1、江苏省扬州市江苏省扬州市2020届高三下学期届高三下学期6月最后一卷数学试题月最后一卷数学试题 数学数学 （全卷满分（全卷满分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 注意事项：注意事项： 1答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）分，请将答案填写在
2、答题卷相应的位置上） 1.已知集合 2 1,0,Aa ， 1,1B ，则ABB，则实数a值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由ABB得到BA，根据集合B中的元素都在集合A中，即可得出a得值. 【详解】因为ABB，所以BA，又 2 1,0,Aa ， 1,1B ，所以 2 1a ，解得1a. 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题. 2.已知复数z满足 34i i z (i为虚数单位)，则|z _ 【答案】5 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式的四则运算法则可求出z，再根据复数的模的计算公式即可求出 【详解】因为 34i i z ，所以 34 43 i zi i ，即
3、2 2 | |435z 故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题 3.某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者 50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数， 已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:3:3，则应从高三年级抽取_名志愿者 【答案】15 【解析】 【分析】 根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出 【详解】高三年级抽取的人数为 3 5015 433 故答案为：15 【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题 4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为
4、_ 【答案】15 【解析】 【分析】 模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】解：模拟程序运行的过程如下： 第一步：1i ，0 55S ，12ii ； 第二步：24i ，5 5 10S ，13ii ； 第三步：34i ，10 5 15S ，14ii ； 第四步：44,不符合条件，所以输出15S . 故答案为：15. 【点睛】本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题. 5.已知抛物线 2 2yx的准线也是双曲线 22 1 3 xy m 的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是 _ 【答案】3yx 【解析】 【分析】 依据题意分别求出抛物线的准线方
5、程和双曲线的左准线方程，即可解出m，从而由双曲线的解析式得到其 渐近线方程 【详解】因为抛物线 2 2yx的准线方程为 1 2 x ，双曲线 22 1 3 xy m 的一条左准线方程为： 0 3 m xm m ，所以 1 23 m m ，解得1m，因此，双曲线的方程为 2 2 1 3 y x ， 其渐近线方程是3yx 故答案为：3yx 【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题 6.某校机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2名，现从中随机选出 3 名参加一个机器人大赛，则选出的人员中 恰好有一名女生的概率为_ 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 由题意求出总的基本事件
6、总数 3 5 nC种，再计算恰有一名女生的基本事件数 21 32 mC C,利用古典概型计算 即可. 【详解】 由题意， 基本事件为机器人兴趣小组有男生 3 名， 女生 2 名， 现从中随机选出 3名， 共有 3 5 10nC 种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为 21 32 3 26mC C 种， 由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为 63 105 m P n ， 故答案为： 3 5 【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查了古典概型，组合的综合应用，属于容易题. 7.已知数列 n a是等比数列， n T是其前n项之积，若 567 aaa ，则 7 T的值是_ 【答案】
7、1 【解析】 【分析】 先设等比数列 n a的公比为q，根据题意，得到 4 1a ，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为数列 n a是等比数列，设公比为q， 由 567 aaa得 456 111 aqaqaq，即 3 1 1a q ，即 4 1a ， 由等比数列的性质可得， 7 712345674 1Ta a a a a a aa. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型. 8.已知( )cos x f xxe，则 (3)(31)0fxfx 的解集为_ 【答案】 1 2, 2 【解析】 【分析】 由已知可得函数为偶函数，求导分析可得 f（x）在0，+）
8、上为增函数，结合函数的奇偶性可得原不等式 等价于331xx，解出 x 的取值范围，即可得答案 【详解】由题知，()( )fxf x，所以( )cos x f xxe为偶函数， 当 x0时，( )cos x f xxe此时有 sin0 x fxxe，则( )f x在0，+）上为增函数， 由 (3)(31)0fxfx ，可得 (3)(31)fxfx ，而函数 ( )f x为偶函数， 可得331xx， 22 331xx 解得 1 2 2 x ， 即不等式的解集为 1 2, 2 . 故答案为： 1 2, 2 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题 9.
