1、2023-6-41南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室 第二章第二章 行列式行列式一、行列式的计算一、行列式的计算二、克拉默二、克拉默(Cramer)法则法则南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-42一、行列式的计算一、行列式的计算.上节课探讨了行列式的性质，接下来，将应用这些性质来计算行列式.为了更好的计算行列式，引进一种相对较为方便的方法沙漏法1112132122233132333.aaaaaaaaa计算 级行列式例如例如南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-431112132122
2、23313233aaaaaaaaa 将行列式写成111213111221222321223132333132aaaaaaaaaaaaaaa112233a a a122331a a a132132a a a132231a a a112332a a a122133.a a a解：解：南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-44例例1 1.nabbbbabbDbbabbbba 计算 级行列式：解：解：(1)anb注意到：每一行的元素之和都为62再根据行列式的性质 与性质，可得：南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-45(1
3、)(1)(1)(1)11(1)11anbbbbanbabbDanbbabanbbbabbbabbanbbabbba6,i再根据性质 把第1行的-1倍加到第 行可得：南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-46110(1)00000(1)nbbbabbbDanbabbabanb ab例例2 2,1,2,(1)0.ijjinaai jnn 一个 级行列式，假设它的元素满足：证明：当 为奇数时，此行列式为南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-47解：解：(1)01,2,iiiiiiaaain 由式推出：，即，1213112
4、232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaDaaa因此次行列式可写成：12再根据行列式性质 与性质，可得：南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-48121311223213233123121311223213233123000000010nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaDaaa 0.nD 由于 为奇数，于是南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-49例例3 3251319137.315528710D 计算南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机
5、教研室2023-6-410解：解：1,2=D互换第行12,3,4=把第 行的倍数加到第行1913701325270263426026332423,4=把第 行的倍数加到第行1913701325270016800171019137251331552871034311316312.2=把第 行的倍数加到第 行南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-411例例4 45312017252.023100414002350D 计算南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-412解：解：2 5531205312172520231120
6、23100414041400235023502312312 5 41410 0722350667210(2)20(42 12)108066D 南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-413例例5 5解：解：123222212311111123(2)()1111.nnnijj i nnnnnnn nVandermondeaaaaaaaaDaaaaaa 证明：级范德蒙德行列式.在此，应用归纳法证明22112=2=.nDaaaa11当时，结论成立11.nijj i nDaa 现假设成立南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-
7、414123222212311111231111nnnnnnnnaaaaaaaaDaaaa11=,1,2=iiai n n 第 行减去第的 倍21311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa a.n接下来讨论 的情形南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-4152131122221231311212122123131nnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aDaa aaa aaa a2131111.nnijj i naaaaaa Daa =
8、0,.nijDi jaa存在使得南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-416二、克拉默二、克拉默(Cramer)法则法则 本节将应用行列式来解决线性方程组的问题，但在这里只考虑方程个数与未知数个数相等的情形,至于一般情形将在下一章进行讨论.南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-41711 11221121 1222221 122(2)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb线性方程组：111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa记：(2).D称 为线性方程组的系数
9、行列式南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-418().Cramer 根据上述记号，于是得到如下克拉默法则定理定理1 1：(2)0D 在线性方程组中，若其系数行列式，121212(2),3,.nninDDDxxxDDDDDib bb则，线性方程组有解，且解是唯一的：其中表示把系数行列式 中的第 行换成方程组的常数项所形成的行列式注意：注意：定理表明，线性方程组有解，并且是唯一的！南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-419(2)=0(=1,2,),ibin 若在线性方程组中，则此线性方程组为：11 1122121
10、122221 12200(4)0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x.(4)齐次线性方程组称此方程组为显然总是有解，(0,0,0).因为就为方程组的解，把此称为零解解接下来所要探讨的是：()方程组 4 除了零解以外是否还有非零解？南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-420定理定理2 2：11 1122121 122221 12200(4)0(1)0(2)0.nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa xDD 齐次线性方程组只有零解系数行列式；有非零解系数行列式().Cramer 对于方程个数
11、与未知数个数相等的齐次线性方程组，根据克拉默法则有以下定理南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-421123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx 解线性方程则：例例6 6解：解：根据克拉默法则，先计算其系数行列式：2151130627002121476D南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-4221,2,3,4iD i 其次计算：18151930681,52120476D32181139627,02521406D 22851190610805121076D 4215813092702151470D12313,4,1,1.xxxx 所以方程组的唯一解为：南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室2023-6-42312120+0.xxxx 求 在什么条件下，方程组：有非零解例例6 6解：解：221101 方程组有非零解，根据定理，其系数行列式：1.所以1.且不难验证，时，方程组确有非零解2023-6-424南昌大学抚州医学分院计算机教研室南昌大学抚州医学分院计算机教研室 付志青付志青
