1、 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考原创卷命题组 数学I 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 本试卷共页, 包含填空题( 共 题) 、 解答题( 共题) , 满分为 分, 考试时间为 分钟.考试结束后, 请将答题卡交回. 答题前, 请务必将自己的姓名、 考试证号等用书写黑色字迹的 毫米签字笔填写 在答题卡上. 作答试题必须用书写黑色字迹的 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其 他位置作答一律无效.如有作图需要, 须用 B铅笔绘写清楚, 线条、 符号等须加黑、 加粗. 参考
2、公式: 球的体积V球 R , 其中R为球的半径 一、填空题: 本大题共 小题, 每小题分, 共计 分请把答案填写在答题卡相应位 置上 已知集合A, ,Bx|x,xR , 则AB 已知复数z的实部为, 且满足( i)za i, 其中i为虚数单位, 则实数a的值是 下图是根据某学校 位学生的身高( 单位: 厘米) 制成的频率分布直方图, 则所调查 的学生中身高在 , ) 内的学生人数是 ( 第题) I F o rnF r o mT oS t e p II I fI T h e n II E n dI f E n dF o r P r i n tI ( 第题) 一个算法的伪代码如图所示, 执行此算法
3、, 最后输出的I的值是 函数y x l n(x) 的定义域是 在区间(,) 中任取一个数x则能使,x是某个三角形三边长的概率是 在平面直角坐标系x O y中, 曲线y(x a x)e x在点( ,) 处的切线方程为xy(e 是自然对数的底数) , 则实数a的值是 在正方体内有一个球, 该球与正方体的六个面均相切记正方体的体积为V, 球O体积 为V, 则V V的值是 设三个等差数列an , bn , cn 的前n项和分别为Sn,Tn,Un已知abc , abc , 则S T U 的值是 已知函数f(x)x x,g(x) x,x, x,x 则不等式f(x)g(x) 的解集是 已知e是单位向量, 向
4、量a满足ae, 且|a| | at e|对任意实数t恒成立, 则 |a|的取值范围是 在平面直角坐标系x O y中, 椭圆x a y (a) 与为双曲线x m y 有公共焦点 F,F设P是椭圆与双曲线的一个交点, 则PFF的面积是 已知s i n() s i n() ,t a n() , 则t a n的值是 已知二次函数f(x)x b xc, 当x , 时, |f(x)|, 则的最大值是 二、解答题: 本大题共小题, 共计 分请在答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤 ( 本小题满分 分) 在平面直角坐标系中, 设向量p(c o sA,s i nA) , q(s
5、i nB,c o sB)其中A,B分别是 A B C的两个内角 ( )若pq, 求C的值; ( )若pqs i n C,A B, 求A B C的面积的最大值 ( 本小题满分 分) 如图, 在三棱锥PA B C中,P A平面A B C,A BB C,A FF P,D为A C的中点,E 为B C中点求证: ( 第 题) ( )B DP C; ( )P E平面F B D ( 本小题满分 分) 为防止新冠肺炎病毒的传播, 净化空气, 确保医务人员的安全, 某医院决定喷洒一种消 毒剂, 每天次根据实验知, 每喷洒该消毒剂个单位, 空气中释放出有效杀毒成份浓 度y( 毫克/立方米) 随时间x( 小时) 的
6、变化近似为y x,x , x , x 当空气 中的有效杀毒浓度不少于( 毫克/立方米) 时, 才能起到杀死新冠肺炎病毒的作用若 第一次喷洒时间为 , 且喷洒个单位的消毒剂 ( )问第一次喷洒后多少小时内有效杀毒? ( )若第二次喷洒时间为当日 , 则第二次至少喷洒多少个单位的消毒剂, 使一天 内( 到次日 ) 都能有效杀毒 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 ( 本小题满分 分) 如图在平面直角坐标系x O y中, 已知椭圆C: x a y b ,C: x a y b (ab) , 椭圆C的右顶点和上顶点分别为A和B, 过A,B分别引椭圆C的切线