9、如图，已知正ABC是一个半球的大圆O的内接三角形，点P在球面上，且OP 面ABC，则三棱锥 PABC与半球的体积比为_ 【答案】 3 3 8 【解析】 【分析】 O是等边三角形ABC的外心，设球半径为R,等边三角形边长为a得到 3 3 Ra，求体积可得. 【详解】 设球半径为R,等边三角形边长为a，由图知，OPOAR,连接OB, OP面ABC,OPOB,由球的对称性知O是等边三角形ABC的外心， 233 323 OBaa 3 3 Ra 223 111331 33221212 P ABCABC VSOPaRa Ra 333 1422 3 23327 VRRa 3 3 1 3 3 12 82 3
10、27 P ABC a V V a 故答案为： 3 3 8 【点睛】与球有关外接问题的解题规律 (1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的 1 2 . (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂 直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥 (3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可 10.已知 3 sin() 283 ，则sincos_. 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 利用倍角公式求出 1 coscos2 4283 ，再利用和差公式展开即可. 【详解】 3 sin() 283 2 1 coscos21 2s
11、in 428283 221 cossin 223 2 cossin 3 故答案为： 2 3 . 【点睛】本题主要考查三角函数和差公式与倍角公式的应用，属于基础题. 11.设 t表示不超过实数t的最大整数(如 1.32 ，2.62)，则函数 ( )21f xxx 的零点个数为 _. 【答案】2 【解析】 【分析】 函数 ( )21f xxx 的零点即方程 21xx 的根， 由210 x可得0x.分01x、1x 和1x 讨论，求出方程 21xx的根，即得函数 f x的零点个数. 【详解】函数 ( )21f xxx 的零点即方程 21xx的根， 函数 f x的零点个数，即方程 21xx的根的个数.
12、210,0,0xxx . 当01x时， 1 0,210, 2 xxx. 当1x 时， 1,211,21 1xxx 或211,1xx 或0x（舍） 当1x 时， 2121xxxx ，方程 21xx无解. 综上，方程 21xx的根为 1 2 ，1. 所以方程 21xx 有 2个根，即函数 ( )21f xxx 有 2 个零点. 故答案：2. 【点睛】本题考查函数与方程，准确分类是关键属于中档题. 12.已知点M是边长为 2 的正ABC内一点，且AM ABAC，若 1 3 ，则MB MC 的最小 值为_. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 取BC的中点O， 以点O为坐标原点，OC、OA所在直线分
13、别为x、y轴建立平面直角坐标系， 求得点M 的轨迹方程为 2 311 333 yx ，可设点 2 3 , 3 Mx ，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 MB MC的最小值. 【详解】 取BC的中点O， 以点O为坐标原点，OC、OA所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy， 则点0, 3A、1,0B 、1,0C， 设点,M x y，,3AMx y，1,3AB ，1,3AC ， AMABAC且 1 3 ，则33 1 3 x y ，可得 1 2 3 2 3 3 x y ， 由于点M在正ABC内，则 0 0 ，可得 1 0 3 ，则 1 1 , 3 3 x ， 2 3 1, 3 MBx ， 2
14、 3 1, 3 MCx ， 22 41 1 33 MB MCxx ， 所以，当0x时，MB MC取最小值 1 3 . 故答案为： 1 3 . 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的求解，求出动点M的轨迹是解题的关键，考查计算能力，属于中 等题. 13.已知等腰梯形ABCD中，60AB ，2AB ，若梯形上底CD上存在点P，使得 2PAPB ， 则该梯形周长的最大值为_. 【答案】3+ 5 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，设出点D的坐标，用两点间距离公式表示出 2PAPB ，计算出参数的取值范围，写出 梯形的周长表达式再求最值即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 设AEt，则01t
