1、一、速率分布函数一、速率分布函数 令令N表示一定量气体的总分子数，表示一定量气体的总分子数，N表示表示 分子速率在某一区间分子速率在某一区间v v+v(如如80 100m/s)内内 的分子数，则的分子数，则:NN 表示分子速率在区间表示分子速率在区间v v+v内的分子内的分子数占总分子数的百分比，数占总分子数的百分比，即分子速率在即分子速率在v v+v 区间内的几率。区间内的几率。:vNN 表示分子速率在速率表示分子速率在速率v附近单位区间内附近单位区间内 分子数占总分子数的百分比，分子数占总分子数的百分比，即分子速率在即分子速率在v附附 近单位区间内的几率。近单位区间内的几率。信息学院信息学
2、院 物理教研室物理教研室 当当 v0时，时，vNN 是一个连续的函数是一个连续的函数-速率速率 分布函数。分布函数。NdvdNvNNvfv 0lim-表示分子速率在表示分子速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百 分比。对于处在一定温度下的气体，它只是速分比。对于处在一定温度下的气体，它只是速 率率v的函数，叫做气体分子的的函数，叫做气体分子的速率分布函数。速率分布函数。速率在速率在v1v2区间的分子数占总分子数的百区间的分子数占总分子数的百分比为分比为:21vvdvvfNN信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 若取若取 210vv，则，则:
3、-速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件 10 dvvf由概率论可知，对于任意一个以速率由概率论可知，对于任意一个以速率v为变为变量的物理量量的物理量)(vGG ，其统计平均值为，其统计平均值为:0)()()(dvvfvGNdNvGG 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 如果所求平均值并不是所有分子的平均值，如果所求平均值并不是所有分子的平均值，而是求速率而是求速率v在某一区间内在某一区间内(v1v2)所有分子的某所有分子的某物理量物理量 )(vGG 的统计平均值，则的统计平均值，则:NdNvGGN 0)(N 表示表示速率速率v在在v1v2区间内的区间内的分子数，所以分子数，所以
4、:21)(vvdvvfNN则则:21)()(0vvN dvvfNdNvGG 2121)()()(vvvv dvvfdvvfvG信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 二、麦克斯韦速率分布二、麦克斯韦速率分布 NdvdNvNNvfv 0lim实验装置实验装置lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝 接抽气泵接抽气泵 2 vllv 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 分子速率分布图分子速率分布图N：分子总数分子总数N 为速率在为速率在 区间的分子数区间的分子数.vvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总数的百分比子数占总数的百分比.NNSvvv信息学院信息学
5、院 物理教研室物理教研室 速率分布函数的数学表达式最早是由麦克速率分布函数的数学表达式最早是由麦克 斯韦在斯韦在1859年利用碰撞概率的方法导出。年利用碰撞概率的方法导出。2223224)(vekTmNdvdNvfkTmv -麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率)(vfvO麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 )(vfvOvdvv S1S21v2v面积面积S1物理意义物理意义:分子速率在区间分子速率在区间v v+dv内内的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比；分子速率在分子速率在v v+dv区间内的几率。区间内的几率。面积面积S2物理意义
6、物理意义:分子速率在区间分子速率在区间v1 v2 内内 的的分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比；分子速率在分子速率在v1 v2区间内的几率。区间内的几率。信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 三、三种统计速率三、三种统计速率 1、最概然速率、最概然速率vp:与与f(v)极大值对应的速率。极大值对应的速率。物理意义物理意义:如果把整个速率范围分成许多如果把整个速率范围分成许多 相等的小区间，则分子速率在相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的所在区间内的 几率最大。几率最大。由一级微商的特性可有由一级微商的特性可有:0 pvvdvvdfMRTmkTvp22 )(vfvOpv信息
7、学院信息学院 物理教研室物理教研室 )(vfvO不同气体，在同一温度下的不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布曲线。若气体分子的质量分布曲线。若气体分子的质量m1m2 则则:MRTmkTvp22 m1m2信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 )(vfvO对于某一定质量的气体，在不同温度的平对于某一定质量的气体，在不同温度的平 衡态下的麦克斯韦速率分布曲线如图所示，若衡态下的麦克斯韦速率分布曲线如图所示，若 T1T2，则，则:MRTmkTvp22 T2T1信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 2、平均速率、平均速率 0)(dvvvfv2223224)(vekTmNdvdNvfk
