1、 第 1 页 解答题 1类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一 个案例，请补充完整. 原题：如图 1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上 一点，BF的延长线交射线CD于点G，若3 AF EF ，求 CD CG 的值. （1）尝试探究 在图 1 中， 过点E作EH AB交BG于点H， 则AB和EH的数量关系是_，CG 和EH的数量关系是_， CD CG 的值是_； （2）类比延伸 如图 2，在原题的条件下，当0 AF m m EF 时，参照问题（1）的研究结论，请你猜 想 CD CG 的值（用含m的代数式表示） ，并证明你的猜想； （
2、3）拓展迁移 如图 3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点 F，当 AB a CD ，0,0 BC b ab BE 时，请你求出 AF EF 的值（用含a、b的代数式 表示）. 【答案】 （1） （1）3ABEH，2CGEH， 3 2 ;（2）见解析;（3）ab. 【解析】 【分析】 （1）可利用三角形相似、平行四边形的有关性质求得结果； （2）体现了“一般”的情形， 虽然 AF m BF 不再是一个确定的数值， 但可类比问题 （1） 的解题思路去猜想、 证明 CD CG 的值；问题（3）的解答体现了“类比”与“转化”的情形，可过点 E 作EH AB 交 BD
3、 的延长线于点 H，将（1） 、 （2）问中的解题方法推广转化到梯形中. 【详解】 解 （1）解： （1）如图 1： EH/AB. ABFEHF 3 3 ,/ / / / ABAF EHEF ABEH ABCD EHAB EHCD 又E 为 BC 中点， 2020年中考压轴题汇编及答案 试卷第 2 页，总 117 页 EH 为BCG 的中位线， CG=2EH. 33 22 CDABEH CGCGEH 故答案为3ABEH，2CGEH， 3 2 . 3ABEH，2CGEH， 3 2 . （2）猜想： 2 CDm CG . 证明：如图 1： EH/AB. ABFEHF ABAF m EHEF ，则A
4、BmEH. ABCD， CDmEH. EHABCD， BEHBCG， 2 CGBC EHBE ， 2CGEH， 22 CDmEHm CGEH . （3） 如下图所示， 过点E作EH AB交BD的延长线于点H， 则有EHABCD. EH CD， BCDBEH. CDBC b EHBE ， CDbEH. 又 AB a CD ， ABaCDabEH. EH AB， ABFEHF. AFABabEH ab EFEHEH . 【点睛】 第 3 页 本题按照“尝试类比拓展”的思路设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证 和迁移价值.试题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在解答过程 中，必须
5、通过观察、分析和比较，从特殊到一般去猜想、发现规律与证明结论. 、 2阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点A B、，则所有符合0( PA k k PB 且1)k 的点P会组成一个圆.这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. （问题）如图 1，在平面直角坐标中，在x轴，y轴上分别有点,0 ,0,C mDn，点 P是平面内一动点，且OPr，设 OP k OD ，求PCkPD的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图 1，在OD上取点M，使得:OM OPOP ODk； 第二步：证明kPDPM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的
6、最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在OD上取点M，使得:OM OPOP ODk， 又,PODMOPPOMDOP . 任务： 1将以上解答过程补充完整. 2如图 2，在Rt ABC中，90 ,4,3,ACBACBCD为ABC内一动点， 满足2CD，利用 1中的结论，请直接写出 2 3 ADBD的最小值. 试卷第 4 页，总 117 页 【答案】 （1） 222. mk r （2） 4 10 3 . 【解析】 【分析】 将 PC+kPD 转化成 PC+MP，当 PC+kPD 最小，即 PC+MP 最小，图中 可以看出当 C、P、M 共线最小，利用勾股定理求出即可； 根据上一问得出的结果
7、，把图 2 的各个点与图 1 对应代入，C 对应 O,D 对 应P， A对应C， B对应M， 当D在AB上时 2 3 ADBD为最小值， 所以 2 3 ADBD = 2 2 2 3 ACCD = 2 2 44 10 4 33 【详解】 解 1:,MP PDkMPkPD， PCkPDPCMP， 当P C k P D取最小值时，PCMP有最小值， 即 , ,C P M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得 2 222222. CMOCOMmkrmk r 2 2 3 ADBD的最小值为 4 10 3 ， 提示：4ACm， 24 33 CDkr， 2 3 ADBD的最小值为 2 2 44 10 4 33
