1、河北省衡水中学河北省衡水中学 2018-2019 学年九年级下学期数学期中试题学年九年级下学期数学期中试题 一、选择题一、选择题(每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分) 1.二次函数 yx22x+2 的顶点坐标是（） A. （1，1）B. （2，2）C. （1，2）D. （1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】 根据顶点坐标公式，可得答案 【详解】解： 2 yx2x2的顶点横坐标是 2 1 2 ，纵坐标是 2 4 1 2( 2) 1 4 1 ， 2 yx2x2的顶点坐标是1,1 故选 A 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是 2 b4acb ,. 2a4a 2.下列图
2、形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 试题分析：在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样 的图形叫做中心对称图形.根据定义可得：A、C、D 既是轴对称图形，也是中心对称图形，只有 B 是轴对称 图形，但不是中心对称图形. 考点：轴对称图形、中心对称图形. 【此处有视频，请去附件查看】 3.正方形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形 ABCD 绕点 A 按顺时针方向旋转 180后，C 点 的坐标
3、是() A. (2，0)B. (3，0)C. (2，1)D. (2，1) 【答案】B 【解析】 试题分析：正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180后，C 点的对应点与 C 一定关于 A 对称，A 是对称点 连线的中点，据此即可求解 试题解析：AC=2， 则正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180后 C 的对应点设是 C，则 AC=AC=2， 则 OC=3， 故 C的坐标是（3，0） 故选 B 考点：坐标与图形变化-旋转 【此处有视频，请去附件查看】 4.若 x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 3 2 axa20 的一个根，则 a 的值为（） A. 1 或 4B. 1 或
4、4 C. 1 或4D. 1 或 4 【答案】C 【解析】 试题解析：x=-2 是关于 x 的一元二次方程 22 3 0 2 xaxa的一个根， （-2）2+ 3 2 a（-2）-a2=0，即 a2+3a-4=0， 整理，得（a+4） （a-1）=0， 解得 a1=-4，a2=1 即 a 的值是 1 或-4 故选 A 点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又 因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的 根 5.设 x1，x2是一元二次方程 x22x50 的两根，则 x12+x22的值为（） A.
5、6B. 8C. 14D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系得到 x1+x2=2，x1x2=-5，再变形 x12+x22得到（x1+x2）2-2x1x2，然后利用代入计算即 可 【详解】一元二次方程 x2-2x-3=0 的两根是 x1、x2， x1+x2=2，x1x2=-5， x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=22-2（-5）=14 故选 C 【点睛】 考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 的根与系数的关系： 若方程的两根为 x1， x2， 则 x1+x2=- b a ， x1x2= c a 6. 如图，ABC 中，CAB=65，在同一平面内，将
6、ABC 绕点 A 旋转到AED 的位置，使得 DCAB，则 BAE 等于（ ） A. 30B. 40C. 50D. 60 【答案】C 【解析】 试题分析：DCAB，DCA=CAB=65. ABC 绕点 A 旋转到AED 的位置，BAE=CAD，AC=AD. ADC=DCA=“65.“ CAD=180ADCDCA=“50.“ BAE=50 故选 C 考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质 7.若一次函数 y=ax+b（a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，则抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为【 】 A. 直线 x=1B. 直线 x=2C.
7、直线 x=1D. 直线 x=4 【答案】C 【解析】 一次函数 y=ax+b（a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，2a+b=0，即 b=2a 抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为直线 b x1 2a 故选 C 8.已知抛物线 yax2bxc（ay2B. y1y2C. y1y2D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得 C（5，y1）距对称轴的距离比 D（5，y2）距对称 轴的距离小，进而即可得到答案 【详解】抛物线 yax2bxc（ay2， 故选 A 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，
8、是解题的关键 9.关于 x 的一元二次方程 2 m2 x2m 1 xm20有两个不相等的正实数根， 则 m 的取值范围是 A. 3 m 4 B. 3 m 4 且m2 C. 1 m2 2 D. 3 m2 4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 m-20 且=（2m+1）2-4（m-2） （m-2）0，解得 m 3 4 且 m2，再利用根与系数的关系得到- 21 2 m m 0，则 m-20 时，方程有正实数根，于是可得到 m 的取值 范围为 3 4 m2 【详解】根据题意得m20且 2 (2m 1)4 m2m20， 解得 3 m 4 且m2， 设方程的两