8、Tmv MRTmkTv 88 3、方均根速率、方均根速率 022)(dvvfvvMRTmkTv332 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 最概然速率最概然速率:MRTmkTvp22 平均速率平均速率:MRTmkTv 88 方均根速率方均根速率:MRTmkTv332 Ov)(vfpvv2v信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 (1)Pvdvvf例题例题:在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为斯韦速率分布函数为f(v)、分子质量为、分子质量为m、最可、最可 几速率为几速率为vp，试说明下列各式的物理意义，试说明下列各式的物理意义:表示表示:
9、。(2)0221dvvfmv表示表示:。分子速率在区间分子速率在区间vp的的 分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比分子平均平动动能分子平均平动动能信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 例题例题:用总分子数用总分子数N、气体分子速率、气体分子速率v 和速率分和速率分 布函数布函数f(v)表示下列各量表示下列各量:(1)速率大于速率大于v0的分子数的分子数=(2)速率大于速率大于v0的那些分子的平均速率的那些分子的平均速率=(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率多次观察某一分子的速率，发现其速率 大于的大于的v0几率几率 0000vvvvdvvfdvvfdvvvfdvvNf、答案：
10、答案：信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 平均自由程与分子的平均碰撞频率平均自由程与分子的平均碰撞频率 自由程自由程:分子两次相邻碰撞之间自由通过的分子两次相邻碰撞之间自由通过的 路程。路程。信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 分子分子平均自由程平均自由程:每两次连续碰撞之间，一每两次连续碰撞之间，一 个分子自由运动的平均路程。通常记做个分子自由运动的平均路程。通常记做 。分子分子平均碰撞频率平均碰撞频率:单位时间内一个分子和单位时间内一个分子和 其它分子碰撞的平均次数其它分子碰撞的平均次数。通常记做通常记做 Z。若用若用 v代表分子的代表分子的平均速率平均速率，则，则:Zv 简化模型
11、简化模型 1.分子为刚性小球分子为刚性小球；2.分子有效直径为分子有效直径为d；3.其它分子皆静止，某一分子以平均速率其它分子皆静止，某一分子以平均速率u相对其他分子运动。相对其他分子运动。信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 单位时间内平均碰撞次数单位时间内平均碰撞次数:nudZ2 考虑其他分子的运动考虑其他分子的运动:vu2 分子平均碰撞频率分子平均碰撞频率:vndZ22 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 由以上讨论知分子由以上讨论知分子平均自由程平均自由程为为:ndvndvZv22212 将将 nkTp 代入上式得代入上式得:pdkT22 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室
12、四、玻尔兹曼分布四、玻尔兹曼分布 1、重力场中分子密度按高度的等温分布、重力场中分子密度按高度的等温分布 设重力场中的气体处于平衡态，考查气体设重力场中的气体处于平衡态，考查气体 中位于高度中位于高度z 处的一个面积为处的一个面积为 S、厚度为、厚度为dz 的的气柱，如图，设气体分子的质量为气柱，如图，设气体分子的质量为m，z处的分处的分 子数密度为子数密度为n，则，则:zzdzz dpp pS SpSdznmgSdpp )(nmgdzdp 由理想气体的物态方程可由理想气体的物态方程可得得:nkTp 则则:kTdndp 所以所以:dzkTmgndn 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 dz
13、kTmgndn 设设 0 z处，处，0nn 则则:znndzkTmgndn00得得:kTmgzenn 0由由:nkTp 得得:kTmgzepp 0-等温气压公式等温气压公式 另一种表述另一种表述:ppMgRTppmgkTz00lnln 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 2、麦克斯韦玻尔兹曼能量分布律、麦克斯韦玻尔兹曼能量分布律 重力场中有重力场中有:kTmgzenn 0玻尔兹曼用提出，微观粒子在保守力场中玻尔兹曼用提出，微观粒子在保守力场中 的数密度分布函数为的数密度分布函数为:kTrpenn)(0 -玻尔兹曼粒子数密度按位置分布律玻尔兹曼粒子数密度按位置分布律 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室 根据独立事件的概率乘法法则，微观粒子根据独立事件的概率乘法法则，微观粒子 按速度及位置的分布律为按速度及位置的分布律为:kTkTmvkTrekTmnekTmnrvfp 2302)(23022)(2，式中式中:221)(mvrp 粒子的机械能粒子的机械能 信息学院信息学院 物理教研室物理教研室
