1、 第 1 页 解答题 1类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一 个案例,请补充完整. 原题:如图 1,在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的中点,点F是线段AE上 一点,BF的延长线交射线CD于点G,若3 AF EF ,求 CD CG 的值. (1)尝试探究 在图 1 中, 过点E作EH AB交BG于点H, 则AB和EH的数量关系是_,CG 和EH的数量关系是_, CD CG 的值是_; (2)类比延伸 如图 2,在原题的条件下,当0 AF m m EF 时,参照问题(1)的研究结论,请你猜 想 CD CG 的值(用含m的代数式表示) ,并证明你的猜想; (
2、3)拓展迁移 如图 3,梯形ABCD中,DCAB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点 F,当 AB a CD ,0,0 BC b ab BE 时,请你求出 AF EF 的值(用含a、b的代数式 表示). 【答案】 (1) (1)3ABEH,2CGEH, 3 2 ;(2)见解析;(3)ab. 【解析】 【分析】 (1)可利用三角形相似、平行四边形的有关性质求得结果; (2)体现了“一般”的情形, 虽然 AF m BF 不再是一个确定的数值, 但可类比问题 (1) 的解题思路去猜想、 证明 CD CG 的值;问题(3)的解答体现了“类比”与“转化”的情形,可过点 E 作EH AB 交 BD
3、 的延长线于点 H,将(1) 、 (2)问中的解题方法推广转化到梯形中. 【详解】 解 (1)解: (1)如图 1: EH/AB. ABFEHF 3 3 ,/ / / / ABAF EHEF ABEH ABCD EHAB EHCD 又E 为 BC 中点, 2020年中考压轴题汇编及答案 试卷第 2 页,总 117 页 EH 为BCG 的中位线, CG=2EH. 33 22 CDABEH CGCGEH 故答案为3ABEH,2CGEH, 3 2 . 3ABEH,2CGEH, 3 2 . (2)猜想: 2 CDm CG . 证明:如图 1: EH/AB. ABFEHF ABAF m EHEF ,则A
4、BmEH. ABCD, CDmEH. EHABCD, BEHBCG, 2 CGBC EHBE , 2CGEH, 22 CDmEHm CGEH . (3) 如下图所示, 过点E作EH AB交BD的延长线于点H, 则有EHABCD. EH CD, BCDBEH. CDBC b EHBE , CDbEH. 又 AB a CD , ABaCDabEH. EH AB, ABFEHF. AFABabEH ab EFEHEH . 【点睛】 第 3 页 本题按照“尝试类比拓展”的思路设计题目,体现了知识的产生过程、科学论证 和迁移价值.试题主要考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,在解答过程 中,必须
5、通过观察、分析和比较,从特殊到一般去猜想、发现规律与证明结论. 、 2阅读以下材料,并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点A B、,则所有符合0( PA k k PB 且1)k 的点P会组成一个圆.这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆. 阿氏圆基本解法:构造三角形相似. (问题)如图 1,在平面直角坐标中,在x轴,y轴上分别有点,0 ,0,C mDn,点 P是平面内一动点,且OPr,设 OP k OD ,求PCkPD的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤: 第一步:如图 1,在OD上取点M,使得:OM OPOP ODk; 第二步:证明kPDPM;第三步:连接CM,此时CM即为所求的
6、最小值. 下面是该题的解答过程(部分): 解:在OD上取点M,使得:OM OPOP ODk, 又,PODMOPPOMDOP . 任务: 1将以上解答过程补充完整. 2如图 2,在Rt ABC中,90 ,4,3,ACBACBCD为ABC内一动点, 满足2CD,利用 1中的结论,请直接写出 2 3 ADBD的最小值. 试卷第 4 页,总 117 页 【答案】 (1) 222. mk r (2) 4 10 3 . 【解析】 【分析】 将 PC+kPD 转化成 PC+MP,当 PC+kPD 最小,即 PC+MP 最小,图中 可以看出当 C、P、M 共线最小,利用勾股定理求出即可; 根据上一问得出的结果
7、,把图 2 的各个点与图 1 对应代入,C 对应 O,D 对 应P, A对应C, B对应M, 当D在AB上时 2 3 ADBD为最小值, 所以 2 3 ADBD = 2 2 2 3 ACCD = 2 2 44 10 4 33 【详解】 解 1:,MP PDkMPkPD, PCkPDPCMP, 当P C k P D取最小值时,PCMP有最小值, 即 , ,C P M 三点共线时有最小值,利用勾股定理得 2 222222. CMOCOMmkrmk r 2 2 3 ADBD的最小值为 4 10 3 , 提示:4ACm, 24 33 CDkr, 2 3 ADBD的最小值为 2 2 44 10 4 33