9、根为 a、b，则 2m1 ab0 m2 ， m2 ab10 m2 ， 而2m 10 ， m20，即m2， m的取值范围为 3 m2 4 故选 D 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如 下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根也考查了根与系数的关系 10.如图，抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为(1，0)，其部分图象 如图所示，下列结论：4acb2；方程 ax2bxc0 的两个根是 x11，x23；3ac0
10、；当 y 0 时，x 的取值范围是1x3；当 x0 时，y 随 x 增大而增大其中结论正确的个数是() A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点，b24ac0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x=1，而点（1，0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（3，0） ，方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=1，x2=3，所以正确； x= 2 b a =1，即 b=2a，而 x=1 时，y=0，即 ab+c=0，a+2a+c=0，所以错误； 抛物线与 x 轴的两点坐标为（1，0） ， （3，0） ，当1x3 时，y0，所
11、以错误； 抛物线的对称轴为直线 x=1，当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以正确 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二 次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线与 x 轴交点个数由决定：=b24ac0 时，
12、抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个 交点；=b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11.一元二次方程 2 2x20 的解是_ 【答案】x11，x21 【解析】 分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解 详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=1，解得：x1=1，x2=1 故答案为 x1=1，x2=1 点睛：本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键 12.如果二次函数 2 2yxxk的图像与 x 轴只有一个交点，则 k=_ 【答案】1
13、 【解析】 【分析】 判别式决定抛物线与 x 轴的交点个数， 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； 时，抛物线与 x 轴没有交点. 【详解】解：二次函数 2 2yxxk的图象与 x 轴只有一个交点， 2 2=0xxk 只有 1 个实数根， 2 ( 2)40k ， 解得 k=1. 故答案为 1. 【点睛】此题考查抛物线与 x 轴的交点的应用，熟练掌握二次函数 2 yaxbxc的交点与一元二次方程 2 0axbxc 根之间的关系是解答本题的关键. 13.如图，ABC 为等边三角形，AOB 绕点 A 逆时针旋转后能与AOC 重合，则OAO_度 【答案】60 【
14、解析】 分析：根据旋转的性质，找出OAO=BAC，根据等边三角形的性质，即可解答 详解：根据旋转的性质得：OAO=BAC ABC 是等边三角形，BAC=60，OAO=60 故答案为 60 点睛：本题主要考查了旋转的性质和等边三角形的性质，运用对应点与旋转中心所连线段的夹角等 于旋转角是解答本题的关键 14.设 m，n 是一元二次方程 x22x70 的两个根，则 m23mn_. 【答案】5 【解析】 试题分析：根据根与系数的关系可知 m+n=2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案 设 m、n 是一元二次方程 x2+2
15、x7=0 的两个根， m+n= 2， m 是原方程的根， m2+2m7=0，即 m2+2m=7， m2+3m+n=m2+2m+m+n=72=5 考点：根与系数的关系 15.已知关于 x 的一元二次方程 22 2120xkxk的两根 x1和 x2，且 112 20xxx，则 k 的值是. 【答案】2或 9 4 . 【解析】 试题分析： 112 20xxx， 1 2x 或 12 xx. 关于 x 的一元二次方程 22 2120xkxk的两根 x1和 x2， 若 1 2x ，则 22 22 21202kkk ； 若 12 xx，则方程 22 2120xkxk有两相等的实数根， 2 2 9 214 1
16、20 4 kkk . 2k 或 9 4 k . 考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用. 16.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为 2 1 yx10 40 ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米的点 E，F 处要安装两盏警示灯， 则这两盏灯的水平距离 EF 是_米.(精确到 1 米) 【答案】8 5 【解析】 由于两盏 E、F 距离水面都是 8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就 是直线 y=8 与抛物线两交点的横坐标差的绝对值 故有 2 1 108 40 x， 即 2 80x ， 1 4 5x
