，则瞬态响应的暂态分量将随时间而衰减，系统是稳定的。只要有一个极点衰减，系统是稳定的。只要有一个极点位于右半位于右半s平面，则对应的响应将是发散平面，则对应的响应将是发散的，系统就不能正常稳定工作。的，系统就不能正常稳定工作。q系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函
7、数的极点）系统特征方程的根（即传递函数的极点）全部具有负实部。或者说，特征方程的全部具有负实部。或者说，特征方程的根全部位于左半根全部位于左半s平面。平面。n 特征根的三种情况及所对应时域解：特征根的三种情况及所对应时域解：sin,cos;sin,cosatatatsjttsajesaet et ;深入理解深入理解系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件n s平面上实极点及稳定性平面上实极点及稳定性 j 0 j 0 j 0tc(t)0tc(t)0tc(t)0 j 0 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0ty(t)0系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件n s平面上复极点及稳定性平面上复极点及稳定性
8、 j 0ty(t)0 j 0ty(t)0n S S平面虚轴上重极点及稳定性平面虚轴上重极点及稳定性系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件19401940年年11 11月月7 7日，一阵风日，一阵风引起了桥的晃动，而且引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整晃动越来越大，直到整座桥断裂座桥断裂.221s22s222sintts j 0共振现象的解释共振现象的解释ty(t)0跨越华盛顿州塔科马峡跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于谷的首座大桥，开通于19401940年年7 7月月1 1日。只要有风日。只要有风，这座大桥就会晃动。，这座大桥就会晃动。Routh稳
9、定判据根据稳定的充要条件根据稳定的充要条件,求得特征方程的根就可判定系统求得特征方程的根就可判定系统的稳定性的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。但对于高阶系统求解方程的根比较困难。希希望能够不求解系统特征方程，仅根据特征方程的系数得望能够不求解系统特征方程，仅根据特征方程的系数得到对系统稳定性的正确判断。到对系统稳定性的正确判断。RouthRouth稳定判据就是根据闭环传递函数特征方程式的各项稳定判据就是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数系数,按一定的规则排列成按一定的规则排列成RouthRouth表，根据表中第一列系表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。数正
10、负符号的变化情况来判别系统的稳定性。11100nnnnD sa sasasa 系统稳定（特征方程的根都位于复平面的左半平面）系统稳定（特征方程的根都位于复平面的左半平面）的的必要条件必要条件为：特征方程的系数不等于零且具有相同为：特征方程的系数不等于零且具有相同的符号。的符号。闭环特征方程闭环特征方程Routh稳定判据设系统的特征方程为设系统的特征方程为111100().nnnnD Sa SaSa Sa 根据特征方程的各项系数排列成根据特征方程的各项系数排列成RouthRouth判据表判据表(n=5(n=5 为例为例)：5531Saaa 4204Saaa 1320Sbb12Sc2 2c c 0
11、S1 1 e e435412ba aa aa 415420ba aa aa 11Sd0 0 124112cbab ab 0214010baaabc 1 21112dc bc bc 2111210d cccde RouthRouth稳定判据：稳定判据：RouthRouth表第一列元素符号一致且不等于表第一列元素符号一致且不等于0 0。第一列元素第一列元素符号变化的次数就是正实部符号变化的次数就是正实部根的数目根的数目。Routh稳定判据例：已知系统的特征方程，试判断该系统稳定性。例：已知系统的特征方程，试判断该系统稳定性。解：解：D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0RouthRouth表
12、如下：表如下：1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b1 b2 c1 d1 2 4 b1=2*3 -1*4 2 =11 b2=2*5 -1*0 2 =55 c1=1*4 -2*5 1 =-6-6 d1=-6*5 -1*0 -6 =55特征方程有两个正实部根，系统不稳定。特征方程有两个正实部根，系统不稳定。例例:系统如图所示系统如图所示,试确定系统稳定时放大倍数试确定系统稳定时放大倍数K K的取值范围。的取值范围。闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程:D(s)=s3+14s2+40s+40K=0解：解：Routh稳定判据)(sR)(sC()E s0 11 0 251(.)(.)KSSS