8、 . 【点睛】 此题主要考查了新定义的理解与应用， 快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关 键. 3在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨 论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题. （提出问题）三个有理数 a，b，c，满足 abc0，求 abc abc 的值. 第 5 页 （解决问题） 解：由题意得：a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. 当 a，b，c，都是整数，即 a0，b0，c0 时，则 abc abc = a bc abc =1+1+1=3； 当 a，b，c 有一个为正数，另两个位负数时，设 a
9、0，b0， 则原式=1+1+1=1； (2) a=9，b=4 a=9，b= 4 a0） （1）D，F 两点间的距离是 ； （2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值若不 能，说明理由； （3）当点 P 运动到折线 EFFC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值； （4）连结 PG，当 PGAB 时，请直接写出 t 的值 【答案】 （1）25； （2）能，t= 1 7 8 ； （3） 21 4 41 t ， 1 7 2 t ； （4） 2 1 3 t 和 39 7 43 t 【解析】 【分析】 （1）根据中位线的性质求解即可； （2）能
10、，连结DF，过点F作FHAB于点H，由四边形CDEF为矩形，可知QK 过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分， 此时12.5QHOF， 通过证明HBFCBA，可得16HB ，再根据 4 QHHB t 即求出 t 的值； 试卷第 104 页，总 117 页 （3） 分两种情况： 当点P在EF上 6 25 7 t 时； 当点P在FC上 6 57 7 t 时，根据相似的性质、线段的和差关系列出方程求解即可； （4） （注：判断PG/AB可分为以下几种情形：当 6 02 7 t 时，点P下行，点G上 行，可知其中存在PG/AB的时刻；此后，点G继续上行到点F时，4t ，而点P却 在下
11、行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG/AB；当 6 57 7 t 时，点P，G均在FC上，也不存在PG/AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿 CD下行，所以在 6 78 7 t 中存在PG/AB的时刻；当810t 时，点P，G均在 CD上，不存在PG/AB 【详解】 解： （1）D， F 分别是 AC， BC 的中点 DF 是ABC 的中位线 1 25 2 DFAB （2）能 连结DF，过点F作FHAB于点H 由四边形CDEF为矩形，可知QK过DF的中点O时， QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分 （注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明） ， 此时12.5
12、QHOF FHAB CFHB BB HBFCBA BFHB ABBC 905030CABAC， 22 40BCABAC F 是 BC 的中点 1 20 2 BFBC 16 BFAC HB AB 故 12.5 161 7 448 QHHB t 第 105 页 （3）当点P在EF上 6 25 7 t 时，如图 1 4QBt， 7DEEPt， 由PQEBCA，得 720254 5030 tt 21 4 41 t 当点P在FC上 6 57 7 t 时，如图 2 已知4QBt，从而5PBt， 由735PFt，20BF ，得573520tt 解得 1 7 2 t （4） 2 1 3 t 和 39 7 43
13、 t （注：判断PG/AB可分为以下几种情形：当 6 02 7 t 时，点P下行，点G上行， 可知其中存在PG/AB的时刻；此后，点G继续上行到点F时，4t ，而点P却在下 行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG/AB；当 6 57 7 t 时， 点P，G均在FC上，也不存在PG/AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD 下行，所以在 6 78 7 t 中存在PG/AB的时刻；当810t 时，点P，G均在CD 上，不存在PG/AB ） 【点睛】 本题考查了三角形的动点问题，掌握中位线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、 试卷第 106 页，总 117 页 平行线的性质以及判
