1、 【类型综述】 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并 验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三 角形，这样列比例方程比较简便 【方法揭秘】 我们先看三个问题： 1已知线段 AB，以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB，以线段 AB 为斜边的直角三
2、角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 3已知点 A(4,0)，如果OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外如图 2，点 C 在以 AB 为直径的圆上，A、B 两点除外如图 3，以 OA 为边画两个正方形，除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共 6 个 如图 4，已知 A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法，作 AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点 C 如果作 BDy 轴于 D，那么AOCC
3、DB 设 OCm，那么 34 1 m m 这个方程有两个解，分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 【典例分析】 例 1 如图 1，已知抛物线 E1：yx2经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B(2,2)，点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、B学科#网 （1）求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B为顶点的三角形为直角 三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛物线
4、 E2相交于 点 P，求PAA与PBB的面积之比 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1判断点 P 是线段 OP的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点 P、P的坐标 2分别求线段 AABB，点 P 到 AA的距离点 P到 BB的距离，就可以比较PAA与PBB的面积之 比 满分解答满分解答 （1）当 x1 时，yx21，所以 A(1, 1)，m1 设抛物线 E2的表达式为 yax2，代入点 B(2,2)，可得 a 1 2 所以 y 1 2 x2 （2）点 Q 在第一象限内的抛物线 E1上，直角三角形 QBB存在两种情况： 图 3 图 4 如图 3，过点 B 作 BB的垂线交抛物线 E
5、1于 Q，那么 Q(2, 4) 如图 4，以 BB为直径的圆 D 与抛物线 E1交于点 Q，那么 QD 1 2 BB2 设 Q(x, x2)，因为 D(0, 2)，根据 QD24 列方程 x2(x22)24学 当 PD=PQ,DPQ=90，如图 3，作 QAx 轴于 A，DHx 轴与 H， P 点坐标为(1 97 2 ,0). 故答案为(5，0)、( 19 7 ，0)、 ，(1 97 2 ,0). 6如图，长方形 ABCD 中，A=ABC=BCD=D=90 ，AB=CD=6，AD=BC=10，点 E 为射线 AD 上的 一个动点，若ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，当ABC 为直角三角形
6、时，AE 的长为_ 【答案】2 或 18 【解析】 解：如图 在 RTCB A中，AC=8, AE= AE=CE- AC=10-8=2; 学科!网 如图 7如图，BOC=60 ，点 A 是 BO 延长线上的一点，OA=10cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速度 移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1cm/s 的速度移动，如果点 P，Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间， 当 t=_s 时，POQ 是等腰三角形；当 t=_s 时，POQ 是直角三角形 【答案】或 10 【解析】 如图，当 PO=QO 时，POQ 是等腰三角形 PO=AOAP=102t，OQ=1
7、t 当 PO=QO 时，102t=t 解得 t=； 如图，当 PO=QO 时，POQ 是等腰三角形 PO=APAO=2t10，OQ=1t， 当 QO=2OP 时,t=2 (2t10) 解得 t=； 如图，当 PQOC 时，POQ 是直角三角形，且 2QO=OP PO=APAO=2t10，OQ=1t， 当 2QO=OP 时，2t=2t10 方程无解. 学科%网 故答案为：(1). 或 10 (2). 8如图，AB 是O 的直径，弦 BC=6cm，AC=8cm若动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发沿着 BA 的方 向运动，点 Q 以 1cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AC 的方向运动
8、，当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运 动设运动时间为 t(s)，当APQ 是直角三角形时，t 的值为_ 【答案】， 【解析】 【分析】 应分两种情况进行讨论：当 PQAC 时，APQ 为直角三角形，根据APQABC，可将时间 t 求出； 当 PQAB 时，APQ 为直角三角形，根据APQACB，可将时间 t 求出 【详解】 当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运动， 0t5， 如图 1，当 PQAC 时，PQBC，则 9如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴 交于 点，其中，. （1）若直线经过 、 两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物