13、011 0251(.(.)()BKSSGSKs RouthRouth表表:1 40 s3 s2 14 40K s1 b1 b1=14*40 -1*40K 14 s0 c1 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:0560-40K040K014K0试判断有几个特征方程根位于试判断有几个特征方程根位于S=-1S=-1之左？之左？令令 s=z-1Routh稳定判据1 1、首列中有首列中有1个元素为零，但所在行中存在非零元素。个元素为零，但所在行中存在非零元素。如特征方程：如特征方程：前面分析的为首列中没有元素是零的情况。前面分析的为首列中没有元素是零的情况。RouthRouth判据表判据表在分析中存在
14、两种特殊情形。在分析中存在两种特殊情形。54322241110D ssssss 542103121 12410060ssssss这时可以用这时可以用无穷小正数无穷小正数 代替代替0 0，继续运算。，继续运算。RouthRouth表表:4-12/10610 本例Routh表首列首列符号变化两次符号变化两次，表示系统中有2个带正实部的根,系统不稳定。若用用 替代后符号没有变化表示替代后符号没有变化表示系统中有纯虚根存在。如特征方程：如特征方程：D(s)=s3+2s2+s+2=0321011202ssssRouthRouth表表:用用无穷小正数无穷小正数 代替代替0 0 2首列用首列用 替代后符号没
15、有变化替代后符号没有变化表明表明系统中有一对纯虚根。系统中有一对纯虚根。s1=-2s2.3=j2 2、首列中有零元素且所在行其他元素均为零首列中有零元素且所在行其他元素均为零。说明特。说明特征根中可能存在共轭虚根或共轭复根或符号相异的实根。征根中可能存在共轭虚根或共轭复根或符号相异的实根。如特征方程：如特征方程：5432424363D ssssss 543210143124632060021630ssssss这时可以由上这时可以由上一行元素为系数一行元素为系数构成辅助构成辅助多项式多项式：RouthRouth表表:42Routh表首列首列符号变化两次符号变化两次，表示系统中有2个带正实部的根,
16、由辅助多项式可解得存在1对共轭虚根，系统不稳定。Routh稳定判据 22163F ss 42Fss 63 5432232424363321D ssssssssss 多项式对多项式对s求导：求导：所得系数取代全零行。所得系数取代全零行。如特征方程：如特征方程：RouthRouth表表:54323322D ssssss 54321013102032ssssss上上一行元素为系数一行元素为系数构成辅助构成辅助多项式多项式：4232F sss 346Fsss 多项式对多项式对s求导：求导：所得系数取代全零行。所得系数取代全零行。463/222/32Routh表首列符号没有变化,表示系统中不存在带正实部
17、的根,但由辅助多项式可解得存在2对共轭虚根,系统不稳定。4222()32(1)(2)0F sssss Nyquist稳定判据稳定判据系统稳定的充要条件是所有稳定性判据的基础。Routh稳定判据是时域中的有效判据。与此类似，Nyquist及Bode稳定判据是常用的频域稳定性判据。频域稳定判据的特点是根据“开环”系统频率特性曲线，判定闭环系统的稳定性。s s js s平面平面 F F u s()v sF(s)F(s)平面平面例例 F(s)=2s+1Sj01j-j-1jvu0j2-j2-13顺时针方向定义为闭合曲线的正方向闭合曲线正方向右侧区域为包围区域.即:顺时针,向右看。Nyquist稳定判据稳
18、定判据F(s)=s/(s+2)X X Nyquist稳定判据稳定判据CFjvu F sF(s)11()miinkkKszF ssp CsXXXXjsZiPkks p is z ZrPrPsPqrs p ks z qs p ss p 显然如果闭合曲线Cs在s平面上包围了F(s)的Z个零点和P个极点(但不经过任何一个零点和极点)，Cs上任一点以顺时针方向转动一圈时，复变函数F(s)的矢量相位增量为:,那么对应的映射曲线CF在F(s)平面上以顺时针包围原点N=Z-P圈。设222()()()()()F sZPZ P Cauchy幅角定理：幅角定理：若N=Z-P0表示CF顺时针包围原点N圈；若N=Z-P
19、=0表示CF顺时针旋转但不包围原点；若N=Z-P1时，时，Nyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1，j0)点一圈，即点一圈，即N=1，Z=N-P=0则闭环系统是稳定的。当则闭环系统是稳定的。当K0)0的部分；的部分；3、单位圆内部单位圆内部 L(L()0)0)0)正穿越正穿越6 6、在在L()0的范围内的范围内正穿越正穿越对应于对数相频特曲线当对应于对数相频特曲线当 增大时从下向上穿越增大时从下向上穿越 180180线线(相位增大相位增大 )；负穿越负穿越对应于对数相频特曲线当对应于对数相频特曲线当 增大时从上向下穿越增大时从上向下穿越 180180线线(相位减小相位减小 )；Bode
20、稳定判据稳定判据(Nyquist对数稳定判据对数稳定判据)当当由由0+0+变化时，在开环对数幅频特性曲线变化时，在开环对数幅频特性曲线L L()0)0的频段内，若系统的频段内，若系统开环开环相频特性曲线相频特性曲线()对对-180-180线的正负线的正负穿越次数之差为穿越次数之差为P/2（P为系统开环在右半为系统开环在右半s平面的极点数），平面的极点数），则闭环系统稳定。则闭环系统稳定。否则，闭环不稳定。否则，闭环不稳定。nBode稳定判据稳定判据例：例：已知某系统的开环传递函数已知某系统的开环传递函数 Bode图，试判断闭环系统的稳定性。图，试判断闭环系统的稳定性。2P解：解：由题意可知开环