7、l ,l, 切点为 C,D ( )若a,b, 求直线l的方程; ( )若直线l与l的斜率之积为 , 求椭圆C 的离心率 ( 第 题) ( 本小题满分 分) 已知函数f(x)l n x x , g(x)k(x) (k) ( )求f(x) 的单调区间; ( )证明:f k ()g k (); ( )若关于x的方程f(x)g(x) 有唯一解, 求k的值 ( 本小题满分 分) 数列 an 满足:a,a,ananan ( ) n( n, ) ( )当n时, 求 anan an 的值; ( )设bnan()an,cnan a n an证明: 数列bn 是等比数列; 数列cn 是等差数列 数学( 附加题)
8、注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 本试卷共页, 均为解答题( 第 题) .满分为 分, 考试时间为 分钟.考 试结束后, 请将答题卡交回. 答题前, 请务必将自己的姓名、 考试证号等用书写黑色字迹的 毫米签字笔填写 在答题卡上. 作答试题必须用书写黑色字迹的 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其 他位置作答一律无效.如有作图需要, 须用 B铅笔绘写清楚, 线条、 符号等须加黑、 加粗. 【 选做题】 本题包括A,B,C三小题, 每小题 分请选定其中两小题 , 并在相应的答题 区域内作答 若多做, 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、 证明过程或演 算
9、步骤 A 选修: 矩阵与变换 ( 本小题满分 分) 已知矩阵A ( )求A的逆矩阵A ; ( )求矩阵A的特征值 B 选修: 坐标系与参数方程 ( 本小题满分 分) 在极坐标系中, 已知点A, (), B, (), C, () ( )求直线B C的极坐标方程; ( )求A B C的面积 C 选修 : 不等式选讲 ( 本小题满分 分) 已知a,b,c是非负实数, 满足abc 求( abc)ab c ()的最小值 【 必做题】 第 题、 第 题, 每小题 分, 共计 分请在答题卡指定区域 内作答, 解 答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ( 本小题满分 分) 如图, 在正四棱柱A B C D
10、ABCD中,A A,A B,E,F分别是B C,B B的 中点 ( )求直线A F与平面CD E所成角的正弦值; ( )求二面角AAFD的余弦值 ( 第 题) ( 本小题满分 分) 设a,a, ,a n的值分别独立地从集合, ,n 中随机选取, 记由a,a, ,an组成 的数集的元素个数为X ( )当n时, 求X的概率; ( )求X的数学期望E X 南通名师高考数学原创押题卷( 答案) 南通名师高考数学原创押题卷参考答案 数学I 【 答案】 , 【 解析】AB, ,x|x,xR, 【 答案】 【 解析】 法一: 由( i)za i, 得za i i ( a i) ( i) ( a )(a )i
11、再由z的实部为, 得a 法二: 设zbi,bR由( i)bi a i, 得ab 【 答案】 【 解析】 在 , ) 的学生数为( ) 【 答案】 【 解析】 I的值 分别为, 最后输出的值为 【 答案】(,) , (,) 【 解析】 原函数的定义域是 x , x, 解得x或x 【 答案】 【 解析】 要使,x能构成一个三角形, 则x, 即x, 故其概率为 【 答案】 【 解析】 由y (x x a xa)e x, y |xa, 故a 【 答案】 【 解析】 设球的半径为R, 则正方体的棱长为R,VR , V R , 故V V 【 答案】 【 解析】因为 an , bn , cn 都是等差数列,
12、 所以数列anbncn 也是等差数列, 且公差 d , 故abc ,S T U 【 答案】 x|x 【 解析】 法一: 因为g(x)|x |, 所以不等式f(x)g(x) 等价于x x |x |, 这等价于 |x | | x |, 于是,|x |, 解得x 法二: 原不等式等价于 x xx x 或 x xx, x 解得x或x, 即x 【 答案】 , 【 解析】 在平面直角坐标系中, 不妨设e(,) , 由ae, 得a(,s) , 则 s ( t) s 对任意实数t恒 成立, 所以 s | s|, 解得|s|, 故s , |a| 【 答案】 【 解析】 根据对称性, 不妨设P在第一象限由题设可知
13、FF(a ) (m ) c 即a m , a c , c m 根据椭圆与双曲线的定义得 南通名师高考数学原创押题卷( 答案) P FP Fa, P FP Fm, P Fam, P Fam 在PFF中, 由余弦定理得 c o s FP FP F P F FF P FP F ( am) ( am) c (am) (am) ( a m c a m ( a c ) (c m ) a m 所以, s i n FP F , SP FF P F P Fs i n FP F (a m) 【 答案】 【 解析】 由s i n() s i n()得s i n c o sc o s s i n s i n c o