9、线的对称轴上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点 的坐标； （3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点 的坐标. 【答案】 （1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）； （3） 的坐标为 或或或.学科*网 【解析】 （2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得， .即当点 到点 的距离与到点 的距离之和最小时 的坐标为. （注： 本题只求 坐标没说要求证明为何此时的值最小， 所以答案未证明的值最小的原因） . （3）设，又， ， 若点 为直角顶点，则，即：解得：， 若点 为直角顶点，则，即：解得：， 若点 为直角顶点，则，即：解得： ，
10、. 综上所述 的坐标为或或或. 10如图所示，已知抛物线经过点 A （2，0） 、 B （4，0） 、 C （0，8） ，抛物线 y a x 2 b x c （a0）与直线 y x 4 交于 B ， D 两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 BD 下方，试求出 BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3） 点 Q 是线段 BD 上异于 B 、 D 的动点， 过点 Q 作 QF x 轴于点 F ， 交抛物线于点 G 当 QDG 为直角三角形时，求点 Q 的坐标 【答案】 （1） (-1，-5)； （2） ( 3 2 ，- 35
11、 4 )； （3） (2，-2)或 (3，-1) 试题解析： （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+2） （x-4） ，将点 C 的坐标代入得：-8a=-8，解得：a=1， 抛物线的解析式为 y=x2-2x-8 将 y=x-4 代入抛物线的解析式得：x2-2x-8=x-4，解得：x=4 或 x=-1， 将 x=-1 代入 y=x-4 得：y=-5 D（-1，-5） 学.科网 （2）如图所示： （3）设直线 y=x-4 与 y 轴相交于点 K，则 K（0，-4） ，设 G 点坐标为（x，x2-2x-8） ，点 Q 点坐标为（x， x-4） B（4，0） ， OB=OK=4 OKB=OBK=45
12、QFx 轴， DQG=45 若QDG 为直角三角形，则QDG 是等腰直角三角形 当QDG=90 时，过点 D 作 DHQG 于 H， 当DGQ=90 ，则 DH=QH -x2+3x+4=x+1，解得 x=-1（舍去）或 x=3， Q2（3，-1） 综上所述，当QDG 为直角三角形时，点 Q 的坐标为（2，-2）或（3，-1） 11如图，抛物线 y=ax25ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A（3，0） ，C（0，4） ，点 B 在 x 轴上， AC=BC， 过点 B 作 BDx 轴交抛物线于点 D， 点 M， N 分别是线段 CO， BC 上的动点， 且 CM=BN， 连接
13、 MN，AM，AN （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）当CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标； （3）试求出 AM+AN 的最小值 【答案】 （1）抛物线解析式为 y= x2+ x+4；D 点坐标为（3，5） ； （2）M 点的坐标为（0，）或（0，） ； （3）AM+AN 的最小值为学%科网 【解析】 （2）在 RtOBC 中，BC=5， 设 M（0，m） ，则 BN=4m，CN=5（4m）=m+1， MCN=OCB， 当时，CMNCOB，则CMN=COB=90 ， 即，解得 m=，此时 M 点坐标为（0，） ； 当时，CMNCBO，则CNM=COB=90 ， 即，解得 m
14、=，此时 M 点坐标为（0，） ； 综上所述，M 点的坐标为（0，）或（0，） ；学&科网 12如图所示，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（2，0） 、B（4，0） 、C（0，8） ，与直线 y=x 4 交于 B，D 两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标； （2）点 P 为直线 BD 下方抛物线上的一个动点，试求出BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）点 Q 是线段 BD 上异于 B、D 的动点，过点 Q 作 QFx 轴于点 F，交抛物线于点 G，当QDG 为直角 三角形时，直接写出点 Q 的坐标 【答案】 （1）y=（x+2） （x4） ，D 的
15、坐标是（1，5） ； （2）P（ ，） ； （3）点 Q 的坐标为（2， 2）或（3，1） 【解析】 （2）如图所示： 过点 P 作 PEy 轴，交直线 AB 与点 E，设 P（x，x22x8） ，则 E（x，x4） PE=x4（x22x8）=x2+3x+4 SBDP=SDPE+SBPE= PE（xpxD）+PE（xBxE）=PE（xBxD）=（x2+3x+4）=（x） 2+ 当 x=时，BDP 的面积的最大值为 P（，） QG=2DH，QG=x2+3x+4，DH=x+1， x2+3x+4=2（x+1） ，解得：x=1（舍去）或 x=2， Q1（2，2） 当DGQ=90 ，则 DH=QH x2