15、四边形ABCD是等腰梯形，且60DAB 2ADBCt， 3DEt ，2 2DCt 0,0A，2,0B，, 3D tt，2, 3Ctt 假设存在点P在上底CD上使得 2PAPB 可设, 3P mt，其中2tmt 2PAPB 22 2 2 3223mtmt 整理得： 22 8830mmt 上底CD上存在点P使得 2PAPB ， 等价于方程 22 8830mmt 在2tmt 上有解 令 22 88 3f mmmt ，,2mtt，0,1t 又因为对称轴为42mt 22 2 2 8830 228 2830 f tttt ftttt 解得 1515 22 t 15 0 2 t 又梯形ABCD的周长为2 2
16、22 224Ctttt ，在 15 0 2 t 单调递增 当 15 2 t 时，有 max 15 2435 2 C . 故答案为：3+ 5. 【点睛】本题主要考查两点间的距离计算和最值的求法，建立平面直角坐标系和条件间的转化是解题的关 键. 14.锐角ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边，若cos(1 cos)aBbA ，则 2 2 ab bc 的取值范围为 _. 【答案】 7 3 2 ， 【解析】 【分析】 用正弦定理对等式cos(1 cos)aBbA进行边角转化， 然后逆用两角差的正弦公式、 正弦函数的性质得到 ,A B之间的关系，再根据锐角三角形的性质，结合三角形内角
17、和定理求出B的取值范围，最后利用正弦定 理对 2 2 ab bc 进行边角转化，根据二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，结合换元法、构造对钩函数，利 用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】由正弦定理可知； sinsin ab AB ，所以由 cos(1 cos)sincossin(1 cos)sincossincossin,aBbAABBAABBAB即 sin()sinABB ，因为ABC是锐角三角形， 所以,(0,),()(,) 22 2 A BAB ，因此有2A BBAB， 而ABC是锐角三角形，所以, ,(0,) 2 A B C ，而3CA BB, 所以 0 2 02 264 03
18、2 B BB B . 由正弦定理可知： sinsinsin abc ABC ， 所以 2222 222 sinsin4sincossin sinsinsinsin3 abABBBB bcBCBB ， 22 sin3sin(2)sin2 coscos2 sin2sincos(1 2sin)sinBBBBBBBBBBB， 而 22 1 sin=cosBB，所以 3 sin33sin4sinBBB， 设 2 2 22 1 4cos 34sin ab yB bcB ， 令 2 12 34sin,(,)sin( ,),(1,2) 6 422 BxBBx ， 因此有 2 2 1 1,(1,2) ab yx
19、x bcx ， 因为函数 1 ( )1,yf xx x 在(1,2)x时是单调递增函数， 所以 7 (1)( )(2),3( ) 2 ff xff x ， 因此 2 2 ab bc 的取值范围为 7 3 2 ， . 故答案为； 7 3 2 ， 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了利用对钩函数的单调性求代数式的取值范围问题，考查了二 倍角的正弦公式和余弦公式的应用，考查了锐角三角形的性质，考查了数学运算能力. 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 道题，计道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.设
20、函数 2 3 ( )cossin()3cos 34 f xxxx ，Rx. （1）求 ( )f x的最小正周期和对称中心； （2）若函数( ) () 4 g xf x ，求函数( )g x在区间 , 6 6 上的最值 【答案】 （1）T，对称中心为,0 26 k Zk.（2） max 1 ( ) 2 g x， min 1 ( ) 4 g x 【解析】 【分析】 （1）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由2 3 xk 求得x值， 可得函数的对称中心； （2）求出( )g x的解析式，得到函数在区间 , 6 6 上的单调性，则最值可求 【详解】 （1）由已知， 2 1
21、33 ( )cossincos3cos 224 f xxxxx 22 133 sin coscos3cos 224 xxxx 2 133 sin coscos 224 xxx () 133 sin21cos2 444 xx=-+ 13 sin2cos2 44 xx 1 sin 2 23 x 最小正周期为 2 T 2 ， 令2 3 xk ，解得 26 k x ，Zk 对称中心为,0 26 k Zk （2）( )() 4 g xf x 1 sin(2) 26 x 当, 6 6 x 时，2 66 x ， 2 ，可得( )g x在区间, 6 6 上单调递增， max 1 ( )() 62 g xg ，