21、特征方程有由题意可知开环特征方程有两个右根，即两个右根，即P=2,P=2,再再由由bode图可图可知：知：正负穿越数之差为正负穿越数之差为-1 -1 ，所以，所以闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。Bode稳定判据稳定判据(Nyquist对数稳定判据对数稳定判据)例：例：已知某系统的开环传递函数已知某系统的开环传递函数 Bode图，试判断闭环系统的稳定性。图，试判断闭环系统的稳定性。0P解：解：由题意可知开环特征方程有由题意可知开环特征方程有0 0个个右根，即右根，即P=0,P=0,再再由由bode图可知：图可知：正正负穿越数之差为负穿越数之差为0 0 ，所以，所以闭环系统闭环系统不稳定。不稳定。
22、Bode稳定判据稳定判据(Nyquist对数稳定判据对数稳定判据)例：例：已知某系统的开环传递函数已知某系统的开环传递函数 试根据试根据Bode图判断闭环系图判断闭环系统统 的稳定性。的稳定性。221001251510021 00051(.)()()(.)(.)ksG ss sss 解：解：由开环传递函数可知开环特征方程无右根，由开环传递函数可知开环特征方程无右根，P=0 ，再由，再由Bode图图可知可知L()0范围内范围内()和和-线不相交即线不相交即正负穿越数之和为正负穿越数之和为0，所以，所以闭闭环系统稳定。环系统稳定。Bode稳定判据稳定判据(Nyquist对数稳定判据对数稳定判据)例
23、：例：已知某系统的开环传递函数已知某系统的开环传递函数 试根据试根据Bode图判断闭环系统的稳定性。图判断闭环系统的稳定性。2101()()()()kKG sG s H ss s 解：解：开环传递函数的开环传递函数的Nyquist图及图及Bode图如图图如图所示，辅助圆如图中虚线所示，辅助圆如图中虚线所示。由开环传递函数可所示。由开环传递函数可知开环在右半知开环在右半s平面无极平面无极点，即点，即P=0，又由图可知，又由图可知开环相频特性曲线正负穿开环相频特性曲线正负穿越数越数 N+-N-=-1，所以，所以闭环闭环系统不稳定系统不稳定(实际实际闭环系统右极点个数闭环系统右极点个数 Z=P-N=
24、2)。且从图中可以看出，且从图中可以看出，不论不论K如何变化。开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳如何变化。开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳定的，表明系统为结构不稳定系统。定的，表明系统为结构不稳定系统。Bode稳定判据稳定判据(Nyquist对数稳定判据对数稳定判据)n最小相位系统的最小相位系统的Bode稳定判据：稳定判据：开环频率特性开环频率特性Gk(S)在在S S右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：BodeBode图图(开环频率特性曲
25、线开环频率特性曲线)不包围不包围(-1,j0)点点 (因为若因为若N=0,且且P=0,所以所以Z=0)。1cg)(c)(gAcg)()(L0180()c gK090 增益交界频率增益交界频率 c(开环剪切频率、幅值穿越频率开环剪切频率、幅值穿越频率):Gk(j)轨迹与单位轨迹与单位圆圆 交点处的频率。交点处的频率。相位交界频率相位交界频率 g(相位穿越频率相位穿越频率):Gk(j)轨迹与负实轴交点处的频率。轨迹与负实轴交点处的频率。Nyquist图幅值和相位关系为：当 时，1)(A180)(,cc当 时，180)(1)(gA当 时，0)(L180)(c当 时，180)(g0)(LBode图幅值
26、和相位关系为：控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性n控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性1cg)(c)(gAcg)()(L0180()c gK090 1gK从从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面极点且闭环稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的系统是稳定的，则开环系统的Nyquist轨迹离轨迹离(-1,j0)点越远点越远,则闭环系统的则闭环系统的稳定程度越高。反之，稳定程度越高。反之，Nyquist轨迹离轨迹离(-1,j0)点越近点越近,则其闭环系统的稳定则其闭环系统的稳定程度越低。通过程度越低。通过Nyquist轨迹对点
27、轨迹对点(-1,j0)的靠近程度来度量其定量表示为的靠近程度来度量其定量表示为相位裕度相位裕度和幅值和幅值(增益增益)裕度裕度Kg,这就是通常所说的这就是通常所说的相对稳定性相对稳定性。当频率特性曲线穿过当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时点时，系统处于临界稳定状态。这时:c=g,1/()ggKA )(180c2020()lglg()gggKdBKA 幅值稳定裕度幅值稳定裕度相位稳定裕度相位稳定裕度0180gA()=1,()c 幅值稳定裕度物理意义幅值稳定裕度物理意义:稳定系统在相位穿越频率处将幅值稳定系统在相位穿越频率处将幅值增加增加Kg 倍（倍（Nyquist图