17、 ， 2 4 5x 所以两盏警示灯之间的水平距离为： 12 4 54 58 518 mxx （）（ ） 17.两个全等的三角尺重叠放在ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向旋转至DCE 的位 置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB 与 CE 相交于点 F已知ACB=DCE=90，B=30，AB=8cm，则 CF=_cm 【答案】2 3 【解析】 试题解析将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向旋转至DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上， DC=AC，D=CAB， D=DAC， ACB=DCE=90，B=30， D=CAB=60， DCA=60， ACF=30， 可
18、得AFC=90， AB=8cm， AC=4cm， FC=4cos30=2 3cm 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出AFC 的度数是解题关键 18.如果直线 y=kx+b 与抛物线 y= 1 4 x 2交于 A（x 1，y1） ，B（x2，y2）两点，当 OAOB 时，直线 AB 恒过一个定 点，该定点坐标为_提示：直线 l1：y=k1x+b1与直线 l2：y=k2x+b2互相垂直，则 k1k2=-1 【答案】 （0，4） 【解析】 【分析】 依据直线y kxb 与抛物线 2 1 4 yx交于 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y两点，可得 12 4
19、xxk， 12 4x xb ， 再根据OAOB，即可得到4b ，进而得出直线恒过顶点(0,4) 【详解】解：直线y kxb 与抛物线 2 1 4 yx交于 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y两点， 2 1 4 kxbx， 化简，得 2 440xkxb ， 12 4xxk， 12 4x xb ， 又OAOB， 22 12 121212 121212 11 004 44 1 001616 xx yyy yx xb xxx xx x ， 解得，4b ， 即直线4ykx， 故直线恒过顶点(0,4)， 故答案为(0,4) 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确
20、题意，找出所求问题需要的条件， 知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为1 三、解答题（共三、解答题（共 66 分）分） 19.解方程： (1)x22x80;(2)(x2)(x5)2. 【答案】 （1）x12，x24； （2）x13，x24. 【解析】 【分析】 （1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求 解； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【详解】 （1）分解因式得： （x4） （x+2）=0， 解得：x12，x24； （2）方程整理得：x27x+12=0， 分解因式得： （x3） （x4）=0， 解得：x1=3，x
21、2=4 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键 20.如图，在边长为 1 的小正方形组成的方格纸上，将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90 （1）画出旋转之后的ABC； （2）求线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积 【答案】.（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）根据网格结构找出点 B、C 旋转后的对应点 B、C的位置，然后顺次连接即可. （2）先求出 AC 的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解. 【详解】解： （1）ABC如图所示： （2）由图可知，AC=2， 线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积 2 902 360 . 21.已
22、知抛物线 yax22axc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，且 A(1，0) (1)一元二次方程 ax22axc0 的解是； (2)一元二次不等式 ax22axc0 的解集是； (3)若抛物线的顶点在直线 y2x 上，求此抛物线的解析式 【答案】(1)1，3；(2)1x3；(3) 二次函数的解析式为 y 1 2 x2x 3 2 . 【解析】 分析： （1）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点 A、B 关于对称轴对称，求出点 B 的坐标即可； （2）根据抛物线的开口方向，与 x 轴的交点，即可判定不等式的解集； （3）根据抛物线经过点 A，将其代入，用含 a 的式子表示
23、出 c，求出抛物线的顶点坐标，将其 代入直线解析式，即可求出 a 的值，进而求出 c 的值即可 详解： （1）根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线 x= 2 1 2 a a 点 A（1，0） ，点 B 的坐标为（3，0） ，一元二次方程的解为：1，3； 故答案为1，3； （2）二次函数与 y 轴正半轴交于点 C，抛物线的开口向下，当 ax22ax+c0 时，不等式 的解集为：1x3； 故答案为1x3； （3）抛物线经过点 A（1，0） ，a+2a+c=0，即：c=3a， 22 2444 1 2244 baacbaca ca aaaa ，=3aa=4a 抛物线的顶点坐标（1，4a）在直线 y=2
24、x 上，4a=21，解得：a= 1 2 ，c=3a=3 1 2 = 3 2 ， 二次函数的解析式为：y= 1 2 x2+x+ 3 2 点睛：本题主要考查了二次函数与 x 轴的交点，及二次函数与不等式的关系，在第（3）小题中，用 含 a 的式子表示 c 是解答此题的关键 22.已知 关于 x 的一元二次方程 2 x2k1 x4k30 1求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 2当Rt ABC的斜边长a31，且两条直角边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，求ABC的周长 【答案】 （1）答案见解析； （2）7 31 【解析】 【分析】 （1）应用根的判别式直接判断就可以.