22、 min 1 ( )() 64 g xg 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 sin()yAx 型函数的图象和性质，是中档题 16.如图，四面体ABCD被一平面所截，平面与四条棱,AB AC CD BD分别相交于,E F G H四点，且 截面EFGH是一个平行四边形，AD 平面BCD，BCCD. 求证： （1）/EF BC； （2）EF 平面ACD. 【答案】 （1）见详解； （2）见详解. 【解析】 【分析】 （1）由题意/EF HG，根据线面平行的判定定理可得/EF平面BCD，再根据线面平行的性质定理可得 /EF BC； （2） 由AD 平面BCD， 可得ADBC.由(1)知/E
23、F BC， 可得EFAD， 又B CC D， 故EFCD， 根据线面垂直的判定定理可得EF 平面ACD. 【详解】 （1）因为四边形EFGH为平行四边形，/EF HG， 又EF 平面BCD，HG平面BCD，/EF平面BCD， 又EF 平面ABC，平面ABC平面BCDBC，/EF BC. （2）AD 平面BCD，BC 平面BCD，ADBC， 由(1)知/EF BC，EFAD. BCCD，EFCD. 又ADCDD?Q，AD、CD 平面ACD， EF平面ACD. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理、性质定理和线面垂直的判定定理，属于基础题. 17.如图， 边长为 1的正方形区域 OABC 内有以 O
24、A为半径的圆弧AEC.现决定从 AB 边上一点 D引一条线段 DE 与圆弧AEC相切于点 E，从而将正方形区域 OABC分成三块：扇形 COE为区域 I，四边形 OADE 为区 域 II，剩下的 CBDE为区域 III.区域 I内栽树，区域 II内种花，区域 III内植草.每单位平方的树、花、草所 需费用分别为5a、4a、a，总造价是 W，设2AOE （1）分别用表示区域 I、II、III的面积； （2）将总造价 W表示为的函数，并写出定义域； （3）求为何值时，总造价 W取最小值？ 【答案】 （1） 1 4 S ， 2 tanS ， 3 1tan 4 S （2） (3tan41)Wa ，定义
25、域为(0,) 4 （3）= 6 【解析】 【分析】 （1）首先用扇形面积公式求出区域 I，区域 II 为两个全等的三角形，所以只需用表示出DA，即可求出 三角形面积，进而求出区域 II的面积，区域 III用大正方形面积做差即可.（2）将单位面积造价分别乘以面 积数再求和，即可求出总造价，定义域保证每个角度大于零即可.（3）对总造价求导，结合定义域，求出总 造价的单调性，则可求出总造价最小时的值. 【详解】解：(1)如图， 2 1 11 (2 ) 1 2224 Sr ； 连接 OD，则ODEODA，tanDA， 2 1 21 tantan 2 S ； 3 1tan 4 S （2） 123 5 5
26、454 tantan(3tan41) 44 aa WaSaSaSaaaaaa ， 由20, 2 ，知(0,) 4 ，所以函数的定义域为(0,) 4 (3) 2 3 (4) cos Wa ， 由0W，得 3 cos 2 或 3 cos 2 （舍去） 又(0,) 4 ，所以 6 当0 6 时， 0W ，函数在0, 6 上单调递减， 当 64 时，0W ，函数在, 6 4 上单调递增， 所以当 6 时，W取最小值. 答：= 6 时，总造价 W取最小值 【点睛】本题考查实际问题的优化问题，涉及函数的实际应用，同时考查了函数导数的应用，考查了学生 的转化能力以及计算能力，属于难题. 18.如图，在平面直
27、角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右准线为直线4x，左顶点为A， 右焦点为F. 已知斜率为 2的直线l经过点F，与椭圆E相交于,B C两点，且O到直线l的距离为 2 5 5 （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过O的直线:m ykx与直线,AB AC分别相交于,M N两点，且OMON，求k的值. 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2）1 【解析】 【分析】 （1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出, ,a b c，从而可得椭圆的标准方程. （2）设 11 ( ,)B x y， 22 (,)C xy，联立直线m和直线AB的方程可得M的坐标，同理可得N