14、s c o s s i n, 则t a n t a n , t a n t a n t a n t a n 而t a n() t a nt a n t a nt a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n 所以, t a n t a n() , 即t a n 【 答案】 【 解析】 ( 方法) 由x, 时, |f(x)|得 f() b c, f() bc, f () () b c, 由得( ) f()f( )f (), 故 而当f(x)x , x , 时,|f(x)|, 此时 ( 方法) 由条件和设问知, 该问题与对称轴的位置无关, 不失一般性,
15、 可设b 因是求的最大值, 由二次函数图象特征知, , 且c 下略 【 解析】 ()由pq, 即c o sAc o sBs i nAs i nB, 所以c o s(AB) 因为AB, 所以AB , 故C ( )由pqs i n C得c o sAs i nBs i nAc o sBs i n C, 即s i n(AB)s i n C, 因为ABC,C (AB), 所以s i nCs i n(AB)s i n C即s i nCs i nCc o sC 因为C(,) ,s i nC, 所以c o sC , 即C 由余弦定理a b a bc o sCc 得a b a b, (a,b,c分别为内角A,B
16、,C的对边) 由基本不等式a b a b得a b, 当且仅当ab时, 取得等号 所以SA B C a b s i nC a b , 当且仅当a b时, 取得等号 所以A B C面积的最大值为 【 证明】 ()因为D是A C中点,A BB C, 所以B DA C 又因为P A平面A B C,B D平面A B C, 所以P AB D 又P A,A C平面P A C,P AA CA, 所以B D平面P A C, 因为P C平面P A C, 所以B DP C ( )连A E交B D于G, 连F G 因为D,E分别为A B C边A C,B C的中点, 所以G是A B C的重心, 于是A GG E 南通名
17、师高考数学原创押题卷( 答案) 又由已知得A FF P, 即A FF P, 所以A G G E A F F P, 所以 F GP E 因为F G平面F B D,P E平面F B D, 所以P E平面F B D 【 解析】 ()设早上六点为时, 设过x小时后, 空气中有效杀毒浓度为f(x) ( 毫克/立方米) , 则 f(x)y x (),x , x, x 当x 时,f(x)(x)() 当 x 时, 由 x, 得x 答: 第一次喷洒个单位消毒剂后 个小时内有效杀毒 ( )晚上 点时, 距离早上第一次喷洒已 个小时, 若第二次喷洒剂量为a单位, 则第x( x ) 时小后, 空气中 有效杀毒浓度g(
18、x) ( 毫克/立方米) , 则 g(x)a(x ) x, ( x ) 令 x t, 则t ,xt g(x)h(t)t a ta , 要使一天内都有效杀毒, 则h( t)在区间(, 上恒成立 即 h(); h( a 答:第二次至少喷漆 ( ) 个单位的消毒剂, 使一天内都有效杀毒 【 解析】 () 当a,b,C: x y , C: x y A(,) , 设过A(,) 处的切线方程为yk(x) , 代入C, 得(k ) x k x k 令( k )( k ) ( k ) , 得k , k , 所以l 的方程为:y ( x) ( )设l,l的斜率分别为k,k, 则kk l,l的方程分别:yk(xa
19、) ,ybkx 联立 yk(xa) , x a y b , 消去y, 得(b a k ) x a k x a k a b 由 a k ( b a k )( a k a b ) , 得a k b 联立 ybkx, x a y b , 消去y, 得(b a k ) x a b kxa b 由 a b k ( b a k ) a b , 得ak b 得a k k b , abe 【 解析】 () 因为f(x) l nx x , 令f(x), 得xe, 列表如下: x ( ,e)e ( e,) f(x) f(x) 极大值 所以f(x) 的单调减区间为(e,) , 单调增区间为(,e) ( )f k (
