1、 - 1 - 高中数学必修高中数学必修 4 知识点知识点 第一章第一章 三角函数三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何 象限，叫做轴线角轴线角。 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为 36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为 360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为 360270360360 ,kkk 终边在x
2、轴上的角的集合为 180 ,kk 终边在y轴上的角的集合为 18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk 3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合Zkk,360| 4、弧度制： （1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 l r （2）度数与弧度数的换算度数与弧度数的换算：2360o， 180 rad， 1 rad 185730.57) 180 ( 注：注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为 o n，弧度为； 角度化为弧度：180180 n nn o oo ，弧度化为角
3、度： o o 180180 （3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数） ，半径为r，则： 弧长公式： , 180 （用度表示的） n l （用弧度表示的）rl| ； 扇形面积：)( 360 2 用度表示的 扇 rn s lrrS 2 1 | 2 1 2 扇 （用弧度表示的） - 2 - 5、三角函数: （1）定义定义：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标 是, x y，它与原点的距离是 22 0r OPrxy， 则sin y r ，cos x r ，tan0 y x x 定义定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)， 那么 v 叫做的正弦，记作 sin,即 siny; u
4、叫做的余 弦，记作 cos，即 cos=x; 当的终边不在 y 轴上时， x y 叫做的正切，记作 tan, 即 tan= x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，口诀：全正，S S 正，正，T T 正，正，C C 正。正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 的角度的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 的弧度 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 0 3 3 1 3
5、不存在 3 1 3 3 0 的角度 210 225 240 270 300 315 330 360 的弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 sin 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 P(x,y) y xo sin x y + + _ _ O x y + + _ _ cos O tan x y + + _ _ O P(x,y) y x o - 3 - （4）三角函数线：如下图 （5）同角三角函数基本关系式 （）平方关系：1coss
6、in 22 （）商数关系： cos sin tan 6、三角函数的诱导公式： 1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等 2 sinsin ，coscos，tantan 3 sinsin，coscos ，tantan 4 sinsin ，coscos ，tantan 5 sin 2sin ，cos 2cos，tan 2tan 口诀：函数名称不变，正负看象限 6 sincos 2 ，cossin 2 ，tancot 2 7 sincos 2 ，cossin 2 ，tancot 2 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限 诱导公式记忆口诀：
7、“奇变偶不变， 符号看象限”诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变， 符号看象限” 。即将括号里面的角拆成即将括号里面的角拆成 2 k 的形式。的形式。 - 4 - 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 sinyx cosyx tanyx 图 象 定 义 域 R R , 2 x xkk 值 域 值域： 1,1 当2 2 xk k时， max 1y；当2 2 xk k时， min 1y 值域：1,1 当2xkk时， max 1y；当2xk k时， min 1y 值域：R 既无最大值也无最小值 周 期 性 sinyx是周期函数； 周期为 2,TkkZ且0k ； 最小正周期为2 cosy
8、x是周期函数；周期 为2,TkkZ且0k ； 最小正周期为2 tanyx是周期函数； 周 期 为,TkkZ且 0k ；最小正周期为 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,2 22 kk k上是增函数；在 3 2,2 22 kk k上是减函数 在2,2kkk上 是增函数； 在2,2kk k上是减函数 在, 22 kk k上是增函数 对 称 性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 - 5 - 8、 （1）sinyxb 的图象与xysin图像的关系： 振幅变换：xysin xAysin 周期变换：xysi
9、n xysin 相位变换：xysin )sin(xy 平移变换：)sin(xAy sinyxb 注：函数xysin的图象怎样变换得到函数sinyAxB的图象： （两种方法） 先平移后伸缩：先平移后伸缩： sinyx 平移| |个单位 sinyx （左加右减） 纵坐标不变 )s in(xy 横坐标变为原来的 1 | 倍 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移|B个单位 sinyAxB （上加下减） 先伸缩后平移：先伸缩后平移： sinyx 纵坐标不变 xysin 横坐标变为原来的 1 | 倍 平移 个单位 )sin(xy （左加右减） 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的
10、 A 倍 平移|B个单位 sinyAxB 图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位 图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍 图象上每个点的横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变 图象整体向上（0b）或向下（0b） 平移b个单位 - 6 - （上加下减） （2）函数)0, 0()sin(AbxAy的性质： 振幅：；周期： 2 ；频率： 1 2 f ；相位：x；初相： 定义域：R 值域：,Ab Ab 当2 2 xk k时， max yA b； 当2 2 xk k时， min yAb 周期性：函数)0, 0()sin(AbxAy是周期函数；周期为 2 T 单调性：x在2,2 22 kk k