16、+3x+4=x+1，解得 x=1（舍去）或 x=3， Q2（3，1） 学*科网 综上所述，当QDG 为直角三角形时，点 Q 的坐标为（2，2）或（3，1） 13如图，抛物线与直线交于 A、B 两点.点 A 的横坐标为3，点 B 在 y 轴上，点 P 是 y 轴 左侧抛物线上的一动点，横坐标为 m，过点 P 作 PCx 轴于 C，交直线 AB 于 D. （1）求抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，； （3）是否存在点 P,使PAD 是直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）y=x2+4x-1； （2）m=,-2，或-3 时 S四边形OBDC=2SSBP
17、D 【解析】试题分析： （1）由 x=0 时带入 y=x-1 求出 y 的值求出 B 的坐标，当 x=-3 时，代入 y=x-1 求出 y 的 值就可以求出 A 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式； （2）连结 OP，由 P 点的横坐标为 m 可以表示出 P、D 的坐标，可以表示出 S四边形OBDC和 2SBPD建立方程 求出其解即可 （3）如图 2，当APD=90 时，设出 P 点的坐标，就可以表示出 D 的坐标，由APDFCD 就可与求出 结论，如图 3，当PAD=90 时，作 AEx 轴于 E，就有,可以表示出 AD，再由PADFEA 由相似三角形的性质就可以求出结论 （2）P
18、 点横坐标是 m（m0） ，P（m，m2+4m-1） ，D（m，m-1） 如图 1，作 BEPC 于 E， BE=-m CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m2， PD=1-4m-m2-1+m=-3m-m2， 解得：m1=0（舍去） ，m2=-2，m3= 如图 1，作 BEPC 于 E， BE=-m PD=1-4m-m2+1-m=2-4m-m2， 解得：m=0（舍去）或 m=-3， m=,-2，或-3 时 S 四边形OBDC=2SBPD； 如图 2，当APD=90 时，设 P（a，a2+4a-1） ，则 D（a，a-1） ， AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4
19、m-m2， DP=1-4m-m2-1+m=-3m-m2学科网 解得：m=1 舍去或 m=-2，P（-2，-5） 如图 3，当PAD=90 时，作 AEx 轴于 E， AEF=90 CE=-3-m，EF=4，AF=4 PD=1-m-（1-4m-m2）=3m+m2 PCx 轴，PCx 轴， DCF=90 ， DCF=AEF， AECD AD=(-3-m) PADFEA， m=-2 或 m=-3 P（-2，-5）或（-3，-4）与点 A 重合，舍去， P（-2，-5） 学科网 考点：二次函数综合题. 14 （本小题满分 12 分）已知：直线 1 1 2 yx与y轴交于 A，与x轴交于 D，抛物线 2
20、 1 2 yxbxc与 直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）动点 P 在x轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 （3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标 （2）设点 E 的横坐标为 m，则它的纵坐标为 2 13 1 22 mm 则 E（m， 2 13 1 22 mm） 又点 E 在直线 1 1 2 yx上， 2 131 11 222 mmm 解得 1 0m （舍去） ， 2 4m E 的坐标为（4，3） y x O D E A B C （）当 A 为直角顶点时 过 A
21、 作 1 APDE交x轴于 1 P点，设 1( 0) P a， 易知 D 点坐标为（2，0） 由RtRtAODPOA得 DOOA OAOP 即 21 1a ，a 2 1 1 1 0 2 P ， （）同理，当E为直角顶点时， 2 P点坐标为（11 2 ，0） ） （3）抛物线的对称轴为 3 2 x B、C 关于x 2 3 对称， MCMB 要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大 由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时|AMMB的值最大 y x O D E A B C P1 F P2 P3 M 易知直线 AB 的解折式为1yx 由 1 3 2 yx x 得 3 2 1 2
22、x y M（ 2 3 ， 2 1 ） 【解析】略 15如图，抛物线与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相 交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） 分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、E，连接点 MD、ME （1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果） ，并证明MDE 是等腰三角形； （2）MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在 x 轴 下方的一个动点
23、”，其他条件不变，MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结 果） ；若不能，说明理由 【答案】 （1）A（1，0） ，B（5，0） ，证明见解析 （2）MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3） （3）能。此时点 P 坐标为（，） 。 【解析】 试题分析： （1）在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求得点 A、点 B 的坐标。如答图 1 所示， 作辅助线，构造全等三角形AMFBME，得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF 的中点，从而得到 MD=ME， 问题得证。学%科网 在中，令 y=0，即，解得 x=1 或 x=5， A（1，0）