20、)g k ()l n k k 南通名师高考数学原创押题卷( 答案) 令h(x)x l nx, 则h(x)x x , 得x 所以当x(,) 时,h(x),h(x) 在区间(,) 单调减; 当x(,) 时,h(x),h(x) 在区间(,) 单调增 所以h(x)h()故当k时,h k (), 即l n k k ,所以f k ()g k () ( ) 方程f(x)g(x) l nx x k(x) , 且x是原方程的一个根 令m(x)l n x x k(x) ,m(x) l nx x k令m(x), 即k x l n x() 下面证明, 只有k时, 函数m(x) 有唯一零点 当k时,m(x) l n x
21、 x , 且m() 所以m(x) 在(,) 为单调增函数, 在(, ) 上为单调减函数故函数m(x) 有唯一零点 当k时, 令n(x)k x l n x, 因n()k,n k () k l nk l nk, 又因为n(x) 为增函数, 所以方程() 在, k ()有唯一根, 记为x , 当x(,x) ,m(x)n( x) x , 所以m(x) 在(,x) 单调增, 故m(x)m(), 而由( ) 可知m k (), 即m( x)m k (), 所以, 函数m(x) 在区间x, k ()至少再有一个零点, 所以函数m( x) 至少有两个零点 当k时, 同理可证函数m(x) 在区间 k , x (
22、)还有一个零点 综上所述, 若方程f(x)g(x) 有唯一的解, 则k 【 解析】 ()由a,a, 得a, anan an a nan a n an an a n () n a n an an a n an an an an a n an an an an a n an an a a a ( )由() 可知 anan an , 即ananan, 则b nan()an( )anan( )an()an( )bn, 又a()a , 公比q 所以数列 bn 是等比数列, 公比q 由cna n a nan, 于是 cncna n a n ana n a nan (anan) (anan)(anan) a
23、n(anan)an ( cncn)(cncn)an(anan)anan(anan)an ananananan an(anan)an(anan)an a n a n ancn 所以, cncncn 南通名师高考数学原创押题卷( 答案) 易得c c, 根据递推式可知,cn, (n,) 所以数列 cn 是等差数列 数学( 附加题) A 【 解析】 ()由|A| , 所以A ( )f() ( ) (), 解得 B 【 解析】 () 因为极点(,) 在直线B C上, 所以B C的极坐标方程为: , ( R) ( )设O为极点, 则点O,B,C三点共线, 且B是O C的中点, 所以 SA B C S O
24、A C O AO Cs i n( ) C 【 证明】 由柯西不等式 ( abc)ab c () aab b c c () (abc) 当a,bc时不等式等号成立所以欲求的最小值为 【 解析】 以D A为x轴,D C为y轴,DD为z轴, 建立如图的空间坐标系则D(,) , A(,) ,A(,) ,C(,) ,C(,) ,E(,) ,F(,) ( )设平面CD E的法向量n(x,y,) , 则 nD E , nD C x,y,) (,), ( x,y,) (,) xy, y n(,) 设直线A F与平面CD E所成角为, 则s i n nA F |n| |A F | ( )平面A AF的一个法向量
25、n(,) , 同() 可求得平面AD F的法向量n( ,) 设二面角AAFD为, 由图可知, 是锐角, 所以c o s nn |n| |n| 【 解析】 () ( 法一) 当n时,(a,a,a) 共有以下 种不同的情况 ( ,) , (,) , (,) , (,) , (,) , (,) , ( ,) , (,) , (,) , (,) , (,) , (,) , ( ,) , (,) , (,) , (,) , (,) , (,) , ( ,) , (,) , (,) , (,) , (,) , (,) , ( ,) , (,) , (,) 其中有个不同数字的有 个, 故P(X) ( 法二) 共有 个(a,a,a) , 只有一个数的有个, 三个都不相同的有!, 故恰有个数的有 故 P(X) ( )对于任意R, 定义随机变量 Xk , 若k在a,a, ,an中出现, , 若k不在a,a, ,an中出现 (k, , ,n) 则E Xk即为k在a,a, ,a n中出现的概率 对于每个a i, 它不是k的概率为 n n , 故E Xk n n () n 所以E XE XE XE Xnn( n n ) nn n( n) n n n