11、上时是增函数； x在 3 2,2 22 kk k上时是减函数 对称性：对称中心为,0 k k ；对称轴为x 2 kk 第二章第二章 平面向量平面向量 1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示 2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的 3、 单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量； 与向量a平行的单位向量： | a a e 4、平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作ba/； 规定0与任何向量平行 5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等. 注意：注意：任意
12、两个相等的非零向量， 都可以用同一条有向线段来表 示，并且与有向线段的起点无关。 6、向量加法运算： 三角形法则的特点： 首尾相接 平行四边形法则的特点： 起点相同 b a C abCC - 7 - 运算性质： 交换律：abba； 结合律： abcabc；00aaa 坐标运算：设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 ,abxxyy 7、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 ,abxxyy 设、两点的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，则 2121 ,xx yy 8、向量数乘运算：
13、 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa； 当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反； 当0时，0a 运算律：aa ；aaa； abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy 9、向量共线定理：向量 0a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba 设 11 ,ax y， 22 ,bxy， 其中0b ， 则当且仅当 1221 0x yx y时， 向量a、 0b b 共线 10、平面向量基本定理：如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量a，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 1 122 aee （不共线不
14、共线的向量 1 e、 2 e作为 这一平面内所有向量的一组基底） 11、分点坐标公式：设点是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 11 ,x y， 22 ,xy， 当 12 时，点的坐标是 1212 , 11 xxyy 12、平面向量的数量积： - 8 - 定义： cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0 性质： 设a和b都是非零向量， 则0aba b 当a与b同向时，a ba b； 当a与b反向时，a ba b ； 2 2 a aaa或aa aa ba b 运算律：a bb a； aba bab； abca cb c 坐标运算：设两个非零向量 11 ,a
15、x y， 22 ,bxy，则 1212 a bx xy y 若,ax y，则 2 22 axy，或 22 axy 设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 0abx xy y 设a、b都是非零向量， 11 ,ax y， 22 ,bxy，是a与b的夹角，则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 第三章第三章 三角恒等变形三角恒等变形 1、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：1cossin 22 （）商数关系： cos sin tan （）倒数关系：1cottan 2 2 2 tan1 tan sin ； 2 2 tan1 1 cos 注意：注意：
16、 tan,cos,sin 按照以上公式可以“知一求二” 2、两角和与差的正弦、余弦、正切 )( S：sincoscossin)sin( )( S：sincoscossin)sin( )( C：sinsincoscos)cos(a )( C：sinsincoscos)cos(a )( T： tantan1 tantan )tan( )( T： tantan1 tantan )tan( 正切和公式：)tantan1 ()tan(tantan - 9 - 3、辅助角公式辅助角公式： x ba b x ba a baxbxacossincossin 2222 22 )sin()sincoscos(si
17、n 2222 xbaxxba （其中称为辅助角，的终边过点),( ba， a b tan） 4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： 2 S： cossin22sin 2 C： 22 sincos2cos1cos2sin21 22 2 T： 2 tan1 tan2 2tan * *二倍角公式的常用变形：二倍角公式的常用变形：、|sin|22cos1， |cos|22cos1； 、|sin|2cos 2 1 2 1 ， |cos|2cos 2 1 2 1 2 2sin 1cossin21cossin 2 2244 ； 2cossincos 44 ； *降次公式：降次公式：2sin 2 1 cossin
18、 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 sin 2 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos 2 5、* *半角的正弦、余弦和正切公式： 2 cos1 2 sin ； 2 cos1 2 cos ， cos1 cos1 2 tan cos1 sin sin cos1 6、同角三角函数的常见变形： （活用“同角三角函数的常见变形： （活用“1 1” ）” ） 22 cos1sin； 2 cos1sin； 22 sin1cos； 2 sin1cos； 2sin 2 cossin sincos cottan 22 ， - 10 - 2cot2 2sin 2cos2 cossin sinco
19、s tancot 22 2sin1cossin21)cos(sin 2 ； |cossin|2sin1 7、补充公式： 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 ； 2 t an1 2 t an1 cos 2 2 ； 2 t an1 2 t an2 t an 2 积化和差公式 )sin()sin( 2 1 cossin )sin()sin( 2 1 sincos )cos()cos( 2 1 coscos )cos()cos( 2 1 sinsin 和差化积公式 2 cos 2 sin2sinsin ； 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos ； 2 sin 2 sin2coscos 注：注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式