8、 . 【点睛】 此题主要考查了新定义的理解与应用, 快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关 键. 3在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想,下面是运用分类讨 论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答题目后提出的探究问题. (提出问题)三个有理数 a,b,c,满足 abc0,求 abc abc 的值. 第 5 页 (解决问题) 解:由题意得:a,b,c 三个有理数都为正数或其中一个为正数,另两个为负数. 当 a,b,c,都是整数,即 a0,b0,c0 时,则 abc abc = a bc abc =1+1+1=3; 当 a,b,c 有一个为正数,另两个位负数时,设 a
9、0,b0, 则原式=1+1+1=1; (2) a=9,b=4 a=9,b= 4 a0) (1)D,F 两点间的距离是 ; (2)射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分?若能,求出 t 的值若不 能,说明理由; (3)当点 P 运动到折线 EFFC 上,且点 P 又恰好落在射线 QK 上时,求 t 的值; (4)连结 PG,当 PGAB 时,请直接写出 t 的值 【答案】 (1)25; (2)能,t= 1 7 8 ; (3) 21 4 41 t , 1 7 2 t ; (4) 2 1 3 t 和 39 7 43 t 【解析】 【分析】 (1)根据中位线的性质求解即可; (2)能
10、,连结DF,过点F作FHAB于点H,由四边形CDEF为矩形,可知QK 过DF的中点O时,QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分, 此时12.5QHOF, 通过证明HBFCBA,可得16HB ,再根据 4 QHHB t 即求出 t 的值; 试卷第 104 页,总 117 页 (3) 分两种情况: 当点P在EF上 6 25 7 t 时; 当点P在FC上 6 57 7 t 时,根据相似的性质、线段的和差关系列出方程求解即可; (4) (注:判断PG/AB可分为以下几种情形:当 6 02 7 t 时,点P下行,点G上 行,可知其中存在PG/AB的时刻;此后,点G继续上行到点F时,4t ,而点P却 在下
11、行到点E再沿EF上行,发现点P在EF上运动时不存在PG/AB;当 6 57 7 t 时,点P,G均在FC上,也不存在PG/AB;由于点P比点G先到达点C并继续沿 CD下行,所以在 6 78 7 t 中存在PG/AB的时刻;当810t 时,点P,G均在 CD上,不存在PG/AB 【详解】 解: (1)D, F 分别是 AC, BC 的中点 DF 是ABC 的中位线 1 25 2 DFAB (2)能 连结DF,过点F作FHAB于点H 由四边形CDEF为矩形,可知QK过DF的中点O时, QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分 (注:可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明) , 此时12.5
12、QHOF FHAB CFHB BB HBFCBA BFHB ABBC 905030CABAC, 22 40BCABAC F 是 BC 的中点 1 20 2 BFBC 16 BFAC HB AB 故 12.5 161 7 448 QHHB t 第 105 页 (3)当点P在EF上 6 25 7 t 时,如图 1 4QBt, 7DEEPt, 由PQEBCA,得 720254 5030 tt 21 4 41 t 当点P在FC上 6 57 7 t 时,如图 2 已知4QBt,从而5PBt, 由735PFt,20BF ,得573520tt 解得 1 7 2 t (4) 2 1 3 t 和 39 7 43
13、 t (注:判断PG/AB可分为以下几种情形:当 6 02 7 t 时,点P下行,点G上行, 可知其中存在PG/AB的时刻;此后,点G继续上行到点F时,4t ,而点P却在下 行到点E再沿EF上行,发现点P在EF上运动时不存在PG/AB;当 6 57 7 t 时, 点P,G均在FC上,也不存在PG/AB;由于点P比点G先到达点C并继续沿CD 下行,所以在 6 78 7 t 中存在PG/AB的时刻;当810t 时,点P,G均在CD 上,不存在PG/AB ) 【点睛】 本题考查了三角形的动点问题,掌握中位线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、 试卷第 106 页,总 117 页 平行线的性质以及判