14、定定理、解一元一次方程的方法是解题的关键 46已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰 ACD，其中ACAD （1） 如图 1， 若AB为边在ABC外作ABE，ABAE，60DACEAB， 求BFC的度数； （2）如图 2，ABC，ACD，6BC ，8BD 若30，60，AB的长为 ； 若改变、的大小，但90，求ABC的面积 【答案】 （1）120BFC； （2） 2 7AB ，3 7 ABC S 【解析】 【分析】 （1）证明()AECABD SAS，再根据三角形外角的性质即可得到答案； （2） 以AB为边在ABC外作正三角形ABE， 连接CE， 根据 （1） 求出90EBC， 根据勾股定理求
15、出 BE 即可得到 AB 的长； 作AHBC交BC于H， 过点B作 BEAH， 并在BE上取2BEAH， 连接EA， EC并取BE的中点K，连接AK，先证明四边形AKBH为平行四边形，根据 90EBC，得到四边形AKBH为矩形得到ABAE，再证明EACBAD 求出 EC=ED=8，根据勾股定理求出 AH 即可求出面积. 【详解】 （1）如图 1， AE=AB，ADAC，60EABDAC， EACEABBAC，DABDACBAC， EACDAB， 在AEC和ABD中， AEAB EACBAD ACAD ， ()AECABD SAS， AECABD， BFCBEFEBFAEBABE， 120BFC
16、AEBABE； （2）如图 2，以AB为边在ABC外作正三角形ABE，连接CE 第 107 页 由（1）可知EACBAD， 8ECBD， 60BAE，30ABC， 90EBC 在Rt EBC中，8EC ，6BC ， 2222 862 7EBECBC ， 2 7ABBE 如图 2，作AHBC交BC于H，过点B作 BEAH，并在BE上取2BEAH， 连接EA，EC并取BE的中点K，连接AK AHBC于H， 90AHC BEAH， 90EBC 90EBC，2BEAH， 22222 4ECEBBCAHBC K为BE的中点，2BEAH， BKAH BKAH， 四边形AKBH为平行四边形 又90EBC，
17、四边形AKBH为矩形， 90AKB AK是BE的垂直平分线 ABAE ABAE，AC=AD，ABEACD， EABDAC， EABEADDACEAD，即EACBAD， 在EAC与BAD中， ABAE EACBAD ACAD ， EACBAD 8ECBD 在RtBCE中， 2 2 7BEECBC ， 1 7 2 AHBE， 试卷第 108 页，总 117 页 1 3 7 2 ABC SBC AH 【点睛】 此题考查等边三角形的性质， 全等三角形的判定及性质， 勾股定理， 矩形的判定及性质， 由（1）理解为同类项题引出辅助线是解题的关键. 47如图 1，ABC，AED都是等腰直角三角形，90ABC
18、E ，AEa， ABb，且ab，点D在AC上，连接BD，BDc （1）如果 5 2 ca ； 求 a b 的值； 若a，b是关于x的方程 22 123 0 2555 xmxmm的两根，求m； （2）如图 2，将ADE绕点A逆时针旋转90135 在BC上方， 与A、D、E同一平面内找一点F， 使四边形BCDE的面积S四边形BCDE 与四边形BCFE的面积S四边形BCFE相等，并简要说明寻找点F的作法； 若S四边形50 BCDEABE S ，直接写出BE的长 【答案】 （1） 2 3 a b ；1m； （2）说明寻找点 F 的作法见解析；10BE 【解析】 【分析】 （1）延长ED交BC于F，根据
19、勾股定理建立等式即可求出答案； 由根与系数的关系求出 a+b 及 ab， 利用 2 3 a b 即可用 m 分别表示 a 与 b， 再整理求 出 m 即可得到答案； （2）取CD的中点O，连接EO并延长EO至F，连接CE、DF、BF、CF， 则四边形ECFD为平行四边形，CFDE且 CFDE，CEDF且 CEDF，根据 平行四边形的性质得到 CDECFE SS，即可证得结论； 利用平行四边形的性质根据 SAS 证明EABFCB，得到BEF为等腰直角三 角形，根据S四边形50 BCDEABE S ，求出50 BEF S 即可求出答案. 【详解】 （1）解：如图 1，延长ED交BC于F， 第 10
20、9 页 DFba，BFa， 在RtDHB中由勾股定理得， 222 ()abac， 又 5 2 ca ， (2 )(32 )0abab， 2ab或32ab， 又ab， 2 3 a b ； 由根与系数的关系abm， 2 123 2555 abmm， 由abm， 2 3 a b ， 解得 2 5 am， 3 5 bm， 22 6123 252555 mmm， 整理得， 2 230mm， 解得 1 3m ， 2 1m ， 0abm， 1m， 当1m时，方程为 2 6 0 25 xx，这个方程有两个不相等的正根， 1m符合题意， 1m； （2） 解： 如图 2， 取CD的中点O， 连接EO并延长EO至F
21、， 使 OE=OF， 连接CE、 DF、BF、CF，则四边形ECFD为平行四边形，CFDE且 CFDE，CEDF 且 CEDF， 试卷第 110 页，总 117 页 CDECFE SS S四边形BCDE BCECDEBCECFE SSSSS 四边形BCFE； CEDF， EFC=DEF=90 ， ABC=90 ， BCF+BAF=BAF+BAE=180 ， BCF=BAE， CF=DE=AE，BC=BA， ()EABFCB SAS， EB=FB，ABE=CBF, EBF=90 ， BEF为等腰直角三角形， S四边形50 BCDEABE S ， 50 BEF S ， 1 50 2 BE BF 1