28、的坐标，根据 OMON可得,B C的坐标关系， 联立直线BC和椭圆的方程， 利用韦达定理化简前述关系可求斜率k的 值. 【详解】解： （1）设椭圆E的焦距为2c， 则直线l的方程为 2()yxc ，即2 20xyc. 因为O到直线l的距离为 2 5 5 ，故 22 2002 2 5 21 c c d ， 所以 22 5 55 c ，则1c. 因为椭圆E的右准线的为直线4x，则 2 4 a c ，所以 2 4a ， 222 3bac， 故椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy . （2）由(1)知l：2(1)yx，设 11 ( ,)B x y， 22 (,)C xy. 由 22 2(1) 34
29、12 yx xy 得 2 193240xx ，则 2 12 12 324 19 40 32 19 4 19 xx x x . 由( 2,0)A ， 11 ( ,)B x y可知 1 1 :(2) 2 y AB yx x ， 由 1 1 , (2) 2 ykx y yx x 得 1 11 2 (2) M y x k xy ， 同理 2 22 2 (2) N y x k xy . 因为OMON，所以 22 11 MN kxkx， 由图可知0 MN xx， 所以 122211 2 (2)2 (2)0y k xyy k xy ， 即 122211 (1) (2)2(1)(1) (2)2(1)0xk x
30、xxk xx ， 所以 121212 12211212 4(1)(1)4()1 (1)(2)(1)(2)2()4 xxx xxx k xxxxx xxx 432 41 4(43219) 1919 1 432 8324 19 24 1919 . 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置 关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式和 方程 等，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题. 19.已知函数 2 ( )(R) x f xeax a. （1）若曲线( )f x与直线 :(2)
31、(R)l yexb b 在 1x 处相切. 求ab的值； 求证：当0x 时， ( )(2)f xexb ； （2）当0a且(0,)x时，关于的x不等式 2 ( )2ln1x f xmxx有解，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）2ab见解析（2）m1 【解析】 【分析】 （1）求出导函数( )fx ，由(1)2fe 可求得a，再由(1)2feb可求得b，从而得a b；引 入函数 2 210 x h xexexx，利用导数求函数( )h x的最小值（需二次求导确定） ，确定最 小值是(1)0h，从而证得不等式成立； （2）不等式分离参数得 2 2ln1 x x ex m x ，原题等价于(0,
32、)x时， 2 2ln1 x x ex m x 有解.求出 2 2ln1 x x ex x 的最小值即可得，为此先证明不等式1 x ex，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的 单调性与最值得出结论 2 2lnxxx x ee 应用刚证的不等式可得结论 【详解】解： （1）因为 2x exf xa，所以 2 x fxeax. 因为曲线 f x与直线:l (2)yexb 在1x 处相切， 所以 122feae ，所以1a . 所以 2x f xex，所以 11fe. 又切点(1,1)e在直线l上，所以12eeb ， 所以1b，所以2ab 由知1,1ab，可设 2 210 x h xexexx， 则
33、( )22 ,2 xx g xh xexegxe， 当ln2x时， 0gx ，当ln2x 时， 0g x ， 所以 h x 在0,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增， 由 030,10,0ln21heh ，所以ln20 h ， 所以存在 0 0,ln2x ，使得 0 0h x， 所以当 0 0,1,xx时， 0h x ，当 0,1 xx时， 0h x， 所以 h x在 0 0,x上单调递增，在 0,1 x上单调递减，在1,上单调递增. 因为 010hh，所以 0h x ， 即 21f xex，当且仅当1x 时取等号， 所以当0x时， 2 21 x exex， 故当0x时，( )2f xex
34、b (3）先证1 x ex . 构造函数( )1 x p xex，则( )1 x p xe. 故当(0,)x时， ( )0p x ，( )p x在(0,)上递增，当 (,0)x 时， ( )0p x ，( )p x在(,0)上 递减， 所以( )(0)0p xp，即1 x ex 又当0a=，且(0,)x时， 2 ( )2ln1x f xmxx等价于 2 2ln1 x x ex m x 故原题等价于(0,)x时， 2 2ln1 x x ex m x 有解. 因为 2 2lnx2 2ln12ln1ln12ln1 1 xx x exexxxx xxx （当 2 ln0xx时取等号） ， 所以m1.