14、定定理、解一元一次方程的方法是解题的关键 46已知ABC,以AC为边在ABC外作等腰 ACD,其中ACAD (1) 如图 1, 若AB为边在ABC外作ABE,ABAE,60DACEAB, 求BFC的度数; (2)如图 2,ABC,ACD,6BC ,8BD 若30,60,AB的长为 ; 若改变、的大小,但90,求ABC的面积 【答案】 (1)120BFC; (2) 2 7AB ,3 7 ABC S 【解析】 【分析】 (1)证明()AECABD SAS,再根据三角形外角的性质即可得到答案; (2) 以AB为边在ABC外作正三角形ABE, 连接CE, 根据 (1) 求出90EBC, 根据勾股定理求
15、出 BE 即可得到 AB 的长; 作AHBC交BC于H, 过点B作 BEAH, 并在BE上取2BEAH, 连接EA, EC并取BE的中点K,连接AK,先证明四边形AKBH为平行四边形,根据 90EBC,得到四边形AKBH为矩形得到ABAE,再证明EACBAD 求出 EC=ED=8,根据勾股定理求出 AH 即可求出面积. 【详解】 (1)如图 1, AE=AB,ADAC,60EABDAC, EACEABBAC,DABDACBAC, EACDAB, 在AEC和ABD中, AEAB EACBAD ACAD , ()AECABD SAS, AECABD, BFCBEFEBFAEBABE, 120BFC
16、AEBABE; (2)如图 2,以AB为边在ABC外作正三角形ABE,连接CE 第 107 页 由(1)可知EACBAD, 8ECBD, 60BAE,30ABC, 90EBC 在Rt EBC中,8EC ,6BC , 2222 862 7EBECBC , 2 7ABBE 如图 2,作AHBC交BC于H,过点B作 BEAH,并在BE上取2BEAH, 连接EA,EC并取BE的中点K,连接AK AHBC于H, 90AHC BEAH, 90EBC 90EBC,2BEAH, 22222 4ECEBBCAHBC K为BE的中点,2BEAH, BKAH BKAH, 四边形AKBH为平行四边形 又90EBC,
17、四边形AKBH为矩形, 90AKB AK是BE的垂直平分线 ABAE ABAE,AC=AD,ABEACD, EABDAC, EABEADDACEAD,即EACBAD, 在EAC与BAD中, ABAE EACBAD ACAD , EACBAD 8ECBD 在RtBCE中, 2 2 7BEECBC , 1 7 2 AHBE, 试卷第 108 页,总 117 页 1 3 7 2 ABC SBC AH 【点睛】 此题考查等边三角形的性质, 全等三角形的判定及性质, 勾股定理, 矩形的判定及性质, 由(1)理解为同类项题引出辅助线是解题的关键. 47如图 1,ABC,AED都是等腰直角三角形,90ABC
18、E ,AEa, ABb,且ab,点D在AC上,连接BD,BDc (1)如果 5 2 ca ; 求 a b 的值; 若a,b是关于x的方程 22 123 0 2555 xmxmm的两根,求m; (2)如图 2,将ADE绕点A逆时针旋转90135 在BC上方, 与A、D、E同一平面内找一点F, 使四边形BCDE的面积S四边形BCDE 与四边形BCFE的面积S四边形BCFE相等,并简要说明寻找点F的作法; 若S四边形50 BCDEABE S ,直接写出BE的长 【答案】 (1) 2 3 a b ;1m; (2)说明寻找点 F 的作法见解析;10BE 【解析】 【分析】 (1)延长ED交BC于F,根据
19、勾股定理建立等式即可求出答案; 由根与系数的关系求出 a+b 及 ab, 利用 2 3 a b 即可用 m 分别表示 a 与 b, 再整理求 出 m 即可得到答案; (2)取CD的中点O,连接EO并延长EO至F,连接CE、DF、BF、CF, 则四边形ECFD为平行四边形,CFDE且 CFDE,CEDF且 CEDF,根据 平行四边形的性质得到 CDECFE SS,即可证得结论; 利用平行四边形的性质根据 SAS 证明EABFCB,得到BEF为等腰直角三 角形,根据S四边形50 BCDEABE S ,求出50 BEF S 即可求出答案. 【详解】 (1)解:如图 1,延长ED交BC于F, 第 10
20、9 页 DFba,BFa, 在RtDHB中由勾股定理得, 222 ()abac, 又 5 2 ca , (2 )(32 )0abab, 2ab或32ab, 又ab, 2 3 a b ; 由根与系数的关系abm, 2 123 2555 abmm, 由abm, 2 3 a b , 解得 2 5 am, 3 5 bm, 22 6123 252555 mmm, 整理得, 2 230mm, 解得 1 3m , 2 1m , 0abm, 1m, 当1m时,方程为 2 6 0 25 xx,这个方程有两个不相等的正根, 1m符合题意, 1m; (2) 解: 如图 2, 取CD的中点O, 连接EO并延长EO至F
21、, 使 OE=OF, 连接CE、 DF、BF、CF,则四边形ECFD为平行四边形,CFDE且 CFDE,CEDF 且 CEDF, 试卷第 110 页,总 117 页 CDECFE SS S四边形BCDE BCECDEBCECFE SSSSS 四边形BCFE; CEDF, EFC=DEF=90 , ABC=90 , BCF+BAF=BAF+BAE=180 , BCF=BAE, CF=DE=AE,BC=BA, ()EABFCB SAS, EB=FB,ABE=CBF, EBF=90 , BEF为等腰直角三角形, S四边形50 BCDEABE S , 50 BEF S , 1 50 2 BE BF 1