22、0BEBF 【点睛】 此题考查勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定及性质，等腰直 角三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意综合解题方法的应用， 正确掌握各部分知识是解题的关键. 48如图 1，在Rt ABC中，B=90 ，BC8AB6，点 D，E 分别是边 BC， AC 的中点，连接DE将EDC绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 1问题发现： 第 111 页 当0 时，AE BD_；当180时，AE DB_ 2拓展探究： 试判断： 当0360时，AE DB的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明 3问题解决： 当EDC旋转至 A、D、E 三点共线时，直
23、接写出线段 BD 的长 【答案】 （1） 5 4 ； 5 4 ； （2） 5 4 AE BD 的大小没有变化； （3） BD 的长为：8 21 12 5 【解析】 【分析】 （1） 当 =0时， 在 RtABC 中， 由勾股定理， 求出 AC 的值是多少； 然后根据点 D、 E 分别是边 BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD 的大小，即可求出的 AE BD 值是多少 =180时，可得 ABDE，然后根据 ACBC AEBD ，求出 AE DB 的值是多少即可 （2）首先判断出ECA=DCB，再根据 5 4 ECAC DCBC ，判断出ECADCB，然 后由相似三角形的对应边成比例，求得答案
24、 （3）分两种情况分析，A、D、E 三点所在直线与 BC 不相交和与 BC 相交，然后利用 勾股定理分别求解即可求得答案 【详解】 解： （1）当 =0时， RtABC 中，B=90 ， AC= 2222 6810ABBC ， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， AE= 1 2 AC=5，BD= 1 2 BC=4， 5 4 AE BD 如图 1，当 =180时， 可得 ABDE， ACCE BCCD ， AEAC BDBC 105 84 试卷第 112 页，总 117 页 故答案为： 5 4 ； 5 4 . （2）如图 2， 当 0360 时， AE BD 的大小没有变化， ECD=A
25、CB， ECA=DCB， 又 5 4 ECAC DCBC ， ECADCB， 5 4 AEEC BDDC （3）如图 3，连接 BD， AC=10，CD=4，CDAD， AD= 22 2 21ACCD ， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， DE= 1 2 AB=3， AE=AD+DE=2 21 3 ， 由（2） ，可得： 5 4 AE BD ， BD= 48 21 12 55 AE ； 如图 4，连接 BD， AC=10，CD=4，CDAD， 第 113 页 AD= 22 2 21ACCD ， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， DE= 1 2 AB=3， AE=AD-DE=
26、2 21 3 ， 由（2） ，可得： 5 4 AE BD ， BD= 4 5 AE= 8 21 12 5 综上所述，BD 的长为： 8 21 12 5 【点睛】 此题属于旋转的综合题考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理 等知识注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键 49 （发现问题） 如图 1， 已知ABC， 以点A为直角顶点，AB为腰向ABC外作等腰直角ABE、 请你以A为直角顶点、AC为腰，向ABC外作等腰直角ACD（不写作法，保留 作图痕迹） 连接BD、CE那么BD与CE的数量关系是_ （拓展探究） 如图 2，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形A
27、CGD，连 接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由 （解决问题） 如图 3，有一个四边形场地ABCD，60D，15BC ，8AB ，ADCD， 求BD的最大值 试卷第 114 页，总 117 页 【答案】发现问题：BD=CE，证明见详解；拓展探究：BD=CE，证明见详解；解决问 题：BD 的最大值为 23 【解析】 【分析】 发现问题： 延长 CA 到 M， 作MAC 的平分线 AN， 在 AN 上截取 AD=AC， 连接 CD， 即可得到等腰直角ACD； 由等腰直角三角形的性质， 证出BAD=EAC， 证明BAD EAC（SAS） ，即可得出 BD=CE； 拓展探究：由正方