24、，B（5，0） 。 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 F， （2）首先分析，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M。如答图 2 所示，设直线 PC 与对称轴 交于点 N，证明ADMNEM，得到 MN=AM，从而求得点 N 坐标为（3，2） ；利用点 N、点 C 坐标， 求出直线 PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标。 能。 ，抛物线的对称轴是直线 x=3，M（3，0） 令 x=0，得 y=4，C（0，4） 。 MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形： 若 DEEM， 由 DEBE，可知点 E、M、B 在一条直线上，而点 B
25、、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上。 由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，不符合题意。 故此种情况不存在。 若 DEDM，与同理可知，此种情况不存在。 若 EMDM，如答图 2 所示， 直线 PC 解析式为 y=2x4。 将 y=2x4 代入抛物线解析式得：，解得：x=0 或 x= 。 当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y=2x4=3。 P（ ，3） 。 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3） 。学*科网 （3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同： 来源:Z。xx。
26、k.Com 如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N， 直线 PC 解析式为 y= x4。 将 y= x4 代入抛物线解析式得：，解得：x=0 或 x=。 当 x=0 时，交点为点 C；当 x=时，y= x4=。P（，） 。 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（，） 。 16如图，直线与抛物线相交于 和，点 P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作轴于点 D，交抛物线于点 C 求抛物线的解析式； 是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 连接 AC，直接写出为直角三角形时点 P 的坐标
27、【答案】 （1）； （2）当时，线段 PC 最大且为； （3）为直角三角形时，点 P 的 坐标为或 【解析】 在直线上， ， ， ，在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为；学科!网 为直角三角形， 若点 P 为直角顶点，则， 由题意易知，轴，因此这种情形不存在； 若点 A 为直角顶点，则， 如图 1，过点作轴于点 N，则， 过点 A 作直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ， ， ， 设直线 AM 的解析式为：， 则：，解得， 若点 C 为直角顶点，则 ， 抛物线的对称轴为直线， 如图 2，作点关于对称轴的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且， 当时， ， 点、
28、均在线段 AB 上，学科%网 综上所述，为直角三角形时，点 P 的坐标为或 17如图，抛物线 y=x2x+与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的对称轴和线段 AB 的长； （2）如图 1，已知点 D（0，） ，点 E 是直线 AC 上访抛物线上的一动点，求AED 的面积的最大值； （3）如图 2，点 G 是线段 AB 上的一动点，点 H 在第一象限，ACGH，AC=GH，ACG 与ACG 关于 直线 CG 对称，是否存在点 G，使得ACH 是直角三角形？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】 （1）AB=4
29、，抛物线的对称轴 x=1； （2）m= 时，SAED有最大值，最大值为； （3）满足条 件点 G 坐标为（1，0）或（0，0）或（1，0） 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）如图 1 中，设 E（m，m2m+） ，根据 SAED=SAOD+SAEO+SECO-SECD根据二次函数，利 用二次函数的性质即可解决问题； （3）分三种情形如图 2 中，连接 BC当点 A在 y 轴上时，HCA=90满足条件如图 3 中，当点 G 与点 O 重合时，易证四边形 GCHA是矩形，此时CHA是直角三角形；如图 4 中，当点 G 与 B 重合时， 四边形 GCHA是矩形，此时CHA
30、是直角三角形. 【详解】 （2）如图 1 中，设 E（m， 3 3 m2 2 3 3 m+ 3） ， SAED=SAOD+SAEO+SECOSECD = 1 2 3 3 + 1 2 3 （ 3 3 m2 2 3 3 m+ 3）+ 1 2 3 （m） 1 2 2 3 （m） = 3 2 （m+ 1 2 ）2+ 25 3 8 ， 3 2 0， m= 1 2 时，SAED有最大值，最大值为 25 3 8 （3）如图 2 中，连接 BC ACGH，AC=GH， 四边形 ACHG 是平行四边形， CHAB，学科.网 当点 A在 y 轴上时，HCA=90满足条件 如图 3 中，当点 G 与点 O 重合时，