28、）或增加图）或增加Kg 分贝（分贝（BodeBode图系统图系统就就处于处于临界状态。若增加的倍数大于临界状态。若增加的倍数大于 Kg 倍或增加倍或增加Kg 分分贝贝，则，则系统系统变为不稳定。变为不稳定。比如，若增加开环放大系数比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变，即开环放大系数太大，性曲线将上升，而相角特性曲线不变，即开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率：稳定系统在幅值穿越频率c 处将相角减小处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小就度，则系统变
29、为临界稳定；再减小就会变为不稳定。会变为不稳定。控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性1 cg)(c)(gA1gKcg)()(L0180()c gK090 1cg)(c)(gAcg)()(L0180()c gK090 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性例例设控制系统如图所示设控制系统如图所示,当当k=10和和k=100时，试求系统的相位裕度和幅值裕度。时，试求系统的相位裕度和幅值裕度。15()()ks ss -()R s()C s解：解：当当k=10时，开环系统波德图如图所示。时，开环系统波德图如图所示。相位裕度相位裕度5151 021/()()()()(.)kkkG ss sss s
30、s cg)()(L0180 gK090 0270 1510204021451lglg.cc 0110180180900220().ccctgtg 幅值裕度幅值裕度Kg先求幅值穿越频率先求幅值穿越频率c 先求相位穿越频率先求相位穿越频率g,相位穿越频率相位穿越频率g处的相位为：处的相位为：111190021800290224().ggggggtgtgtgtg 2221209542311 004()lg().().ggggggAKAdB 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性当当k=100时，开环系统波德图如图所示。时，开环系统波德图如图所示。cg)()(L0180 gK090 0270 152
31、0dB-20dB/Dec-40dB/Dec-60dB/Dec当当增益从增益从k=10k=10增大到增大到k=100k=100时，幅值特性时，幅值特性曲线上移曲线上移20dB20dB，相位特性曲线不变。，相位特性曲线不变。相位裕度相位裕度202040204471lglg.cc 0110180180900229().ccctgtg 幅值裕度幅值裕度Kg相位穿越频率相位穿越频率g处的相位为：处的相位为：111190021800290224().ggggggtgtgtgtg 2220332162010511 004().lg().().ggggggAKAdB 因此系统在因此系统在k=10k=10时是稳
32、定的，在时是稳定的，在k=100k=100时是不稳定时是不稳定控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性例例某系统结构图如某系统结构图如图图所示。试确定当所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及时闭环系统的稳定性及使使 相位稳定裕度为相位稳定裕度为3030度时的开环放大系数度时的开环放大系数k。-4k200251.S 25011.(.)SS)(sR)(sC解：解：当当k=10k=10时，开环传递函数为：时，开环传递函数为：2000 0251 0 11()(.)(.)kGsSSS 绘制Bode图：1、确定转折频率：10、40，在(1,20lg200)点画斜率为-20的斜线至=10。2、在=10-
33、40间画斜率为-40的斜线；3、在=40后画斜率为-60的斜线。相位裕度相位裕度2040202002040604311040lglglglgcc 01101801809001002534().ccctgtg cg)()(L0180 gK090 0270 11040-20dB/Dec-40dB/Dec-60dB/Dec先求幅值穿越频率先求幅值穿越频率c 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性幅值裕度幅值裕度Kg相位穿越频率相位穿越频率g处的相位为：处的相位为：1111900100251800100259020().ggggggtgtgtgtg 22200420610110025()lg()()
34、(.)(.)ggggggAKAdB 因此系统在k=10时系统是不稳定的。要使相位稳定裕度达到要使相位稳定裕度达到3030度，即度，即01101801809001002530102().cccctgtg 因此必须将原来幅频曲线下移，下移的分贝数为因此必须将原来幅频曲线下移，下移的分贝数为:即降低开环增益，设新的开环放大系数为即降低开环增益，设新的开环放大系数为K Ka a，有：，有：20201022log()lg()gcLAAdB 2220200202015 8lglg.aaKK控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性例例某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为。试确定使相位稳定裕度为。试确定使相位稳定裕度为4545度时的系数度时的系数a。21()kasGSS 2211()kajaGjj 解：解：221()()aA 1180()tg a 1118018018045()ccctg aa 22110 84()().cccaAa 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性