22、0BEBF 【点睛】 此题考查勾股定理,一元二次方程根与系数的关系,全等三角形的判定及性质,等腰直 角三角形的判定及性质,平行四边形的判定及性质,解题中注意综合解题方法的应用, 正确掌握各部分知识是解题的关键. 48如图 1,在Rt ABC中,B=90 ,BC8AB6,点 D,E 分别是边 BC, AC 的中点,连接DE将EDC绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为 1问题发现: 第 111 页 当0 时,AE BD_;当180时,AE DB_ 2拓展探究: 试判断: 当0360时,AE DB的大小有无变化?请仅就图 2 的情况给出证明 3问题解决: 当EDC旋转至 A、D、E 三点共线时,直
23、接写出线段 BD 的长 【答案】 (1) 5 4 ; 5 4 ; (2) 5 4 AE BD 的大小没有变化; (3) BD 的长为:8 21 12 5 【解析】 【分析】 (1) 当 =0时, 在 RtABC 中, 由勾股定理, 求出 AC 的值是多少; 然后根据点 D、 E 分别是边 BC、AC 的中点,分别求出 AE、BD 的大小,即可求出的 AE BD 值是多少 =180时,可得 ABDE,然后根据 ACBC AEBD ,求出 AE DB 的值是多少即可 (2)首先判断出ECA=DCB,再根据 5 4 ECAC DCBC ,判断出ECADCB,然 后由相似三角形的对应边成比例,求得答案
24、 (3)分两种情况分析,A、D、E 三点所在直线与 BC 不相交和与 BC 相交,然后利用 勾股定理分别求解即可求得答案 【详解】 解: (1)当 =0时, RtABC 中,B=90 , AC= 2222 6810ABBC , 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点, AE= 1 2 AC=5,BD= 1 2 BC=4, 5 4 AE BD 如图 1,当 =180时, 可得 ABDE, ACCE BCCD , AEAC BDBC 105 84 试卷第 112 页,总 117 页 故答案为: 5 4 ; 5 4 . (2)如图 2, 当 0360 时, AE BD 的大小没有变化, ECD=A
25、CB, ECA=DCB, 又 5 4 ECAC DCBC , ECADCB, 5 4 AEEC BDDC (3)如图 3,连接 BD, AC=10,CD=4,CDAD, AD= 22 2 21ACCD , 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点, DE= 1 2 AB=3, AE=AD+DE=2 21 3 , 由(2) ,可得: 5 4 AE BD , BD= 48 21 12 55 AE ; 如图 4,连接 BD, AC=10,CD=4,CDAD, 第 113 页 AD= 22 2 21ACCD , 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点, DE= 1 2 AB=3, AE=AD-DE=
26、2 21 3 , 由(2) ,可得: 5 4 AE BD , BD= 4 5 AE= 8 21 12 5 综上所述,BD 的长为: 8 21 12 5 【点睛】 此题属于旋转的综合题考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理 等知识注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键 49 (发现问题) 如图 1, 已知ABC, 以点A为直角顶点,AB为腰向ABC外作等腰直角ABE、 请你以A为直角顶点、AC为腰,向ABC外作等腰直角ACD(不写作法,保留 作图痕迹) 连接BD、CE那么BD与CE的数量关系是_ (拓展探究) 如图 2,已知ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形A
27、CGD,连 接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由 (解决问题) 如图 3,有一个四边形场地ABCD,60D,15BC ,8AB ,ADCD, 求BD的最大值 试卷第 114 页,总 117 页 【答案】发现问题:BD=CE,证明见详解;拓展探究:BD=CE,证明见详解;解决问 题:BD 的最大值为 23 【解析】 【分析】 发现问题: 延长 CA 到 M, 作MAC 的平分线 AN, 在 AN 上截取 AD=AC, 连接 CD, 即可得到等腰直角ACD; 由等腰直角三角形的性质, 证出BAD=EAC, 证明BAD EAC(SAS) ,即可得出 BD=CE; 拓展探究:由正方