28、形的性质，证出BAD=EAC，证明BADEAC（SAS） ，即可 得出 BD=CE； 解决问题：以 AB 为边向外作等边三角形 ABE，连接 CE，由等边三角形的性质，证出 ACD 是等边三角形，得出CAD=60 ，AC=AD，证出BAD=EAC，证明BAD EAC（SAS） ，得出 BD=CE；当 C、B、E 三点共线时，CE 最大=BC+BE=23，得出 BD 的最大值为 23 【详解】 发现问题： 解：延长 CA 到 M，作MAC 的平分线 AN，在 AN 上截取 AD=AC，连接 CD，即可 得到等腰直角ACD；连接 BD、CE，如图 1 所示： ABE 与ACD 都是等腰直角三角形，
29、 AB=AE，AD=AC，BAE=CAD=90 ， BAD=EAC， 在BAD 和EAC 中， ABAE BADEAC ADAC ， BADEAC（SAS） ， BD=CE， 故答案为：BD=CE； 拓展探究： 解：BD=CE；理由如下：如图： 第 115 页 四边形 AEFB 与四边形 ACGD 都是正方形， AB=AE，AD=AC，BAE=CAD=90 ， BAD=EAC， 在BAD 和EAC 中， ABAE BADEAC ADAC ， BADEAC（SAS） ， BD=CE； 解决问题： 解：以 AB 为边向外作等边三角形 ABE，连接 CE，如图 3 所示： 则BAE=60 ，BE=A
30、B=AE=8， AD=CD，ADC=60 ， ACD 是等边三角形， CAD=60 ，AC=AD， CAD+BAC=BAE+BAC， 即BAD=EAC， 在BAD 和EAC 中， ABAE BADEAC ADAC ， BADEAC（SAS） ， BD=CE； 当 C、B、E 三点共线时，CE 最大=BC+BE=15+8=23， BD 的最大值为 23 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正 方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题 的关键 50在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E、F 是对角线 AC 上的两
31、个动点，分 别从 试卷第 116 页，总 117 页 A、C 同时出发相向而行，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，其中 0 t 5 （1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 是平行四边形（E、F 相 遇时除外） ； （2）在（1）条件下，若四边形 EGFH 为矩形，求 t 的值； （3）若 G，H 分别是折线 ABC，CDA 上的动点，与 E，F 相同的速度同 时出发，若 四边形 EGFH 为菱形，求 t 的值 【答案】 （1）见解析； （2）0.5 或 4.5； （3） 31 8 【解析】 【分析】 （1） 根据勾股定理求出AC， 证明AFGCEH，
32、 根据全等三角形的性质得到GF=HE， 同理得到 GE=HF，根据平行四边形的判定定理证明； （2）分 AE=CF、AE=CF 两种情况，根据矩形的性质计算即可； （3） 连接 AG、 CH， 判定四边形 AGCH 是菱形， 得到 AG=CG， 根据勾股定理求出 BG， 得到 AB+BG 的长，根据题意解答 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD，ABCD，ADBC，B=90 ， AC= 22 5ABBC ，GAF=HCE， G，H 分别是 AB，DC 中点， AG=BG，CH=DH， AG=CH， AE=CF， AF=CE， 在AFG 和CEH 中， AGCH GAFH
33、CE AFCE ， AFGCEH（SAS） ， GF=HE， 同理：GE=HF， 四边形 EGFH 是平行四边形； （2）解：由（1）得：BG=CH，BGCH， 四边形 BCHG 是平行四边形， GH=BC=4，当 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形， 分两种情况：AE=CF=t，EF=5-2t=4， 解得：t=0.5； 第 117 页 AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4， 解得：t=4.5； 综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形； （3）解：连接 AG、CH，如图所示： 四边形 EGFH 为菱形， GHEF，OG=OH，OE=OF， OA=OC，AG=AH， 四边形 AGCH 是菱形， AG=CG， 设 AG=CG=x，则 BG=4-x， 由勾股定理得：AB2+BG2=AG2， 即 32+（4-x）2=x2， 解得，x= 25 8 ， BG= 25 4 8 = 7 8 ， AB+BG=3+ 7 8 = 31 8 ， t 为 31 8 时，四边形 EGFH 为菱形 【点睛】 本题矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定 定理、熟练掌握所学的四边形的判定和性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键