31、易证四边形 GCHA是矩形，此时CHA是直角三角形； 如图 4 中，当点 G 与 B 重合时，四边形 GCHA是矩形，此时CHA是直角三角形，G（1，0） ， 综上所述，满足条件点 G 坐标为（1，0）或（0，0）或（1，0） 18如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（6，0） 抛物线 y x2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQCP，连接 PQ，设 CPm，CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m
32、的函数表达式； 当 S 最大时，在抛物线 y x 2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角三角形，请直接写出 所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y= x2+ x+8； （2）S=m2+3m；满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为 F1（ ，8） ， F2（ ，4） ，F3（ ，6+） ，F4（ ，6） 【解析】 【分析】 （1）将 A、C 两点坐标代入抛物线 y=- x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式； （2）先用 m 表示出 QE 的长度，进而求出三角形的面积 S 关于 m 的函数； 直接写出满足条件的 F 点的坐标即可，注意不要漏
33、写 【详解】 解： （1）将 A、C 两点坐标代入抛物线，得 ， 解得： ，学科*网 抛物线的解析式为 y= x2+ x+8； S= CPQE= m （10m）=m2+3m=（m5）2+， 当 m=5 时，S 取最大值； 在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形， 抛物线的解析式为 y= x2+ x+8 的对称轴为 x= ， D 的坐标为（3，8） ，Q（3，4） ， 当FDQ=90 时，F1（ ，8） ， 当FQD=90 时，则 F2（ ，4） ， 19已知，是边长的等边三角形，动点 以 的速度从点 出发，沿线段向点 运动请分 别解决下面四种情况： （ ）如图 ，设点 的运动
34、时间为，那么_时，是直角三角形； （ ）如图 ，若另一动点 从点 出发，沿线段向点 运动，如果动点 、 都以的速度同时出发设 运动时间为，那么 为何值时，是直角三角形？ （ ）如图 ，若另一动点 从点 出发，沿射线方向运动连接交于 如果动点 、 都以的 速度同时出发设运动时间为，那么 为何值时，是等腰三角形？ （ ）如图 ，若另一动点 从点 出发，沿射线方向运动，连接交于 ，连接如果动点 、 都以 的速度同时出发请你猜想：在点 、 的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理 由 【答案】(1)1.5； （2）当 为或时，为直角三角形； （3）当 为时，为等腰三角形； （4） ，理由详见解析.
35、学#科网 【解析】 （ ）如图， 当 PQBC 时，由已知可得：， 此时， ，即， 如图， （ ） 为等边三角形， ， 为等腰三角形， 只能使 ，学&科网 ， 即， 当 为时，为等腰三角形 （ ） 证明：如图，过 作，过 作 在和中， ， 和的高均为， ， 20如图，在平面直角坐标系中，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2） ，动点 M 在 y 轴上运动 （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）动点 M 在 y 轴上运动，使 MA+MB 的值最小，求点 M 的坐标； （3）在 y 轴的负半轴上是否存在点 M，使ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，
36、求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】 （1）y=-x+6； （2）M（0， ） ； （3） （0，-2）或（0，-6）. 【解析】 【分析】 （1）设 AB 的函数解析式为：y=kx+b，把 A、B 两点的坐标代入解方程组即可. （2）作点 B 关于 y 轴的对称点 B，则 B点的坐标为（-6，0） ，连接 AB则 AB为 MA+MB 的最小值，根据 A、B两点坐标可知直线 AB的解析式，即可求出 M 点坐标， （3）分别考虑MAB 为直角时直线 MA 的解 析式，ABM为直角时直线 BM的解析式，求出 M 点坐标即可， 【详解】 （1）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b
37、,则 解方程组得 直线 AB 的函数解析式为 y= -x+6， （3）有符合条件的点 M，理由如下： 如图：因为ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形， 当MAB=90 时，直线 MA 垂直直线 AB， 直线 AB 的解析式为 y=-x+6，学科#网 设 MA 的解析式为 y=x+b， 点 A（4，2） ， 2=4+b, b=-2， 当ABM=90时，BM垂直 AB， 设 BM的解析式为 y=x+n, 点 B（6，0） 6+n=0 n=-6, 即有满足条件的点 M 为（0，-2）或（0，-6）. 【点睛】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数关系式为：y=kx+b（k0） ，要有两组对应量确定解析 式，即得到 k，b 的二元一次方程组熟练掌握相关知识是解题关键. 学科!网