28、形的性质,证出BAD=EAC,证明BADEAC(SAS) ,即可 得出 BD=CE; 解决问题:以 AB 为边向外作等边三角形 ABE,连接 CE,由等边三角形的性质,证出 ACD 是等边三角形,得出CAD=60 ,AC=AD,证出BAD=EAC,证明BAD EAC(SAS) ,得出 BD=CE;当 C、B、E 三点共线时,CE 最大=BC+BE=23,得出 BD 的最大值为 23 【详解】 发现问题: 解:延长 CA 到 M,作MAC 的平分线 AN,在 AN 上截取 AD=AC,连接 CD,即可 得到等腰直角ACD;连接 BD、CE,如图 1 所示: ABE 与ACD 都是等腰直角三角形,
29、 AB=AE,AD=AC,BAE=CAD=90 , BAD=EAC, 在BAD 和EAC 中, ABAE BADEAC ADAC , BADEAC(SAS) , BD=CE, 故答案为:BD=CE; 拓展探究: 解:BD=CE;理由如下:如图: 第 115 页 四边形 AEFB 与四边形 ACGD 都是正方形, AB=AE,AD=AC,BAE=CAD=90 , BAD=EAC, 在BAD 和EAC 中, ABAE BADEAC ADAC , BADEAC(SAS) , BD=CE; 解决问题: 解:以 AB 为边向外作等边三角形 ABE,连接 CE,如图 3 所示: 则BAE=60 ,BE=A
30、B=AE=8, AD=CD,ADC=60 , ACD 是等边三角形, CAD=60 ,AC=AD, CAD+BAC=BAE+BAC, 即BAD=EAC, 在BAD 和EAC 中, ABAE BADEAC ADAC , BADEAC(SAS) , BD=CE; 当 C、B、E 三点共线时,CE 最大=BC+BE=15+8=23, BD 的最大值为 23 【点睛】 本题是四边形综合题目,考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正 方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,证明三角形全等是解题 的关键 50在矩形 ABCD 中,AB3,BC4,E、F 是对角线 AC 上的两
31、个动点,分 别从 试卷第 116 页,总 117 页 A、C 同时出发相向而行,速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒,其中 0 t 5 (1)若 G,H 分别是 AB,DC 中点,求证:四边形 EGFH 是平行四边形(E、F 相 遇时除外) ; (2)在(1)条件下,若四边形 EGFH 为矩形,求 t 的值; (3)若 G,H 分别是折线 ABC,CDA 上的动点,与 E,F 相同的速度同 时出发,若 四边形 EGFH 为菱形,求 t 的值 【答案】 (1)见解析; (2)0.5 或 4.5; (3) 31 8 【解析】 【分析】 (1) 根据勾股定理求出AC, 证明AFGCEH,
32、 根据全等三角形的性质得到GF=HE, 同理得到 GE=HF,根据平行四边形的判定定理证明; (2)分 AE=CF、AE=CF 两种情况,根据矩形的性质计算即可; (3) 连接 AG、 CH, 判定四边形 AGCH 是菱形, 得到 AG=CG, 根据勾股定理求出 BG, 得到 AB+BG 的长,根据题意解答 【详解】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形, AB=CD,ABCD,ADBC,B=90 , AC= 22 5ABBC ,GAF=HCE, G,H 分别是 AB,DC 中点, AG=BG,CH=DH, AG=CH, AE=CF, AF=CE, 在AFG 和CEH 中, AGCH GAFH
33、CE AFCE , AFGCEH(SAS) , GF=HE, 同理:GE=HF, 四边形 EGFH 是平行四边形; (2)解:由(1)得:BG=CH,BGCH, 四边形 BCHG 是平行四边形, GH=BC=4,当 EF=GH=4 时,平行四边形 EGFH 是矩形, 分两种情况:AE=CF=t,EF=5-2t=4, 解得:t=0.5; 第 117 页 AE=CF=t,EF=5-2(5-t)=4, 解得:t=4.5; 综上所述:当 t 为 0.5s 或 4.5s 时,四边形 EGFH 为矩形; (3)解:连接 AG、CH,如图所示: 四边形 EGFH 为菱形, GHEF,OG=OH,OE=OF, OA=OC,AG=AH, 四边形 AGCH 是菱形, AG=CG, 设 AG=CG=x,则 BG=4-x, 由勾股定理得:AB2+BG2=AG2, 即 32+(4-x)2=x2, 解得,x= 25 8 , BG= 25 4 8 = 7 8 , AB+BG=3+ 7 8 = 31 8 , t 为 31 8 时,四边形 EGFH 为菱形 【点睛】 本题矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定,掌握矩形的性质定理、菱形的判定 定理、熟练掌握所学的四边形的判定和性质,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键