25、 （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出 k. 【详解】 （1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 所以 222 4(21)4(43)(22)9backkk， 2 (22)0k 2 (22)90k即 2 40bac 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2）两条直角边的长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根 根据韦达定理可知2143， bc bckbck aa 2222 ()2(21)2(43)31bcbcbckk，解得 12 3,2 kk . 考点：根的判别式，根与系数的关系. 23.2016 年 3 月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销
26、售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价 每个为 10 元，当售价为每个 12 元时，销售量为 180 个，若售价每提高 1 元，销售量就会减少 10 个，请解 答以下问题： (1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量 y(个)与售价 x(元)之间的函数关系(12x30)； (2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得 840 元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】 （1）y=10x300（12x30） ；(2) 王大伯为了让利给顾客，并同时获得 840 元利润，售价应定为 16 元；(3) 当售价定为 20 元时，王大伯获得利润最大，最大利润是 10
27、00 元. 【解析】 试题分析： （1）设蝙蝠型风筝售价为 x 元时，销售量为 y 个，根据“当售价每个为 12 元时，销售量为 180 个，若售价每提高 1 元，销售量就会减少 10 个”，即可得出 y 关于 x 的函数关系式； （2）设王大伯获得的利润为 W，根据“总利润=单个利润销售量”，即可得出 W 关于 x 的函数关系式，代 入 W=840 求出 x 的值，由此即可得出结论； （3）利用配方法将 W 关于 x 的函数关系式变形为 W= 2 10(20)1000x，根据二次函数的性质即可解 决最值问题 试题解析： （1） 设蝙蝠型风筝售价为 x 元时， 销售量为 y 个， 根据题意可知
28、： y=18010 （x12） =10x+300 （12x30） （2）设王大伯获得的利润为 W，则 W=（x10）y= 2 104003000xx ，令 W=840，则 2 104003000xx =840，解得： 1 x=16， 2 x=24 答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得 840 元利润，售价应定为 16 元 （3）W=10x2+400x3000= 2 10(20)1000x，a=100，当 x=20 时，W 取最大值，最大值 为 1000 答：当售价定为 20 元时，王大伯获得利润最大，最大利润是 1000 元 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题
29、24.如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACEAD180，ABC 不动，ADE 绕 点 A 旋转，连接 BE，CD，F 为 BE 的中点，连接 AF. (1)如图，当BAE90时，求证：CD2AF； (2)当BAE90时，(1)的结论是否成立？请结合图说明理由 【答案】(1)证明见解析； （2）当BAE90时， （1）的结论仍成立，理由见解析. 【解析】 分析： （1）因为 AF 是直角三角形 ABE 的中线，所以 BE=2AF，然后通过ABEACD 即可求得 （2）延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AH=AD，证出ABHACD 从而证得 BH=CD，然 后根据
30、三角形的中位线等于底边的一半，求得 BH=2AF，即可求得 详解： （1）如图 BAC+EAD=180，BAE=90，DAC=90 在ABE 与ACD 中， 90 AEAD BAECAD ABAC ， ABEACD（SAS） ，CD=BE 在 RtABE 中，F 为 BE的中点，BE=2AF，CD=2AF （2）成立理由如下： 如图，延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AH=AD BAC+EAD=180，EAB+DAC=180 EAB+BAH=180，DAC=BAH 在ABH 与ACD 中， AHAD BAHCAD ABAC ， ABHACD（SAS） ， BH=DC AD=AE，
31、AH=AD，AE=AH EF=FB，BH=2AF，CD=2AF 点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等作出正 确的辅助线是解题的关键 25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4，0)，B(0，4)，C(2，0)三点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系 式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能使以点 P，Q，B，O 为顶 点的四边形为平行四边形(要求 PQOB)，直接
32、写出相应的点 Q 的坐标 【答案】 （1）y 1 2 x2x4； （2）当 m2 时，S 有最大值，S最大4； （3）满足题意的 Q 点的坐标有三 个，分别是（22 5，225） ， （225，225） ， （4，4）. 【解析】 【分析】 （1）已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可； （2）利用抛物线的解析式表示出点 M 的纵坐标，从而得到点 M 到 x 轴的距离，然后根据三角形面积公式 表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解； （3）利用直线与抛物线的解析式表示出点 P、Q 的坐标，然后求出 PQ 的长度，再
33、根据平行四边形的对边 相等列出算式，然后解关于 x 的一元二次方程即可得解 【详解】 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+4） （x-2） ，把 B（0，-4）代入得， -4=a（0+4） （0-2） ，解得 a= 1 2 ， 抛物线的解析式为：y= 1 2 （x+4） （x-2） ，即 y= 1 2 x2+x-4； （2）过点 M 作 MDx 轴于点 D，设 M 点的坐标为（m，n） ， 则 AD=m+4，MD=-n，n= 1 2 m2+m-4， S=SAMD+S梯形DMBO-SABO = 111 (4)()(4)()4 4 222 mnnm = -2n-2m-8=-2（ 1 2 m2+m
34、-4）-2m-8=-m2-4m =-（m+2）2+4（-4m0） ； S最大值=4 （3）设 P（x， 1 2 x2+x-4） 如图 1，当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQOB， Q 的横坐标等于 P 的横坐标， 又直线的解析式为 y=-x，则 Q（x，-x） 由 PQ=OB， 得|-x-（ 1 2 x2+x-4）|=4，解得 x=0，-4，-22 5x=0 不合题意，舍去 由此可得 Q（-4，4）或（-2+2 5，2-25）或（-2-25，2+25） ； 如图 2，当 BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合，OP=4 四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4，Q 横坐标为 4，代入 y=-x 得出 Q 为（4，-4） 故满足题意的 Q 点的坐标有四个，分别是 （-4，4） ， （4，-4） ， （-2+2 5，2-25） ， （-2-25，2+25） 【点睛】本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的 做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进 行分类讨论.