35、【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题利用导数解决不等式 的恒成立问题的策略： 1首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数 的取值范围. 2也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即( )( )f xg a对于xD恒成立，应求 ( )f x的 最小值；若存在xD，使得( )( )f xg a成立，应求 ( )f x的最大值.应特别关注等号是否成立问题 20.已知数列 n a的各项均为非零实数，其前n项和为 n S，且 +12 = nn nn S
36、a Sa . （1）若 3=3 S ，求 3 a的值； （2）若 20211 =2021aa，求证：数列 n a是等差数列； （3）若 1=1 a， 2=2 a，是否存在实数，使得 22 22 nm a m a n aa 对任意正整数m n， 恒成立，若存在， 求实数的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】 （1） 3 3 = 2 a （2）见解析（3）不存在满足条件的实数，见解析 【解析】 【分析】 （1）由题得 11 23 = Sa Sa ，所以 23 =Sa，得 33 =23Sa ，即得 3 a的值； （2）利用累乘法得到 112 = nn aaa ，所以数列 21n a 是等差数列，
37、首项为 1 a，公差为 2 a，求出 211 21 n ana ， 21 2 n ana，所以 1 = n ana，再证明数列 n a是等差数列； （3）原题等价于 22 22 nm nm，不妨设mn，即 22 22 mn mn对任意正整数m n， （mn） 恒成立，即220 n n对任意正整数n恒成立，再证明当5n且 2 +n 时，220 n n， 即得解. 【详解】 （1）解：由 +12 = nn nn Sa Sa ，令1n ，得 11 23 = Sa Sa ， 因为数列 n a的各项均为非零实数，所以 2123 =+=Saaa， 所以 31233 =23Saaaa ， 所以 3 3 =
38、2 a. （2）证明：由 +12 = nn nn Sa Sa 得： 11 23 = Sa Sa ， 22 34 = Sa Sa ， 33 45 = Sa Sa ， ， 11 1 = nn nn Sa Sa ，相乘得： 112 1 = nnn Sa a Sa a ， 因为数列 n a的各项均为非零实数，所以 21 = nnn a Sa a ， 当2n时： 211 = nnn a Saa ，所以 22111 = nnnnnn a Sa Sa aaa ， 即 2111 = nnnnn aSSaaa ， 即 211 = nnnn a aaaa ， 因为0 n a ，所以 112 = nn aaa ，
39、所以数列 21n a 是等差数列，首项为 1 a，公差为 2 a， 所以 2021121 =+1010=2021aaaa，所以 21 =2aa， 所以 21121 = +121 n aanana ， 2221 =+12 n aanana ，所以 1 = n ana， 所以 11 = nn aaa ，所以数列 n a是等差数列. (3) 解：当 1=1 a， 2=2 a时，由(2)知= n an，所以 22 22 nm a m a n aa ，即 22 22 nm nm， 不妨设mn，则2 2 mn ， 22 mn，所以 22 22 mn mn， 即 22 22 mn mn对任意正整数m n，
40、（mn）恒成立， 则 2 +12 2+12 nn nn，即220 n n对任意正整数n恒成立， 设 2 2n n Cn， 1n 时， 1 2 10C ；2n时， 2 440C ； 3n时， 3 8 910C ；4n时， 2 16 160C ； 5n时， 5 32250C ； 当5n时， 012212 (1) 22(1)20 2 nnnn nnnnnn n n CCCCCCnnn ， 所以5n时， 2 0,2n n Cn. 所以5n时， 2 222 n nnn， 令 22 20,nnn 或 2 n （舍去）. 所以当5n且 2 +n 时，220 n n， 所以不存在满足条件的实数. 【点睛】本题
41、主要考查数列性质的证明，考查数列的和与通项关系的应用，考查数列不等式的恒成立问题， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 扬州市扬州市 2020 届高三考前调研测试届高三考前调研测试 数学数学 （全卷满分（全卷满分 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟）分钟） 21.已知矩阵 1 0 02 A ，求矩阵A的逆矩阵 1 A的特征值 【答案】 1 1 ， 2 1 2 【解析】 【分析】 求出矩阵A的逆矩阵 1 A，列出矩阵 1 A的特征多项式 f，然后解方程 0f ，即可得出矩阵 1 A的 特征值. 【详解】设矩阵A的逆矩阵为 1 ab A cd ， 则 1010 0201 ab cd ，即 10 2201 ab cd ， 故1a，0b，0c =， 1 2 d ，所以矩阵 A 的逆矩阵为 1 10 1 0 2 A . 矩阵 1 A的特征多项式为 10 1 1 1 20 2 f . 令 0f ，解得 1 A 特征值
